La lista de Smale, o la variante moderna de la lista de Hilbert

Englobar en una pequeña lista de cuestiones todas las líneas relevantes de investigación de cualquiera de las ramas de la ciencia en los próximos 100 años es tarea, cuanto menos, complicada. Uno puede conocer los estudios actuales, puede tener información sobre los campos más tratados y con más aplicaciones, y también puede intuir posibles nuevos retos que dicha ciencia se va a encontrar. Muy bien lo deberíamos hacer para que esa lista fuera importante a largo plazo. Y además seguro que sería difícil que no cometiéramos algún error en nuestras suposiciones o que no nos dejáramos algo en el tintero.

Esta compleja tarea es la que en cierto modo asumió David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en el año 1900. Hilbert dio en aquella reunión una lista con 23 problemas, los famosos 23 problemas de Hilbert (de los cuales solamente pudo presentar 10, por cuestiones de tiempo) que, según él, representaban las cuestiones matemáticas sobre las que habría que incidir en mayor medida durante el siglo XX. Y la verdad es que no lo hizo nada mal: los problemas de Hilbert han ejercido una gran influencia sobre las investigaciones matemáticas posteriores a su formulación. Evidentemente se dejó cosas, no incluyó ciertas áreas que crecieron mucho en las épocas posteriores y no fue suficientemente claro en algunos enunciados, pero nadie puede poner en duda la importancia de este listado.

En el año 2000, inspirándose en esta lista, el presidente de la Unión Matemática Internacional de aquel momento, Vladimir Arnold, pidió a varios matemáticos que «hicieran de Hilbert» creando una nueva lista actualizada, algo así como la variante moderna de la lista de Hilbert. De ahí surgió la lista de Smale, debida al matemático estadounidense Stephen Smale y compuesta por 18 problemas de diversos campos de las matemáticas que pretendían reunir algunos de los principales retos matemáticos para el siglo XXI.

Stephen Smale, como decimos, es un matemático estadounidense especializado en Topología y Geometría Diferencial cuyo principal logro sea, posiblemente, la demostración de la conjetura de Poincaré para , y también se le conoce por la sorprendente paradoja de Smale. Recibió la medalla Fields en 1966.

La lista de Smale a la que nos referimos está formada por los siguientes 18 problemas:

Stephen Smale

1. La Hipótesis de Riemann
2. La Conjetura de Poincaré
3. ¿P=NP?
4. Ceros enteros de un polinomio en una variable
5. Cotas sobre la altura de curvas diofánticas
6. Finitud del número de equilibrios relativos en Mecánica Celeste
7. Distribución de puntos sobre la esfera
8. Introducción de la dinámica en la Teoría Económica
9. El problema de Programación Lineal
10. El «Closing Lemma»
11. ¿Son los sistemas dinámicos unidimensionales generalmente hiperbólicos?
12. Centralizadores de difeomorfismos
13. El decimosexto problema de Hilbert
14. El atractor de Lorenz
15. Las ecuaciones de Navier-Stokes
16. La conjetura del Jacobiano
17. Resolución de ecuaciones polinómicas en tiempo polinomial
18. Los límites de la inteligencia

De ellos, durante los primeros cinco años del siglo XXI quedaron resueltos el número 2, la conjetura de Poincaré (por Grigori Perelman), y el número 14, el atractor de Lorenz (por Warwick Tucker). Para el número 17 los matemáticos españoles Carlos Beltrán y Luis Miguel Pardo publicaron en 2008 un algoritmo probabilista que lo resuelve, siguiendo abierta (pero parcialmente resuelta por Peter Burgisser y Felipe Tucker) la cuestión de encontrar un algoritmo determinista. A día de hoy, 19 de octubre de 2011, todos los demás problemas siguen abiertos, aunque el número 12 está resuelto en algunos casos.

Los criterios que el propio Stephen Smale siguió para elegirlos fueron los siguientes (información tomada de la transcripción de su conferencia, que enlazo al final del artículo):

• Enunciado sencillo. Con preferencia, además, por aquellos problemas con enunciado matemáticamente preciso.
• Conocimiento personal del problema. Lo que ha hecho la labor más complicada.
• Convicción personal de que el problema, su solución, los resultados parciales o incluso los intentos de resolución del mismo puedan resultar de importancia para las Matemáticas y su desarrollo durante el próximo siglo.

¿Consiguió Smale su objetivo? Pues en parte al menos sí. Los problemas que forman esta lista siguen teniendo interés e importancia dentro de las matemáticas, alguno ya ha sido resuelto y en otros se sigue trabajando bastante. Pero tendrá que pasar un tiempo prudencial para poder valorar la importancia global de la lista de Smale y para analizar su influencia sobre las matemáticas de este siglo XXI en el que nos encontramos. El tiempo, y nada más que el tiempo, colocará a Stephen Smale y a su lista en el lugar que se merece dentro de la historia de las matemáticas.

Y el jueves tendremos un poco más de información sobre el problema 17.

Fuentes y enlaces relacionados:

• Problemas matemáticos para el próximo siglo, traducción por parte de La Gaceta de la RSME de la conferencia de Stephen Smale en la que presentó su lista de 18 problemas.
• Problemas de Hilbert en la Wikipedia española.
• Problemas de Smale en la Wikipedia española.
• La imagen de Hilbert es de aquí y la de Smale de aquí.

Este artículo sirve como contribución con la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza La Aventura de la Ciencia.