Michael Aschbacher y la demostración más larga de la historia de las matemáticas

El matemático estadounidense Michael Aschbacher ha sido galardonado con el Premio Rolf Schock de Matemáticas, que entrega la Real Academia Sueca de Ciencias, en este año 2011.

El Premio Rolf Schock se entrega cada tres años en cuatro modalidades: Lógica y Filosofía, Matemáticas, Artes visuales y Artes Musicales. Fue fundado a partir del testamento del propio Rolf Schock, quien especificó en él que la mitad de sus bienes deberían destinarse para financiar estos cuatro premios. Schock murió en 1986 y los premios comenzaron a entregarse en 1993.

¿Por qué han concedido a Aschbacher este premio? Pues, según el jurado:

«…for his fundamental contributions to one of the largest mathematical projects ever, the classification of finite simple groups, notably his contribution to the quasi-thin case.»

Es decir, por su importante contribución al proyecto de clasificación de los grupos simples finitos, uno de los mayores proyectos matemáticos de la historia. Esto…¿uno de los mayores?

Conocéis la historia del último teorema de Fermat, ¿verdad? Sí, Fermat deja escrito en un libro que tiene una demostración maravillosa para cierto resultado, pero que el margen es demasiado pequeño para contenerla…y pasan más de 300 años hasta que Andrew Wiles (con algo de ayuda en cierto momento) completa la demostración de ese resultado. Esta demostración de Wiles ocupa 108 páginas en Annals of Mathematics. Sí, 108 páginas. Vamos, comopara tener que aprendérsela.

Bueno, pues la demostración completa del teorema de clasificación de grupos finitos simples (conocido también como «enormous theorem») ocupa la nada desdeñable cantidad de ¡¡15000 páginas!! (aproximadamente), y el número de personas que han realizado contribuciones a la misma sobrepasa las 100, desde 1955 hasta 2004, año en el que Aschbacher le dio la puntilla a la clasificación.

Vayamos un pelín más despacio. ¿Qué es un grupo? En matemáticas, se llama grupo a la pareja formada por:

• Un conjunto de elementos, y
• una operación, una forma de operar con dichos elementos, que cumple ciertas propiedades.

Como no nos hace falta saber nada sobre esas propiedades no voy a profundizar en ello.

Si el conjunto tiene un número finito de elementos, nuestro grupo es un grupo finito. Y un grupo simple es un grupo que cumple que los dos únicos subgrupos normales del mismo son el trivial y el total (tampoco nos hace mucha falta saber qué es eso de subgrupo normal).

¿Y qué dice exactamente el teorema de clasificación? Pues lo siguiente:

Teorema de clasificación de grupos finitos simples

Todo grupo finito simple es isomorfo a (es decir, tiene la misma estructura algebraica que) uno de los siguientes grupos:

• Un grupo cíclico cuyo orden es un número primo.
• Un grupo alternado de grado mayor o igual que 5.
• Un grupo de Lie simple, pudiendo ser:
  • los grupos de Lie clásicos, y
  • los grupos de Chevalley y los grupos de Steinberg, incluyendo los grupos Tits (por Jacques Tits, malpensados) que no son grupos de Lie.
• Uno de los 26 grupos esporádicos.

Como curiosidad, comentar que el mayor de estos 26 grupos esporádicos se denomina The Monster y tiene 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos.

A principios de la década de 1980 se pensaba que la clasificación ya se había completado, pero en realidad no era así. Un cierto tipo de grupos, denominados quasithin groups, se resistía. Y éste fue el hueco que Michael Aschbacher, junto a Stephen Smith, se encargó de rellenar. En 2004 Aschbacher y Smith publican dos volúmenes, The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups y The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups, que consiguen resolver este último problema a lo largo de sus más de 1200 páginas (aunque matemáticos como Serre mantienen cierto escepticismo sobre el tema, ya que piensan que esta clasificación podría tener algún vacío más que habría que llenar). En este enlace tenéis una revisión del asunto hecha por Ronald Solomon para el boletín de la American Mathematical Society.

¿Qué aplicaciones puede tener este resultado? Pues en la actualidad posiblemente ninguna directa, aunque no se puede saber qué importancia podrá tener esta clasificación en un futuro. En palabras de Mark Ronan:

I’d be willing to bet a million dollars that it has an application, but there’s no point in making the bet because I’ll be dead before I can collect.

Esto es, algo así como lo siguiente:

Estaría dispuesto a apostar un millón de dólares a que tiene alguna aplicación, pero no tendría sentido hacerlo ya que estaré muerto antes de que pueda ganarla.

Actualmente se está trabajando en simplificar la demostración completa. Es evidente que 15000 páginas de demostración es una barbaridad, pero también lo es la enorme dificultad de algunas de sus partes. El proyecto más significativo en este sentido prevé que publicará una simplificación de la demostración en unas 3000-4000 páginas repartidas en 12 volúmenes. Algo es algo.

Y para terminar os dejo algunos enlaces más sobre el tema:

• Prize awarded for largest mathematical proof en NewScientist.
• An enormous theorem: the classification of finite simple groups, en Plus Magazine.
• Classification of finite simple groups en la Wikipedia inglesa.
• List of finite simple groups en la Wikipedia inglesa.

La imagen de Rolf Schock la he tomado de aquí y la de Michael Aschbacher de aquí.

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Este artículo es una nueva colaboración de Gaussianos en Amazings.es, donde apareció ayer jueves. Podéis leerla aquí