En este artículo os voy a mostrar otras dos falacias geométricas que no son fáciles de refutar (las tres anteriores las podéis ver en Falacias geométricas (I)).

¿Que \pi es cuánto?

El valor de \pi, razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma, es bastante conocido por todo el mundo. Es un número irracional (podéis verlo aquí y aquí) cuyo valor redondeado a cinco decimales es 3,14159. Pues bien, vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El valor de \pi es 2.

Demostración:

Pi es igual a 2

Partimos de la conocido símbolo del yin-yang, como puede verse en la figura de la derecha. Supongamos que el diámetro AB es igual a 2. Sabiendo que la longitud de una circunferencia de diámetro 2 es L=2 \pi tenemos que la longitud de la semicircunferencia que va de A a B es \pi.

Los dos semicírculos de tamaño inmediatamente inferior, los que forman la curva central del típico símbolo del yin-yang, tienen longitud \textstyle{\frac{\pi}{2}} (son semicircunferencias de una de diámetro 1), por lo que la suma de sus longitudes vuelve a ser \pi. Si dibujamos otros dos semicírculos del mismo tipo dentro de cada uno de los dos semicírculos anteriores tenemos que cada uno de ellos tendrán longitud \textstyle{\frac{\pi}{4}}. Como tendremos cuatro semicírculos así, la suma de sus longitudes vuelve a ser \pi.

Continuando con el proceso obtenemos siempre un conjunto de semicírculos, cada vez más pequeños, cuya suma de longitudes es \pi. El límite de la curva formada por esos semicírculos es el diámetro AB. Esto es, si realizamos esta construcción infinitas veces, tenemos que cuando el límite de los diámetros de las circunferencias sea {0} la curva formada por los semicírculos coincide con el diámetro AB. Pero la curva mide \pi y AB mide 2. Por tanto \pi=2.

Que nooooo, que el quinto postulado no es independieeeeente

El quinto postulado de la geometría euclídea, el conocido postulado de las paralelas, afirma (utilizando una de sus versiones más sencillas) que a partir de una recta y un punto exterior a la misma sólo puede trazarse una única recta paralela a la dada que pase por dicho punto. Está demostrado que ese postulado es independiente de los otros cuatro y que tanto tomándolo como cierto como tomando cualquiera de los dos enunciados que obtendríamos negándolo obtenemos geometrías consistentes.

¿Seguro? Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El postulado euclídeo de las paralelas puede ser demostrado a partir de los restantes axiomas de la geometría euclídea.

Demostración:

Paralelas

En la figura adjunta tenemos un gráfico de la demostración. La recta de la que partimos es la recta AB y el punto dado es C. Trazamos desde C una perpendicular a AB (puede construirse sin utilizar el postulado de las paralelas que sólo puede construirse una perpendicular como ésta), obteniendo así el punto D. Por el punto C trazamos la recta EF, perpendicular a CD (también única, por lo dicho anteriormente).

El teorema que afirma que dos rectas perpendiculares a una dada son paralelas puede demostrarse sin necesidad de utilizar el postulado de las paralelas, por lo que las rectas AB y EF son paralelas.

Queda demostrado entonces el postulado de las paralelas.

El reto

¿Podéis refutar estas dos demostraciones?

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