Hablábamos el otro día sobre si se podía construir un mapa perfecto de la Tierra, y acabamos concluyendo que no, que no se puede construir un mapa plano perfecto de nuestro planeta. Si recordáis (y si no podéis hacer click en el enlace anterior), llegamos a dicha conclusión razonando que una transformación de una esfera en un plano debe conservar la suma de los ángulos de los triángulos y viendo que en realidad eso no ocurre (los ángulos de un triángulo plano suman 180º y los de un triángulo esférico suman más de 180º).

Este argumento del triángulo esférico es correcto, y descarta la existencia de un mapa plano perfecto de la Tierra. Pero parece que se puede ahondar mucho más en esta cuestión, que hay ideas matemáticas más profundas que nos pueden ayudar a comprender por qué no existe tal mapa. Y así es, las hay. En lo que sigue vamos a intentar explicarlas.

En primera instancia, si pensamos en la razón por la que no se puede proyectar una esfera en un plano de manera perfecta, lo que se nos podría ocurrir es que la esfera es curvada y el plano no lo es. Bueno, como comienzo no está mal, pero se queda algo cojo. ¿Por qué? Muy sencillo: un cilindro también se curva, pero puede desarrollarse de forma plana haciéndole un corte paralelo a su eje y desenrollándolo:

Y no es la única superficie curvada que puede desarrollarse en un plano. Por ejemplo, un cono también es desarrollable en un plano:

Y en ambos casos las propiedades métricas de las superficies se mantienen en su desarrollo. Por tanto, esto de que la esfera está curvada y el plano no lo está parece que no es definitivo, ya que hay superficies «curvadas» que sí pueden desarrollarse en un plano. Tiene que haber algo más…

…y ese «algo más» es, grosso modo, que no todas las superficies «curvadas» se curvan igual. Podemos considerar «curvadas» tanto a una esfera como a un cilindro, pero su forma de curvarse, su curvatura, no será la misma.

Ups, ya ha aparecido un «palabro»: curvatura. ¿Qué es esto de la curvatura? Pues es algo así como una medida de la forma de curvarse que tiene nuestra superficie. ¿Cómo medir esto? Pues para ello hay que tener cuenta algunos conceptos, como el plano tangente a la superficie en un punto y el vector normal a la misma en ese punto

Muy en general, para saber algo sobre la curvatura de la superficie en un punto necesitaríamos saber cómo varían el plano tangente y el vector normal a la superficie en dicho punto.

El estudio de esta curvatura en un punto P de la superficie se puede hacer de la siguiente forma:

Tomamos todos los planos que pasar por el punto P y contienen al vector normal y consideramos la intersección de cada uno de esos planos con nuestra superficie. Esas intersecciones son curvas, y cada una de ellas tendrá su curvatura. Nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura y las llamamos, respectivamente, k_1(P) y k_2(P). Estas curvaturas se denominan curvaturas principales.

A partir de estas curvaturas principales podemos definir dos curvaturas de la superficie en cada punto P de la misma:

  • La curvatura de Gauss, K=k_1(P) \cdot k_2(P), que mide cómo se curva la superficie en sí misma (pertenece a la geometría intrínseca de la superficie).
  • La curvatura media, H=\cfrac{k_1(P)+k_2(P)}{2}, que mide cómo se curva la superficie en el espacio en el que se encuentra (pertenece a la geometría extrínseca de la superficie).

Como ya habréis intuido, nos interesa la curvatura de Gauss.

Después de esta introducción vamos con lo importante. En 1827, en su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss demostró que la curvatura de Gauss es, como decíamos antes, intrínseca a la superficie. O, lo que es lo mismo, que depende únicamente de las propiedades métricas de la superficie. Este resultado es conocido como teorema egregium de Gauss.

¿Qué significa todo esto? Pues que lo que Gauss demostró fue que la curvatura de Gauss no varía bajo isometrías locales. Esto es, que si existe una isometría entre dos superficies, entonces necesariamente ambas superficies deben tener la misma curvatura de Gauss.

¿Qué ocurre en el caso que nos ocupa? Recordemos que queríamos ver si existía una isometría entre la esfera y el plano. Por el teorema egregium de Gauss, para que dicha isometría exista necesariamente las curvaturas de Gauss de ambas superficies deben ser igual. Pero (como ya apuntó tonibueno en este comentario) resulta que en este caso son distintas: la curvatura de Gauss del plano es cero y la curvatura de Gauss de la esfera es siempre distinta de cero, concretamente igual a 1 \over r^2, si r es el radio de la esfera. Por tanto no hay isometrías entre la esfera y el plano, y en consecuencia no existe el mapa perfecto.


Espero que esta explicación «un poco más matemática» os haya ayudado a comprender mejor por qué no existe ese mapa plano perfecto de nuestro planeta, que podríamos resumir muy a grandes rasgos en que la geometría propia de la esfera es demasiado distinta a la geometría propia del plano en lo que se refiere a la forma que tienen de curvarse.


Fuente principal: El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.

Print Friendly, PDF & Email