Hoy os traigo un tipo de números curiosos tanto por su definición como por la historia de su denominación: los números de Smith.

Vamos con la definición de este tipo de números:

Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca).

Con esta definición es sencillo ver que el primer número de Smith es el 4:

\begin{matrix} 4=2 \cdot 2 \\ 4=2+2 \end{matrix}

Y el siguiente es el 22:

\begin{matrix} 22=2 \cdot 11 \\ 2+2=2+1+1 \end{matrix}

Pero hay muchos más, de hecho hay infinitos números de Smith. Otro ejemplo, esta vez con un número más grande, 9985:

\begin{matrix} 9985=5 \cdot 1997 \\ 9+9+8+5=5+1+9+9+7 \end{matrix}

Los números de Smith fueron presentados por el matemático Albert Wilanski en 1982. Pero, ¿por qué no llevan su nombre? Muy sencillo. Al parecer el número de teléfono de teléfono del cuñado de Wilanski era 493-7775 y Albert se dio cuenta de que el número 4937775 es un número de este tipo:

\begin{matrix} 4937775=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 65837 \\ 4+9+3+7+7+7+5=3+5+5+6+5+8+3+7 \end{matrix}

El nombre de este tipo de números se debe a que el cuñado de Wilanski (que no tenía nada que ver con las matemáticas) se llamaba Harold Smith. Se vuelve a cumplir la sentencia de Klein.

En el momento en el que aparecieron los números de Smith éste era el mayor número de este tipo conocido. Pero a partir de aquí comenzaron a aparecer artículos dando propiedades y ejemplos mayores que el citado 4937775. Por ejemplo, en 1983 Oltikar y Wayland descubrieron que si p es un número primo repuit (es decir, con todos sus dígitos iguales a uno), entonces el número 3304p es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y 6040 también tienen esa propiedad. En la sucesión-pedia tenéis la lista de los mismos.

En 1984 Pat Costello encontró 75 nuevos números de Smith de la forma p \cdot q \cdot 10^k, siendo p un primo pequeño y q un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:

191 \cdot (2^{216091} - 1) \cdot 10^{266}

En 1986 se presentó otro método distinto para generar números de Smith con el que se encontró, por ejemplo, el siguiente número de Smith:

5 \cdot 1110110110111 \cdot (2 \cdot 5)^5=555055055055500000

Pero no fue el único Se encontraron números realmente colosales, por ejemplo un número de Smith con 2592699 dígitos.

Pero fue en 1987 cuando se produjo el descubrimiento más importante sobre este tipo de número. Wayne Mc Daniel descubrió que hay infinitos números de Smith. De hecho descubrió más cosas. Introdujo los k-números de Smith, que son los que cumplen que la suma de los dígitos de los factores primos es el producto de k por la suma de los dígitos del número y demostró que los k-números de Smith son infinitos, para todo k.

En este mismo año también se definieron los números de Smith palindrómicos (es decir, capicúas), como el 12345554321, o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el 728 y el 729 o el 67728 y el 67729. A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, 225951, 225952 y 225953), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números 4463535, 4463536, 4463537 y 4463538), y así sucesivamente.

Para terminar os dejo la lista de números de Smith de la sucesión-pedia y el mayor número de Smith conocido hasta la fecha:

9 \cdot R_{1031} (10^{4594}+3 \cdot 10^{2297}+1)^{1476} \cdot 10^{3913210}

donde R_{1031} es el primo repunit compuesto por 1031 unos.

Fuentes:

  • La maravilla de los números, de Clifford A. Pickover.
  • Fascinating Smith Numbers: Sección de la web de Shyam Sunder Gupta con mucha información sobre los números de Smith.
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