Introducción

Como comentamos en la historia de la resolución de la cúbica, Tartaglia reveló, después de mucha insistencia, su método de resolución de los distintos tipos de ecuaciones cúbicas reducidas a Cardano. Pero no lo hizo de una manera convencional, sino que lo hizo en verso. Concretamente así:

Quando che’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.

Dapoi terrai, questo per consueto,
che’l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;

el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.

In el secondo, de cotesti atti;
quando che’l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest’altri contratti,

del numer farai due tal part’a volo,
che l’una, in l’altra, si produca schietto,
el terzo cubo delle cose in stolo;

delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sará ii tuo concetto;

el terzio, poi de questi nostri cónti,
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent’e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
nella cittá del mar’intorno centa.

Los nueve primeros corresponden a la resolución de la ecuación x^3+px=q, los nueve siguientes son para el tipo x^3=px+q, los siguientes tres para x^3+q=px y los cuatro últimos indican el lugar y la fecha en la que Tartaglia los descubrió. Vamos a comenzar esta resolución haciendo un análisis de parte de estos versos.

Lugar y fecha

Como hemos comentado antes los últimos cuatro versos corresponden al lugar y la fecha en la que se produjo el descubrimiento. Su traducción es:

“Esto encontré, y no con pasos lentos
En el mil quinientos treinta y cuatro
Con fundamento bien claros y gallardos
En la ciudad ceñida en torno por el mar.”

Aunque Tartaglia alude al año 1534, en realidad el descubrimiento se produjo en febrero de 1535. La razón de este desfase es que en aquella época en Venecia se utilizaba un calendario propio que tomaba el 1 de marzo como comienzo del año.

La ciudad, evidentemente, es Venecia.

Ecuación cúbica tipo x^3+px=q

Analicemos ahora los nueve primeros versos:

“Cuando está el cubo con la cosa cerca
Y se iguala a algún número discreto
Busca otros dos que difieran en eso.

Después tú harás esto que te espeto
Que su producto siempre sea igual
Al tercio cubo de la cosa neto.

Después el resultado general
De sus lados cúbico bien restados
Te dará a ti la cosa principal”

Pasemos estos versos a lenguaje algebraico moderno:

Cuando está el cubo (x^3) con la cosa cerca (px) y se iguala a un número discreto (q), es decir, cuando tenemos x^3+px=q, busca otros dos que difieran en eso, es decir, toma t,s tales que t-s=q.

Después tú harás lo que te espeto: que su producto (ts) siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto ((\textstyle{\frac{p}{3}})^3), es decir:

ts=\left ( \cfrac{p}{3} \right )^3

Después el resultado general de sus lados cúbicos bien restados (\sqrt[3] {t}-\sqrt[3] {s}) te dará a ti la cosa principal (x). Es decir:

x=\sqrt[3] {t}-\sqrt[3] {s}

En resumidas cuentas, para resolver la ecuación x^3+px=q debemos encontrar dos números t y s que verifiquen las dos ecuaciones siguientes:

\begin{matrix} t-s=q \\ ts=\left ( \cfrac{p}{3} \right )^3 \end{matrix}

La solución será entonces:

x=\sqrt[3] {t}-\sqrt[3] {s}

Para resolver el sistema anterior despejamos t de la primera ecuación, quedando t=q+s y sustituimos en la otra, obteniendo (q+s)s=( \textstyle{\frac{p}{3}} )^3. Operando queda:

s^2+qs=\left ( \cfrac{p}{3} \right )^3

Que, teniendo en cuenta que p y q son conocidos, es una ecuación de segundo grado en s.

Resolvemos dicha ecuación y consideramos la solución positiva de la misma:

s=\cfrac{-q}{2}+\sqrt{\left (\cfrac{q}{2} \right )^2+\left (\cfrac{p}{3} \right )^3}

Sustituimos en t=q+s, obteniendo entonces:

t=q+s=q+\cfrac{-q}{2}+\sqrt{\left (\cfrac{q}{2} \right )^2+\left (\cfrac{p}{3} \right )^3}=\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left (\cfrac{q}{2} \right )^2+\left (\cfrac{p}{3} \right )^3}

Ya tenemos los valores de t y s. Llevándonos estos valores a la expresión de x anterior obtenemos el resultado buscado:

x=\sqrt[3] {\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left (\cfrac{q}{2} \right )^2+\left (\cfrac{p}{3} \right )^3}}-\sqrt[3] {\cfrac{-q}{2}+\sqrt{\left (\cfrac{q}{2} \right )^2+\left (\cfrac{p}{3} \right )^3}}

Los otros dos casos

Para la parte del poema relacionada con los otros dos casos no tengo traducción ni he podido buscarla. De todas formas en la actualidad es sencillo convertirlos en el primer caso. ¿Alguien se anima con ella?

Solución de la cúbica general

Para resolver la ecuación cúbica en su forma general, es decir, ax^3+bx^2+cx=d, dividimos la ecuación entera entre a, obteniendo la ecuación x^3+mx^2+nx=r y después realizamos el cambio de variable siguiente:

x=y-\cfrac{b}{3a}

Es sencillo ver que este cambio elimina el término de segundo grado de la ecuación, dejándola de la forma x^3+px=q, que podemos resolver de la forma anterior.

Solución de la ecuación de cuarto grado

Vamos a ver ahora cómo resolver una ecuación de grado cuatro. La consideraremos ya con coeficiente líder igual a 1 (si no lo tiene dividimos la ecuación entera por él), es decir, x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0.

El primer paso es eliminar el término de grado tres. Esto lo conseguimos con el cambio de variable x=z-\textstyle{\frac{b}{4}}. Nos queda una ecuación del tipo z^4+pz^2+qz+r=0.

Ahora factorizamos este polinomio de la forma (z^2+\alpha z+\beta)(z^2-\alpha z+\gamma) (podemos hacerlo ya que no tenemos término de grado tres). Desarrollando e igualando coeficientes obtenemos las siguientes ecuaciones:

\beta+\gamma-\alpha ^2=p
\alpha (\gamma-\beta)=q
\beta \gamma=r

Recordemos que p,q y r son constantes conocidas.

Eliminamos \beta y \gamma del sistema y obtenemos la siguiente ecuación en \alpha:

\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0

La ecuación es de grado seis, pero sólo aparecen las potencias pares de \alpha. Por ello, haciendo el cambio A=\alpha^2 obtenemos la ecuación

A^3 + 2pA^2 + (p - 4r)A - q^2 = 0

que al ser de grado tres puede resolverse por el método anterior. Después recorremos el camino anterior en sentido inverso y encontramos la solución buscada.

Fuentes y enlaces:

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