La singular belleza de las demostraciones visuales

No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente claro. Las demostraciones analíticas son interesantes, tienes sus ventajas, hasta pueden tener cierta belleza, pero si mediante un dibujo podemos ver el resultado, podemos admirar mucho más su belleza y dicho resultado se nos acaba quedando mucho mejor.

Por desgracia no podemos demostrar de manera visual todo resultado matemático (o sí, quién sabe). Además, aunque tengamos un gráfico explicativo del mismo siempre nos hará falta una demostración formal que nos asegure que dicho resultado es cierto. De todas formas, como hemos dicho antes, eso no resta ni un ápice de belleza a las demostraciones visuales.

Cubo

Una de las más típicas es la demostración visual de la validez del desarrollo del cuadrado y del cubo de una suma de la que hablamos en este artículo hace tiempo. En la imagen podéis ver un cubo dividido en las partes necesarias para que se pueda ver de manera sencilla el resultado del desarrollo del cubo de un binomio. Os recomiendo hacer click en el enlace anterior para que todo quede más claro.

El teorema de Pitágoras es otro de los resultados que mejor se prestan a este tipo de demostraciones. Entre las muchas que podemos encontrar están ésta y estas dos que ya hemos publicado en Gaussianos.

Vale, el teorema de Pitágoras está muy relacionado con la geometría, por lo que era más normal encontrar demostraciones visuales como esas. Y para el caso del desarrollo del cuadrado y el cubo de un binomio se puede encontrar una equivalencia geométrica con el área de un cuadrado y el volumen de un cubo, por lo que tampoco es tan sorprendente.

Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas, por lo que son más sorprendentes que las anteriores. La verdad es que la originalidad que desprenden es enorme. Vamos a dar la demostración formal de cada una de ellas y después una imagen con la demostración visual, que intentaremos explicar para que se entienda bien.

  • Suma de los inversos de las potencias de 2

    Vamos a calcular el valor de la siguiente suma:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}

    Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica que vimos es este artículo. Dicha fórmula es la siguiente:

    \displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n=\cfrac{a^{\Box}}{1-a}}

    siendo \Box el número natural en el que comienza dicha suma.

    Haciendo a=\textstyle{\frac{1}{2}} tenemos el resultado:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}=\cfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1

    Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:

    Inversos de las potencias de 2

    En la imagen podemos ver cómo \textstyle{\frac{1}{2}} es la mitad del área del cuadrado de lado 1, cómo \textstyle{\frac{1}{4}} es la mitad de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.

  • Suma de los inversos de las potencias de 3

    Igual que antes, usaremos la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica convergente. En este caso a=\textstyle{\frac{1}{3}}, por lo que obtenemos el siguiente resultado:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}=\cfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\cfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\cfrac{1}{2}

    Y ahora la demostración visual:

    Inversos de las potencias de 3

    Volvemos a tener un cuadrado de lado 1, por lo que su área también es 1. Lo dividimos en dos partes iguales mediante una de sus diagonales y tomamos \textstyle{\frac{1}{3}} del área (el de abajo). Se ve que el triángulo verde que queda abajo a la derecha rellena el que queda arriba a la izquierda. Después del tercio central del cuadrado volvemos a tomar un tercio (que ahora será un noveno del total), que nos quedamos en su totalidad para la suma final. Luego tomamos \textstyle{\frac{1}{27}}, con el que el pequeño triángulo de abajo a la derecha vuelve a rellenar el de arriba a la izquierda (como ocurría en el primer paso), y así sucesivamente. Después de un número infinito de pasos obtenemos la mitad del cuadrado, es decir, un área igual a \textstyle{\frac{1}{2}} del total.

  • Suma de los inversos de las potencias de 4

    Igual que en los dos casos anteriores, utilizamos la fórmula para sumar una serie geométrica de razón menor que 1 en valor absoluto. En esta ocasión, a=\textstyle{\frac{1}{4}}. Obtenemos lo siguiente:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n}}=\cfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\cfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\cfrac{1}{3}

    Y ahora la imagen iluminadora:

    Inversos de las potencias de 4

    Volvemos a tomar un cuadrado de lado 1 y lo dividimos en cuatro cuadrados iguales. Tomamos tres de ellos (en este caso, el de arriba a la izquierda y los dos de abajo) y coloreamos uno de ellos, obteniendo entonces un tercio del total del área de esos tres cuadrados. El cuarto cuadrado (el que no hemos tomado) también lo dividimos en cuatro cuadrados iguales como antes, nos volvemos a quedar tres y coloreamos uno, y así sucesivamente. Es fácil entonces ver que la parte coloreada corresponde a un tercio del total del cuadrado.

Después de ver estas imágenes creo que es innegable la singular belleza de las demostraciones visuales. No hay nada como un gráfico explicativo de un resultado cuando sea posible.

¿Conocéis más demostraciones visuales del mismo tipo que éstas?


La idea y las imágenes las he tomado de Six Visual Proofs, donde además podéis ver otra imagen sobre el teorema de Pitágoras y otras dos demostraciones visuales muy típicas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Me encantan las demostraciones visuales. Te recomiendo el libro “Maths made visual” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen (creo que son dos o tres volúmenes). Está lleno de pequeñas joyas.

    Un saludo!

    PD: Creo que en la última ecuación el 1/4 del final debería ser 1/3.

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  2. Hola, buen artículo. Una pequeña errata, en la última ecuación (suma de las potencias de 4) dice al final que la suma es 1/4 cuando en realidad (y en el dibujo se ve muy bien) es 1/3.

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  3. Sí, sí, es \textstyle{\frac{1}{3}}, puse un 4 en vez de un 3. Lo cambio ahora mismo. Gracias.

    Carlos Luna, lo tendré en cuenta, gracias por la recomendación.

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  4. Muy buen post. Conocía (y he explicado en clase cuando me han dejado) la de los inversos de las potencias de 2 y de 4, pero no la de los inversos de las potencias de 3.

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  5. La verdad es que las demostraciones visuales es un campo muy hermoso. Yo las conocí hace dos años y en contré muchas de uno de sus defesores: Roger B. Nelsen. Incluí una en el problema de la suma de los cubos de naturales que formaba parte de la resolución de un problema de la semana. Podéis descargar de su página web que es
    http://legacy.lclark.edu/~mathsci/nelsen.html
    y por supuesto consultar sus libros en papel o el google books.

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    • En la bonita demostración visual (1) del teorema de Pitágoras y de que el área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados; cometen el pequeño error de llamar T al área de un triángulo rectángulo cualquiera y seguidamente de llamar también T al área de un triángulo rectángulo auxiliar de ángulos 60º y 30º , construido para demostrar visualmente el segundo teorema. Por un momento yo pensé erróneamente que el teorema de Pitágoras no había sido sino demostrado para un caso particular. Eso no me hubiera ocurrido si al área de ese triángulo auxiliar particular se le hubiera llamado T1 o bien S; por ejemplo. Porque el área de un paralelogramo de lados a y b y ángulos 30º y 150º es la misma que la de cualquier triángulo rectángulo de lados a y b y ángulos no rectángulos cualesquiera.

      http://legacy.lclark.edu/~mathsci/pythwithtriangles.pdf

      (1): Una demostración visual no es más que una demostración geométrica normal que se ve ( Ver tiene aquí el sentido idéntico al de Demostrar) prácticamente de inmediato

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      • Pero en esa demostración visual no hay ningún triángulo rectángulo con ángulos agudos de 30º y 60º. Estos ángulos son solo de los paralelogramos. Todos los triángulos rectángulos que aparecen son iguales, con catetos a y b.

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        • En el dibujo de la izquierda de abajo del todo, del documento en PDF; los tres triángulos construidos externamente al triángulo equilátero Tc tienen ángulos agudos de 30º y 60º. De otra manera, el ángulo mayor del paralelogramo P no sería de 60º + 60º + 30º = 150º como es menester y necesario para la demostración inmediata (visual) del teorema de que la suma de las áreas de los dos triángulos equiláteros de lados iguales a los de los dos lados pequeños de un triángulo rectángulo cualquiera; es igual al área del triángulo equilátero de lado la hipotenusa.

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          • No, no es necesario que sean de 30º y 60º, sino simplemente que sean ángulos agudos de un triángulo rectángulo, en cuyo caso suman 90º, que con los 60º del ángulo del triángulo equilátero completan los 150º del ángulo mayor del paralelogramo, sea como sea el triángulo rectángulo.

        • Tienes razón, Ignacio. Muchas gracias por habérmelo hecho notar. Me engañó probablemente el hecho también visual ( y ahí está el peligro de lo visual) de que en la figura de la izquierda de abajo del todo, del PDF; la casualidad hace que uno de los lados del triángulo equilátero Tc parece ser perpendicular a uno de los lados del triángulo T, lo que implicaba ángulos agudos de 60 y 30. Inconscientemente, yo lo tomé como un dato más de la hipótesis demostrativa; olvidando además que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es siempre de 90 º

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          • Está bien. Es bastante didáctico el poder ver en un mismo dibujo el estado inicial y el estado final de una misma área; para los propósitos de la demostración visual y casi inmediata, que nos ocupa.

  6. Ignacio, muy buena esa también :).

    Rafael, interesante dato. Habrá que echarle un vistazo a esos libros.

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  7. Si, muy bueno. Yo lo hago a veces, en Excel.
    Hay que ver lo intresante que es la ecuación de figuras geométricas,
    dado que la complejidad del caso, nos ayuda a pensar más y mejor.

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    • Os recomiendo hacer demostración de la suma de los inversos de las potencias de 2 a partir de una hoja DIN A4. Se debe ir plegando el papel del mismo modo en el que se muestra en la imagen inicial, pero dadas las proporciones del papel, los rectángulos que se obtienen son todos semejantes. Yo la suelo hacer con alumnos de todos los cursos de la ESO y también en Bachillerato.
      Muchas gracias por el post.

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