El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:
Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.
En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que
que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.
Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:
Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:
-Supongamos que i es menor o igual que 0:
Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que
y que
queda:
Lo cual es imposible.
-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:
Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:
Que, como antes, es absurdo.
Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:
Los números complejos están desordenados
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Dices que una propiedad de la relación de orden es que al multiplicar por un negativo la relación cambia de sentido. Pero la existencia de números negativos que se comportan así en el producto ¿no es una consecuencia del orden -en los reales- y no una causa? Se me ocurren formas de ordenar el «plano» de los complejos (ya sabéis, tomando la parte real en las abcisas y la imaginaria en las coordenadas etnemos algo semejante a un plano) que cumplirían lo propuesto. Por ejemplo: a+bi d entonces da igual la parte real a;c. Gracias a que los reales TIENEN… Lee más »
Algo así se ocupa al trabajar con complejos, se deja ubicado un número complejo con ciertas propiedades en un rectángulo, pero sólo tiene sentido en el plano complejo. Y del mismo modo es independiente del orden. El asunto aquí es de fondo, sobre la concepción de orden, el concepto nace en los reales y ahí evoluciona, primero en los enteros y de ahí es traspasado a los racionales y a los irracionales, por ello se habla de que los racionales tienen un orden «denso», pero al traspolarlo a los complejos … Puff. No pasa nada, o tal vez si, no… Lee más »
Una possible forma de ser ordenados no seria teniendo en cuenta su forma polar, es decir radio y angulo?Mi propuesta cumple tanto que 1 es mayor que -1 como que i es mayor que -i, que seria logico pensar justamente que i > -i o que 2i>1. Con estas condiciones, radio y angulo, podriamos afirmar que si dibujaramos la recta yi = -x, la parte mayor que la recta podria representar todos los numeros positivos, siendo los de la recta neutros y los inferiores a esta negativos. Por tanto la recta con los conjuntos de numeros mayores seria la mitad… Lee más »
La sutil diferencia está en que un conjunto está bien ordenado cuando existe un primer elemento. El conjunto N está bien ordenado pero Z en el orden usual deja de estarlo y por eso la identidad de Euler es tan valiosa pues recuerda que el mínimo Universo algebraicamente cerrado es al menos el módulo de R por e^ módulo 2 pi de R. El orden topológico es importante pues es extrapolable al orden cuaterniónico y permite la construcción relativista del espaciotiempo.
Qué nadie se lleve las manos a la cabeza… aún así hay orden. «no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida.», no es el de toda la vida, pero se puede crear un orden total dentro de los números complejos. (Se pueden crear muchos, de hecho). Por ejemplo, puesto que los complejos se pueden representar como elementos de un plano podríamos considerar que un número es más pequeño cuando está más cerca del origen y los que están a la… Lee más »
Creo recordar que este último orden al que se refiere rober es el llamado orden topológico, corregidme si me equivoco. Yo tengo un conjunto de cualquier cosa y puedo aplicarle un orden, que no tiene por qué ser definido por la relación
Yo creo que Diamond no ha querido decir que no se puedan ordenar los números imaginarios, que por supuesto se pueden ordenar, lo que ha querido decir es que no se pueden ordenar de mayor a menor (o viceversa) como se hace con los números reales con la relación (mayor, menor, mayor igual o menor igual).
Pues lo que dice neok, Diamond no dice que no se puedan ordenar, sino que no existe el orden «natural» que todos conocemos 🙂
¿Funciona bien esto de los comentarios? porque se ha comido toda la definición del orden que había hecho. Sospecho que al usar el signo «menor que» ha despachurrado el HTML. Os la pongo otra vez: Sean X=a+bi e Y=c+di. X es menor que Y si y sólo si: (b es menor que d) ó ((b es igual a d) y (a es menor que c)) Como dice mimetist podemos hacer los órdenes que queramos, pero el que propone tiene el inconveniente de que no cumple la otra parte pedida: que los reales (parte imaginaria = 0) queden ordenados como el… Lee más »
Una pregunta estúpida, ¿por qué un número negativo multiplicado por otro número negativo da como resultado un número necesariamente positivo?
porque multiplicar por un número negativo significa geométricamente que lo giras pi radianes en el, plano de Argand, es decir lo vuelves positivo y lo acercarás más al origen o menos según que el ´módulo de ese negativo sea menor o mayor que 1. Funadamental comprender la identidad de Euler.
¿Axioma matemático?
Los números complejos están “desordenados”
¿Qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como l…
En realidad las notaciones correctas creo que serian i = (0,1), 1 = (1,0) i 0 = (0,0) por lo qual las desigualdades que has dado en el articulo no tienen por que ser falsas, todo depende del orden que definas, pasa que por abuso de notacion escribes por ejemplo -1>=0 en lugar de (-1,0)>=(0,0) lo cual no parece tan contradictorio.
Saludos =)
Ahí le has dao.
Palafox: supongo que es como la doble negación, que se anula.
El artículo es correcto y su conclusión cierta. Pero el título es incorrecto, se pueden definir muchas relaciones de orden en el conjunto de los números complejos.
En si los numeros complejos se inventaron para darle solución a esa ecuación en principio tan absurda como es.
x2+1=0
Así que es si ya es un desorden.:D
[…] Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que i2 = -1, es decir, que i es la raíz cuadrada de -1. Usando esa propiedad podemos plantear lo siguiente: […]
[…] Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos… […]
porfavor les solicito que las explicaciones sean mas claras puesto que a personas de primero de bachillerato les dejan tareas al respecto y uno sale mas enredado. o si no que si se puede realicen una pagina para que nosotros encontremos esto
gracias y de todos modos la informacion es buena
que les balla muy bien
cuanto vale i ?
es verdad que i solo cambia el sentido ?
mayra i representa la raíz cuadrada de -1.
Respecto a lo de cambiar el sentido, concreta un poco tu pregunta porque no sé exactamente a qué te refieres.
Saludos 🙂
¿Cómo se define la i?
Si se define como la raíz cuadrada de -1, realmente -i también sería una solución, pues en los complejos las raíces n-ésimas tienen n soluciones.
[…] Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos… […]
OTRA PRUEBA En C es osible definir diversas relaciones de orden total sin embargo, estas nunca son compatibles con las operaciones algebraicas de C. En efecto, supongamos que “≤” es una relación de orden total en C, si fuese compatible con las operaciones , dado z∈C, z≠0, seria (igual que se demuestra para números reales) z2>0, en particular -1=i2>0. La demostración estaria terminada si hubiéramos exigido que≤ fuera una extensión del orden de R. De no ser así hay que seguir: De -1>0 se sigue que -1+1>0+1 es decir 0>1 Y de (-1)2>0, se sigue qye 1>0 Así pues 0>1… Lee más »
NO PODEMOS DECIR QUE ESTO SEA UNA CONTRADICCION..(-1,0)>=(0,0)..NO SABEMOS SI EN LOS COMPLEJOS ES UNA CONTRADICCION… PORQUE ESTÁ MAL PENSAR EN (-1,0) COMO UN Nº COMPLEJO..BIEN PODRÍA SER (-1,0) € R^2 ?????? O NO?
PORQUE DECIMOS QUE (-1,0)>=(0,0) ES UN ABSURDO EN C?? NO SABEMOS CUAL ES EL ORDEN DE C!!!!
En C o en R^2, se pueden definir relaciones de orden total por ejemplo el orden lexicográfico. Buscalo en Internet. Incluso hay más aparte del lexicográfico. Ciñámonos a C que es quien nos importa por ser cuerpo, más arriba aseguré que si «≤» es una relación de orden total en C y suponemos que es compatible con las operaciones algebraicas de C se demuestra que -1=i^2>0. Si exigimos que «≤» sea una prolongación del orden de R esto es ya una contradicción. Ahora bien, supongamos que no exigimos que «≤» sea una prolongación del orden de R, entonces -1>0 no… Lee más »
Los numeros complejos pueden ser ordenados bajo el orden lexicografico
alejandro, echa un ojo al post y los comentarios, así te quedará claro el sentido que lleva el artículo :).
Una relación de orden total en un conjunto es una relación binaria cumpliendo las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total. Como se comenta arriba (mimetist), se pueden definir relaciones de este tipo en C. Si en ese conjunto hay definidas dos operaciones (suma y producto) de manera que el conjunto sea un anillo (o cuerpo) y las operaciones respetan la relación de orden (una desigualdad se mantiene si, a ambos miembros, sumamos un elemento o multiplicamos por un elemento positivo) decimos que el anillo (o cuerpo) está totalmente ordenado. Sólo en estos casos se puede demostrar que el cuadrado de… Lee más »
Para mi si tienen un orden lógico… les dejo un «imaginario» del hecho… Por ejemplo si trabajamos combinatoria de ambas propiedades del conjunto de los reales y los complejos, una de las posibilidades que se podría observar es que: (a+bi)+(a+bi)= 2a+2bi Si esto creará una sucesión infinita (a+bi) + [(a+1)+(bi+1i)]= {[a+(a+1)]+[bi+(bi+1i)]} Éste orden se determina entre reales positivo y complejos positivos.. Podría constituirse un parámetro en una perspectiva de tabla de valores determinados por ambos campos que señale parámetros se orden. Si existen los números complejos, porque no podemos imaginar que para todo número del mismo exista un orden que… Lee más »
También
Con n perteneciente a los reales
(a+bi)+ [(a+(n+1)+(bi+(n+1)i]=
{[a+(a+(n+1)]+[bi+(bi+(n+1)i]}
Otra manera de observarlo..
Atte Lorenzo, Hugo
¿Por qué Gauss nombró «número complejo» a todo número de la forma a+bi?
Hola que tal. ¿es posible ordenar los números (i) imaginarios ?