Probablemente muchos de vosotros conoceréis la llamada paradoja del cumpleaños, pero para quienes no la conozcan la voy a explicar:
Introducción: enunciado de la paradoja
Imaginad que en un cierto momento estáis con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas valdría. Digamos que hay 25 personas. Os planteo la siguiente cuestión: ¿cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas haya dos personas que cumplen los años el mismo día del mismo mes?? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema.
Pues la cosa es que ni mucho menos es pequeña. Vamos con lo que podríamos considerar el enunciado de la paradoja:
En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de
, es decir, hay un
% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.
Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de , es decir, casi el
%.
Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.
Demostración matemática
El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.
Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas (ya que si hay más de
la probabilidad es
) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos
. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación
. Calculemos
(tomaremos el año con 365 días):
Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es
(por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es
, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para
personas nos queda la siguiente expresión:
Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:
Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será . Es decir, la probabilidad de que en una reunión de
personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:
Con obtenemos una probabilidad de
. Con
ya pasamos el
%, exactamente obtenemos una probabilidad de
. Con
, el del ejemplo del principio, estamos ya en
.
Y no os digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Os dejo unos cuantos resultados:
Para , la probabilidad es de
, poco más del
%.
Para , la probabilidad es de
, poco más del
%.
Para , la probabilidad es de
, casi del
%.
Para , la probabilidad es de
, cerca del
%.
Para , la probabilidad es de
, más del
%.
Para , la probabilidad es de
, ¡¡más del
%!!.
La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.
Comprobación
Probablemente muchos de vosotros sigáis pensando algo así como eso es imposible, no puede ser tan alto. Si es así os invito a que realicéis vosotros mismos una comprobación experimental, es decir, que en un cierto momento en el que dispongáis de un grupo (lo más aleatorio posible) de unas 25/30 personas comencéis a preguntar fechas de cumpleaños. Eso mismo hice yo hace unos días en un bar donde mi Nadym y yo solemos ir mucho. En ese momento habría 30 personas en el bar. No sé ni por qué surgió el tema, pero al ver un grupo idóneo en número y aleatoriedad me puse a preguntar fechas de cumpleaños. La coincidencia se produjo al preguntar a la persona número 28. En ese momento, según la fórmula anterior, una probabilidad de de que así fuera, es decir, más del
%. Por tanto no es tan raro, aunque casi todo el mundo que preguntó de qué iba el tema puso cara de sorpresa (excepto otro matemático que conocí en ese mismo momento, cosa curiosa).
Para terminar, una curiosidad de ese mismo día: hemos comentado antes que la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para personas la probabilidad se calcula así:
Teniendo en cuenta que yo era quien comenzó el experimento, es razonable pensar que yo era en ese caso una persona destacada entre las demás. Es decir, que si podemos pensar en una persona fija en un experimento que estoy realizando yo sería normal pensar en mí mismo. Pues lo curioso fue que la coincidencia fue conmigo. Es decir, que la primera pareja de cumpleaños el mismo día que encontré fue la formada por una chica y yo. Encontrar una pareja no es nada sorprendente con 28 personas. Que la primera coincidencia se produjera conmigo sí que fue curioso por lo poco probable, exactamente , es decir, un
%. Final curioso para un interesante experimento.
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¡Qué buenos recuerdos me trae esta paradoja! La conocí gracias a un profesor que se jugó con nosotros un café a que en la clase había al menos dos personas que cumplían años el mismo día. «Improbable!, pensamos todos, buenos, pues éramos 80 en clase, jejeje.
MI HIJA Y YO CUMPLIMOS TODOS LOS AÑOS EL MISMO DÌA,ESTE AÑO YO CUMPLÌ EL 4 DE ABRIL DE 2017 Y CAYÒ EN DÌA MARTES,PUES MI HIJA TAMBIÈN LE CAE UN DÌA MARTES SU CUMPLEAÑOS SIENDO SU FECHA EL 2 DE MAYO,Y ASÌ TODOS LOS AÑOS COINCIDIMOS EL MISMO DÌA,ESTO LO VENGO OBSERVANDO DESDE SIEMPRE,TODOS LOS AÑOS ES IGUAL..QUISIERA PODER SABER CUAL ES LA RAZÒN.
El número de días de diferencia es 28, que es múltiplo de 7, es por eso que se repite el mismo día
Muy cherto, brillante.
No he entrado mucho a tu cuestión, pero es rapidamente, me doy cuenta que el número 7 tiene una relación (son los días de la semana)
Si una de las fechas fuese anterior al 28 de febrero y la otra posterior, en los años bisiestos dejaría de cumplirse… pero dado que una fecha es an abril y la otra en mayo, los 28 días de diferencia se mantienen sin excepcion…
Me da putamente igual que cumplas ese dia cabeza escroto
80!! Jugaba con mucha ventaja, jaja
«Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n
¡¡Los microsievos lo han puesto!! lo que no me convence mucho su enlace :p
Por cierto, genial tu post
mi padre nació un 5 de junio de 1925, cómo puedo saber que día nació
Un algoritmo o receta de cómo calcular esto, presento ^DiAmOnD^ el 22 de agosto del 2006 y lo publicó en su blog, aqui lo puedes ver
https://www.gaussianos.com/como-calcular-que-dia-de-la-semana-fue/
Mi hermana y yo cumplimos justo el 12 de agosto, pero con 8 años de diferencia 🙂
eso es una probabilidad entre 365 x 8, ¿no?
me hicieron sentir especial.
EI!!! Yo tb cumplo el 12 de agosto. ¿Poco probable entre 5 comentarios, no? (Aunque aquí intervendría el factor de que yo escribo porque alguien ha puesto esa fecha) 😉
Yo en 17 años de mi vida solo he conocido a una persona que cumple años el mismo dia que yo. Mi grupo de compañeros de clase siempre fue de entre 20 y 30 personas.
Bueno, eso comprueba lo que dice el post, «…la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para n personas la probabilidad se calcula así: 1-\left ( \cfrac{364}{365} \right ) ^{n-1} no estoy seguro de si el codigo será interpretado al publicar, pero la ecuacion que publica el post para n personas (n= 25 promedio entre 20 y 30) es 1-(364/365)^(25-1) = 0.06372 es decir 6%, es como normal que no hallas encontrado a nadie, pero lo mas probable es que en ese… Lee más »
Yo creo que le gustabas a la chica 🙂
El profesor de estadística nos explico que con 50 alumnos las posibilidades superaban el 98%. (Creo recordar..)
Y las probabilidades de que en un número de n personas (n>365) todos los días del año estén cubiertos por cumpleaños?
obviamente el planteamiento ha de ser diferente porque la probabilidad no puede ser negativa pero ahí me queda la duda 😛
@David Pues seguramente ese factor de «oh, coincide CONMIGO» hace que estas probabilidades nos parezcan tan poco intuitivas (aparte de por el simple hecho de ser probabilidades)… porque siempre nos fijamos en si coincide la fecha de alguien de un grupo desconocido X con nosotros (y más arriba se ve que de esa forma las probabilidades descienden mucho), no vamos memorizando todas las fechas de dicho grupo y comprobando a ver cual coincide (igual nos llevaríamos más de una sorpresa). Pero bueno, ya se sabe que esto de las probabilidades, por muy 99% que tenga de salir «rojo» puede estar… Lee más »
JAJAJa Buenísimo ¡Como me gusta cuando las mates van en contra del sentido común, y como siempre, la razón es de las mates! xD
Por cierto hay un cálculo relacionado curioso que nunca he sabido cómo abordar. En mi familia, de 5 miembros, se da la curiosa coincidencia de que todos cumplimos años el mismo DÍA DE LA SEMANA (por ejemplo, todos en Lunes, aunque cada año es un día distinto para los 5).
¿Como se calcula la probabilidad de eso? ¿Sería (1/7)^5 = 0.000059?
Creo que en la afirmación «(ya que si hay 365 o más personas la probabilidad es 1)» hay un error, ya que deben haber 366 personas en el grupo para que la probabilidad sea 1, porque hay que considerar el 29 de febrero de los años bisiestos.
Hola,
sólo un pequeño apunte:
para que la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día p(x)=1, tiene que haber 366 personas en el grupo, así que n tiene que ser: n
Pues en mi grupo de trabajo somos menos de 30 personas y un compañero cumple el mismo día y mismo mes que yo
Yo cumplo el 10 de febrero naci en 1980 (27 años) y no conocí nunca a nadie en toda mi vida que cumpla el mismo dia, en la escuela eramos 40 en la universidad 30 en el trabajo 20, en el grupo de amigos (contandolos a todos lso qeu conozco…) unos 70 y nunca nadie cumplio el mismo dia que probabilidades hay de que pase esto, me siento solo…alguien que cumpla el 10 de febrero por dios!!!! que escriba y mande saludos
COMPARTES EL CUMPLEAÑOS CON 9.999.999 DE PERSONAS, MI MADRE INCLUIDA JAJAJAJAJA
Nunca había oído esta paradoja, y es cierto, primero piensas q es imposible, y luego las mates te desmontan tu teoría. Por cierto, mi novio también cumple años el 12 de agosto!!!! van tres en 12+1 comentarios!
si no aparece en las proximas 3 horas alguien del 10 de febrero voy a empezar a creer que las matematicas no se aplican a mi (como ya paso con la ortografia)
Mi hija cumple años el 10 de febrero y ella tiene 9 añitos ya casi cumple los 10
jaja Franco Difilipo, http://es.wikipedia.org/wiki/10_de_febrero
NO ESTÁS SOLOOOO!!!!!
Franco Difilippo, creo que te confundes. Esas probabilidades no son para que alguien coincida con tu fecha de nacimiento, sino de que dos de las personas que conoces cuplan el mismo día, dos personas cualesquiera.
Lo que tu pides no es tan probable, así que no te sientas solo!
Alberto.
Franco Defilippo: Al momento de escribir este comentario en la tierra hay aproximadamente 6.782.195.395 personas. Por lo tanto alrededor de 18.568.639 personas cumplen años el 10 de febrero. Claro que este cálculo se aplica también para cualquier otro día del año. Saludos.
O será que el 10 de mayo no es un día muy propicio para el «amor».
Me gustaría saber porque mi hijo cumple sus años siempre el mismo dia que su madre de la semana, al igual que me hija coincide también el mismo dia de la semana que su padre, me gustaría saber que relación puede tener esto. ejemplo mi cumpleaños lunes, mi hijo lunes también, cumple de mi marido sábado, de mi hija igualmente sábado. es curioso pero es así. Y estoy muy intrigada en que existe alguna relación yo creo que de cariño pero pienso que el algo que no puedo saber.
Claramente se esta dando que, la distancia entre las fechas de nacimiento tuya y de tu hijo o la distancia entre las fechas de naciemiento del padre y de la hija, (sin los años, se considera siempre dentro del mismo año) es una cantidad en días que es multiplo de 7, eso es una coincidencia, al ser multiplo de 7, claramente serán el mismo día.
entiendo pero nunca nadie me dijo «aaaaaa yo tambien cumplo el 10 de febrero» y conozco la paradoja desde la secundaria y siempre a donde voy la trato de aplicar siempre se arman parejitas cumpleañeras pero yo nunca encontre un 10 de febrero
actualizacion: y como si fuera poco me acabo de enterar que Don Omar (el del reggeton) cumple el mismo dia que yo (gracias warein)
Ya que estamos, ¿cuál es la probabilidad de que dos personas compartan cumpleaños en un grupo de n personas si incluimos el 29 de febrero?
bonita exposicion del tiempo,me invita a reflexionar de que estamos ante una valoracion intuitíva y sentimental del tiempo y que probablemente nuestro tiempo termodinámico particular también coincida.Saludos!!
^DiAmOnD^, en mi opinión, no puede hablarse de casualidad «a posteriori». En el post dices: «Que la primera coincidencia se produjera conmigo sí que fue curioso por lo poco probable…» Pero el enunciado inicial del experimento era el de encontrar dos parejas cualesquiera. Si no nos atenemos a ese enunciado caemos en una falacia. Si por ejemplo la encuestada número 28 hubiera nacido además el mismo año, o fuera también matemática, o … mil cosas ajenas al experimento inicial, ¿podríamos hablar de que la probabilidad era aun más baja de ese 0,07…? Parece que no. Es el mismo principio que… Lee más »
Está casi bien, sólo falta «un menor o igual que»:
n tiene que ser menor o igual que 365, ya que si n es 366 la probabilidad es 1.
El comentario de Franco Difilippo acerca de la coincidencia de su día de nacimiento con el de Don Omar (vaya tela 🙂 ) me ha hecho interesarme por los matemáticos que han nacido el mismo día que yo (según la wikipedia). Resulta que el 25 de octubre han nacido Evariste Galois (célebre por la teoría de Galois) e Ivan M. Niven (conocido por sus resultados sobre el problema de Waring http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_de_Waring&action=edit , y también conocido por la demostración elemental de la irracionalidad de usando los polinomios que llevan su nombre: http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf ) Me gustaría que comentásemos coincidencias de fechas personales… Lee más »
Einstein nació un 14 de marzo (3/14), el día de Pi.
Agustín, no hay ninguna falacia, lo que es poco probable es encontrar a alguien que cumpla los años el mismo día que tú o que una persona en concreto. Es decir, si estás en una reunión y fijas una fecha, es poco probable que haya alguien que cumpla años en esa fecha. En cambio si buscas que haya dos personas que hayan cumplido los años el mismo día, eso sí que es probable.
YO YA PERDI INTERES solo quiero encontrar a alguien en la vida real que cumpla el mismo dia que yo, y que por dios no sea Don Omar.
solo por curiosidad hay algun matematico que saque las probabilidades de encontrrar a alguien con tu misma fecha y las de no encontrar a nadie
Una trampa a la intuicion muy buena! Pero pensando y hablando sobre ella nos ha salido otra duda. Estamos intentando dar con una formula para obtener, dado un numero de personas, cuantas coincidencias de cumpleaños hay, pero nuestras matematicas no dan para tanto. Es decir: parece que con 23 personas, lo mas normal es que dos coincidan en fecha. Pero habra un numero a partir del cual, deberian esperarse dos coincidencias (hay dos parejas que coinciden mas frecuentemente que solo una pareja). Por ejemplo, con 365 peronas que tan solo dos coincidan en fechas sera muy raro, lo normal es… Lee más »
> (excepto otro matemático que conocí en ese mismo momento, cosa curiosa)
Entonces, ahora falta calcular la probabilidad de encontrar dos matemáticos en un bar 🙂
Oí una historia tratando de este tema… Un professor de mate enseñó su clase del teorema, y uno de sus alumnos le dijo… ‘apuesto a que en esta clase, haya dos alumnos que cumplen sus años en el mismo día del mismo mes.’ Le dijo el professor… ‘Apuesto a que estes incorrecto. Mira, solo hay 12 estudiantes aqui…’ Y el sigió hablando del teorema, y como las probabilidades no alcanzan 50 por ciento hasta que haya 23 alumnos. Pero, el alumno repetitió. ‘no no no. Apuesto a que sea la verdad. Checalo.’ Y el professor empezaba a preguntar a los… Lee más »
Aquí tengo un enlace a una simulación de la PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS, con una gráfica.
Qué recuerdos, una vez usé esta conocida paradoja para chulearme en el trabajo jeje! El trabajo no era muy matemático que digamos así que todos quedaron estupefactos…
Omar-P>> «Al momento de escribir este comentario en la tierra hay aproximadamente 6.782.195.395 personas»
Me puedes decir de donde has sacado ese dato tan preciso?gracias
Una estimación en tiempo real de la cantidad de personas en la Tierra la puedes encontrar en el sitio:
http://www.ibiblio.org/lunarbin/worldpop
También puedes hacer consultas desde el año 1970 hasta el 2037. Saludos.
El programa predice que entre el 16 y el 17 de diciembre del 2034 llegaremos a ser 10.000 millones. (Es una estimación, claro está).
[…] Si queréis ver la demostración [aquí] la tenéis […]
Yo también escribí recientemente algo sobre la paradoja, con una gráfica. Podéis verla en http://fitipaldis.com/blog/2008/01/01/dos-de-tus-amigos-cumplen-anos-el-mismo-dia/
[…] Esto se conoce como La paradoja del cumpleaños y Gaussianos le ha dedicado una anotación completa y con mucho detalle que los interesados en esas curiosidades probabilísticas apreciarán. […]
Felicidades por el post!!
Ya se ha hecho referenica en algún apartado anterior, pero nadie ha comentado nada. Pero no puedo quedarme con la duda en la mente…a ver si esta vez se resuelve el tema 😛 No llego a comprender lo de «ya que si hay 365 o más personas la probabilidad es 1».
Vamos a ver, la lógica me dice, q si un año tiene 365 días distintos…y hay 365 personas, podría darse el caso de q TODOS cumpliesen los años un día distinto… por lo q tendría que ser $n
>>ark,
el enunciado habla de la probabilidad de que dos personas coincidan un mismo dia del año. Efectivamente , si solo hay hay 365 personas la probabilidad no es 1, aunque sea muy proxima. Si hay mas de 365 personas, si que se daria que la probabilidad seria uno…es un caso particular del del principio del palomar
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar
Así es, ark, debería decir, «
(ya que si hay más de 365 personas la probabilidad es 1)». ¿Podrías corregir ese detalle Diamond?
Cierto, bien visto. Lo corrijo ahora mismo.
Gracias chicos.
Diamond! ¿Qué probabilidad hay en una reunión, digamos de 30 personas, de encontrar una pareja que cumpla años el 29 de febrero?
Supongo que los bisiestos serán los que lo tienen más chungo para coincidir en un mismo lugar.
Nos vemos en ecuaciones y lo comentamos :p: bye!
y para los años bisiestos?, solo se cambia los 365 por 366 y listo?
[…] Según un sencillo ejercicio matemático que recoge el blog Gaussianos se demuestra que en una reunión entre personas escogidas de forma aleatoria, la probabilidad de que dos de ellas coincidan en su fecha de cumpleaños es de 0′507, lo que se corresponde con un 50′7%.A esto se le conoce con el nombre de ‘paradoja del cumpleaños’, cuyo resultado es proporcional al número de personas que se escoge para realizar esta prueba matemática. Según recoge la Wikipedia, esta prueba matemática fue descrita en el año 1938 en la teoría de Estimación del total de población de peces en un lago… Lee más »
Y si empezamos a hacer una cadena de cumpleaños? Osea el que cumple el mismo dia que el otro que se comuniquen entre ellos.
Yo naci el 12 de abril de 1967.
Quizas haya alguien de la misma fecha y del mismo año… Seria muy bonito saberlo…
Paradoja que nunca he compartido porque jamás me he topado en casi 28 años con nadie que cumpliera los años el mismo día que yo. Comparto cumpleaños cn mi querido Axl Rose (6 febrero), pero la probabilidad de que me lo encuentre un día… El caso es que creo que el caso de los coincidientes tiene una explicación mucho más científica. Somos animales y como tales copulamos más en épocas determinadas del año (por lo general). En mi grupo de amigos casi siempre los cumplían en verano porque sus papis debe se que pasaron frío en el invierno q les… Lee más »
Alito: Creo la idea es divertida, pero el blog se llenaría de comentarios sobre fechas de nacimiento…