Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.

Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.

Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:

Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.

El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó. Mandó a los calculistas más expertos de la corte que calcularan la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido Sissa, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63}

Cuál fue su sorpresa cuando éstos le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

El rey se quedó de piedra. Pero en ese momento Sissa renunció al presente. Tenía suficiente con haber conseguido que el rey volviera a estar feliz y además les había dado una lección matemática que no se esperaban.

Esta leyenda es bastante conocida. Seguro que much@s de vosotr@s sabíais de su existencia. Pero hay una variante que serviría para que la lección matemática se la llevara el listillo de Sissa:

Supongamos que el rey al pensar que la petición de Sissa era irrisoria le hubiese ofrecido granos de trigo en esa progresión pero hasta el infinito, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots

Veamos qué hubiera pasado:

Llamemos S a la cantidad cantidad de granos de trigo que recibiría Sissa, es decir:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots

Ahora operemos de la siguiente forma:

S = 1 + (2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots) =  1 + 2 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots)

Es decir, sacamos factor común 2 de la parte de la suma que teníamos entre paréntesis. Pero como podemos observar lo que nos ha quedado entre paréntesis es exactamente igual a S. Esto es:

S = 1 + 2·S —> (Despejando) —> S = -1

Por tanto la generosidad infinita del rey se ve recompensada: no solamente no debe pagar nada a Sissa sino que éste le debe entregar un grano de trigo.

El fallo de este razonamiento es muy sencillo (para alguien que esté algo familiarizado con estos temas claro). A ver quién lo encuentra primero.

Actualización: El fallo está en mezclar la aritmética finita (números) con la transfinita (infinitos). No podemos despejar de esa forma porque S no es un número, es el límite de una serie divergente, es decir, que tiene a infinito. ote lo comentó aquí y homero aquí.

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