Introducción

Como seguro recordaréis hace unos meses fuimos capaces de calcular el valor de la integral de la función de densidad de una variable aleatoria con función de densidad N(0,1) (distribución normal con media 0 y desviación típica 1). En dicho desarrollo comentamos que la integral no tiene primitiva, vamos, que no podemos encontrar una función que se pueda expresar en forma de funciones elementales cuya derivada sea tal función de densidad. Esto es:

No existe una función expresable como combinación de funciones elementales tal que su derivada sea f(x)=e^{-x^2}.

Eso no significa que dicha función no se pueda integrar, ya que sabemos que cualquier función continua (y ésta lo es) es integrable. Lo que ocurre es que no podemos expresar dicha integral de una forma sencilla (por ejemplo, en función de exponenciales, senos, cosenos, logaritmos…).

Esta característica no es propiedad de esta función únicamente, sino que la tiene otros tipos de funciones. En este artículo vamos a mostrar algunas más.

¿Qué es una función elemental

La primera pregunta que puede surgir es la siguiente:

Estamos diciendo que la primitiva de cierta función no puede expresarse como combinación de funciones elementales, pero ¿qué funciones son las que consideramos elementales?

Aunque más o menos todos podemos tener una idea de lo que consideramos función elemental en realidad la definición y las demostraciones pertinentes no son demasiado sencillas, al menos las que aparecen en el documento en el que se basa esta artículo (enlazado al final). Por ello vamos a dedicar esta sección simplemente a enumerar qué funciones se consideran elementales:

  • La suma y el producto de funciones elementales en un intervalo \left [a,b \right ] es elemental en \left [a,b \right ]. Lo mismo ocurre con el cociente de funciones elementales siempre que el denominador no se anule en \left [a,b \right ].
  • La composición de funciones elementales en \left [a,b \right ] es elemental en \left [a,b \right ].
  • Los polinomios son funciones elementales en cualquier intervalo \left [a,b \right ].
  • Los cocientes de polinomios cuyo denominador no se anula en un intervalo \left [ a,b \right ] son funciones elementales en el intervalo \left [a,b \right ].
  • La función e^x es una función elemental en todo intervalo \left [a,b \right ].
  • Si 0 < a < b, la función log(x) es elemental en \left [a,b \right ].
  • Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones elementales en todo intervalo \left [a,b \right ]. Por ello, la función tg(x) también es elemental.
  • La función arctg(x) es elemental en todo intervalo \left [a,b \right ]. En consecuencia, las funciones arcsen(x) y arccos(x) también son funciones elementales.
  • Las funciones hiperbólicas senh(x), cosh(x) y tgh(x) y sus inversas son funciones elementales.

Por tanto decimos que una función no tiene primitiva elemental si el resultado de integrarla no puede expresarse como combinación de algunas de estas funciones.

Vamos ahora a dar unos cuantos ejemplos de funciones que no tienen primitiva elemental.

Funciones trascendentes sin primitiva elemental

En el desarrollo del documento en el que se basa este artículo la variable compleja es fundamental. De hecho es la base de dicho documento (demostramos cosas en \mathbb{C} y para demostrarlas en \mathbb{R} nos trasladamos a los complejos). Por ello uno de los criterios prácticos para comprobar si una función tiene primitiva elemental es el siguiente:

Sea D \subset C un dominio, f, g \in \mathbb{C}(z) y supongamos que g no es constante y no tiene polos en D. Entonces existe una función elemental y \in M(D) tal que y^\prime = f \; e^g si y sólo si existe a \in \mathbb{C}(z) tal que f = a^\prime + ag^\prime.

Utilizando este hecho (junto con una generalización del mismo entre otras cosas) se puede demostrar lo que hemos comentado sobre las siguientes funciones trascendentes:

  • Si p(x) es un polinomio de grado \ge 2, entonces la integral

    \displaystyle{\int e^{p(x)} dx}

    no es elemental.

    • Por ello, la integral que comentábamos al comenzar este artículo no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

  • La función \pi (x), definida como la cantidad de números primos menores o iguales a x, es asintóticamente igual a la integral logarítmica

    \displaystyle{\int_2^x \cfrac{dt}{log(t)}}

    Pues bien, la integral siguiente:

    \displaystyle{\int \cfrac{dt}{log(t)}}

    tampoco es elemental.

  • La siguiente integral:

    \displaystyle{\int \cfrac{sen(x)}{x} dx}

    tampoco es expresable como combinación de funciones elementales.

  • Si f(x) es un polinomio de grado \ge 2, entonces las siguientes integrales:

    \displaystyle{\int sen(f(x)) dx}, \; \int cos(f(x)) dx

    no son elementales (es curioso el hecho de que si tomamos f(x)=log(x), función más compleja que un polinomio, las integrales sí sean elementales).

  • La integral

    \displaystyle{\int e^{e^x} dx}

    no tiene primitiva elemental.

  • La integral

    \displaystyle{\int log(log(x)) dx}

    tampoco es elemental.

  • La integral

    \displaystyle{\int e^x log(x) dx}

    tampoco puede expresarse en como combinación de funciones elementales.

Funciones algebraicas sin primitiva elemental

Pero no sólo las funciones trascendentes pueden presentar esta característica. También hay funciones algebraicas cuya primitiva no es elemental. Vamos con ellas:

  • Si q(x) es un polinomio con gr(q(x)) =m \ge 3 yque sólo tiene raíces simples y p(x) es otro polinomio tal que gr(p(x)) < \textstyle{\frac{m}{2}} -1, entonces la integral

    \displaystyle{\int \cfrac{p(x)}{\sqrt{q(x)}} dx}

    no es elemental.

  • Si 0 < k < 1, la integral elíptica

    \displaystyle{\int \cfrac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}} dx

    no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

  • La integral

    \displaystyle{\int \sqrt{x^3-1} dx}

    no es elemental.

  • La integral binomia

    \displaystyle{\int x^k(b+ax^h)^q dx}

    con a,b \in \mathbb{R} y h,k,q \in \mathbb{Q} es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números

    q, \; \cfrac{k+1}{h}, \; \cfrac{k+1}{h}+q

    es entero.

    Así, por ejemplo, la integral

    \displaystyle{\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx}

    es elemental, ya que \textstyle{\frac{k+1}{h}=\frac{3+1}{2}=2 \in \mathbb{Z}}, pero la integral

    \displaystyle{\int x^2 (\sqrt[3]{1+x^2}) dx}

    no lo es.

Conclusión

Así que ya sabéis, si alguna vez os encontráis con alguna de estas integrales y lo que tenéis que hacer es calcular una primitiva no lo intentéis, ya que no podréis hacerlo.

Fuente:

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