Hoy os traigo el problema de la semana, que llega algo más tarde de lo habitual. Ahí va:
El conjunto
tiene la propiedad de que para todo
, con
se cumple que
es un cuadrado perfecto:
Demuestra que si añadimos cualquier otro número entero positivo
a nuestro conjunto
, entonces el conjunto resultante
no tiene la misma propiedad.
Que se os dé bien.
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Supongamos que existe un tal m. Debe ser 2m – 1 = p^2 5m – 1 = q^2 13m – 1 = r^2 con p, q y r enteros, p < q m impar ===> q, r pares Restando las dos últimas, tenemos que 8m = r^2 – q^2 = (r + q)(r – q) Si r y q son múltiplos de 4, resulta 8m múltiplo de 16, lo que es imposible, pues m es impar. Si r y q son iguales a 2 (mod 4), r + q = r – q = 0 (mod 4) y nuevamente 8m… Lee más »
Supongamos que existe m. Entonces 2m-1 es cuadrado, y como es un cuadrado impar 2m-1 = 1 (mod 8); m = 1 (mod 8).
Ahora 5*(8k+1)-1 = 4*(10k+1), y para que eso sea un cuadrado 10k+1 debe serlo también. De nuevo como es impar
10k+1=1 (mod 8)
10k=0 (mod 8)
k=0 (mod 4) i.e. k=0 ó k=4 (mod 8)
Por otro lado 13*(8k+1)-1=4*(26k+3), y siguiendo el argumento anterior
26k+3=1 (mod 8)
26k=6 (mod 8)
2k=6 (mod 8)
k=3 (mod 8)
Y llegamos a una contradicción.
Antes desapareció alguna línea. A ver ahora: Supongamos que existe un tal m. Debe ser 2m – 1 = p^2 5m – 1 = q^2 13m – 1 = r^2 con p, q y r enteros, r > p > q. De la primera, p debe ser impar, por lo que 2m = p^2 + 1 = 2 (mod 4) ===> m impar ===> q, r pares Restando las dos últimas, tenemos que 8m = r^2 – q^2 = (r + q)(r – q) Si r y q son múltiplos de 4, resulta 8m múltiplo de 16, lo que es… Lee más »
_cronos2: De 2m = 2 (mod 8) solo puedes deducir que m = 1 ó 5 (mod 8). Igualmente, de 2k = 6 (mod 8), no puedes deducur que k = 3 (mod 8), tambien podría ser k = 7 (mod 8).
Información Bitacoras.com
Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo el problema de la semana, que llega algo más tarde de lo habitual. Ahí va: El conjunto tiene la propiedad de que para todo , con se cumple que es un cuadrado perfecto: Demuestra que si añadimos cualquier otro…
Ignacio Larrosa
Correción menor:
con p, q y r enteros, r > p > q debe ser r > q > p
A mi se me ha ocurrido, un poco más enrevesado: Suponemos que m es impar: ———————————— p^2=2m-1 impar acabará en 1,5 o 9 q^2=5m-1 y r^2=13m-1 serán pares y acabarán en 0,4 o 6 Si suponemos que 2m-1 acaba en 1, entonces será 2n-1=10x+1 con x natural–> m=5x+1 con x par necesariamente. Aplicando eso a 5m-1 y 13m-1 llegamos a que el primero acabará en 4 y el segundo en 2, cosa imposible en un cuadrado. Descarto 2m-1 acabado en 1. Si suponemos que 2m-1 acaba en 5 (con que 2m-1=10X+5), llegamos a que la X es par para tener… Lee más »
Ignacio Larrosa: Certo, estaba en clase y como me salió del tirón casi no lo revisé. Me gusta tu demostración 🙂
Ignacio Larrosa. Estoy un poco espeso. ¿puedes aclarar lo de «con p, q y r enteros, r > p > q. De la primera, p debe ser impar, por lo que 2m = p^2 + 1 = 2 (mod 4) ===> m impar ===> q, r pares» ?
es que con eso salvo mi demostración, (mucho más bruta….)
pillo lo de la congruencia, pero no que m deba ser impar. Quizás es una bobada pero es que he picado con esto toda la tarde y ahora ya estoy con la mente hecha un lío….
erosfer: es que si 2m. = 2 (modo 4), tiene que ser m =1 ó 3 (modo 4). No me extiendo, que estoy de viaje con una tablet con la que no me entiendo demasiado bien …
Lo siento, pero no veo la afirmación 2m=2mod(4). No sé llegar a ella. Hum….
creo que la congruencia sale de que
es un numero impar, por lo tanto debe ser de la forma 
entonces 
y ahi se ve facilmente la congruencia 
por lo tanto
es impar porque la congruencia obliga a un unico factor de 2, que es el coeficiente de 
por lo tanto 
es impar
anda……. fíjate que no era tan difícil. Bueno, pues eso cierra mi demostración. Como m no puede ser par y para m impares he demsotrado que los 2m-1 5m-1 y 13mm-1 no pueden existir, demuestro que no hay tal m posible. MOLA.
gracias por la ayuda!!!
perdonad, pero no entiendo cuando ponéis mod 8, mod 4… que significa? Gracias!
Daremos una demostración por reducción al absurdo. Suponemos que el conjunto cumple con la propiedad, por lo tanto: Nótese que debe ser impar. Por ende, En otras palabras, en De modo que en Por lo cual, en O lo que es lo mismo, , Es decir, , o sea, es impar. También, podemos afirmar que en O lo que es lo mismo, en Es decir, , , pero esto es una contradicción (porque es impar), contradicción que provino de suponer que el conjunto cumple la propiedad que el conjunto (Propiedad según la cual, restar a el producto de cualquier par… Lee más »
Daremos una demostración por reducción al absurdo. Suponemos que el conjunto cumple con la propiedad, por lo tanto: , , Nótese que a debe ser impar. Por ende, En otras palabras, en De modo que en Por lo cual, en O lo que es lo mismo, , Es decir, , o sea, es impar. También, podemos afirmar que en O lo que es lo mismo, en Es decir, , , pero esto es una contradicción (porque ), contradicción que provino de suponer que el conjunto B cumple la propiedad que el conjunto A (Propiedad según la cual, restar 1 a… Lee más »
Hola chefo
«mod 8» significa «el resto de la división entera por 8»
Es decir, 10 mod 8 = 2, significa que al dividir 10 entre 8 te restan 2.
Si tomas el 8 (o cualquier otro número) como base de numeración, con la operación mod 8 consigues el valor del dígito menos significativo.
Por ejemplo, en base 8, el número 6135413 termina en 3 por lo que si a ese número en decimal le aplicaras mod 8 obtendrías 3.
Congruencias en Z
No sé por qué no me agarra el
Veo que todos se van por la congruencia módulo 8, por qué? si no es necesario usar esa,
Es claro que
, en 
, con eso basta para llegar a la contradicción
Porque luego se concluye que
es impar, asumiendo que la propiedad se cumple
y al usar
en 
se llega a la contradicción, y ya
Sería estupendo si alguien me contesta 🙂
¡Saludos! ¿Me podrías decir qué opinas de mi demostración, Ignacio Larrosa Cañestro? Encontré una forma más corta de llegar a la contradicción, usando solo aritmética modular en y sin necesidad de emplear la tercera ecuación. Gracias, de antemano. Transcribo nuevamente mi demostración en este post para que puedas verla de nuevo. También me gustaría saber la opinión de Diamond y de los demás que han comentado esta entrada del blog, si son tan amables 🙂 Demostración (Por reducción al absurdo): Suponemos que el conjunto cumple con la propiedad, por lo tanto: , , Nótese que debe ser impar. Por ende,… Lee más »
Antonio, pero si solo utilizas las dos primeras, si que hay un tercer valor de m, m = 13. Tu error está en suponer que b es i,par, o que 5m – 1 = 1 en Z(4). Si 5m – 1 = b^2, debe ser b par, y entonces, 5m – 1 = 0 (mod 4). De hecho la solución es m = 13 y b = 8.
Así es, Ignacio. Acabo de leer tu corrección sobre mi razonamiento, y en efecto, me has ayudado a entender el porqué de mi error, perfectamente, así como a darme cuenta de que ya era raro que la demostración hubiera salido sin necesidad de usar la tercera ecuación.
En efecto, al afirmar que
en 
, asumí que 
es impar, cosa que no es cierta, pues siendo 
impar, 
es par, y por ende lo es 
. Y lo que es más, 
en 
, tal como dices.
Nuevamente, gracias por la corrección y muy amable por tu tiempo y explicarme.
Mi error estuvo, tal como dice Ignacio, en afirmar
Buenas, a mi me parece que con la definición del problema, tal y como está, cualquier conjunto B, que contenga infinitas veces numeros contenidos ya en A cumple la propiedad porque dice que a,b pertenecen al conjunto y que a es distinto a b, es decir, el conjunto B={2,5,13,5,2,5,13,13,2,5,13} cumple la propiedad. Distinto sería que dijera que m no pertenece a A. Pero vamos que sé que se sobreentiende, pero por ser puntilloso que no quede!
Pedro, aprovecho tu intervención para aclarar algo que siempre me decían en mi carrera: Ing. en Computación, «Un conjunto no tiene repeticiones». De modo que tu propuesta no sería un caso trivial no considerado en el problema, ya que si se habla de otro conjunto B, no se puede pensar en un m que ya pertenezca a A, pues sería el mismo conjunto A, y no otro conjunto al cual se le añade otro elemento. Pero, como esa definición la usaban en Ingeniería, aprovecho para preguntarles a los matemáticos, es verdad que un conjunto no puede tener repeticiones, y que… Lee más »
Antonio, gracias por la aclaración, efectivamente, un conjunto no puede contener elementos repetidos, eso ocurre en los multiconjuntos, luego, como no podía ser de otra manera, la definición del enunciado esta perfecta!
Bueno, otra cosita más que me llevo de leeros!
¡Excelente, amigo Pedro!
Otra cosa, es trivial que si m ya pertenece a A, y damos la opción de multiconjunto, ya no se satisfaría la propiedad pedida. i.e. m = 13 ya es un cuadrado perfecto, restarle uno hace que deje de serlo. Por otra parte si definimos la propiedad como P(C), donde C es un conjunto. Buscar que se cumpla esta propiedad en B el nuevo conjunto con m, hace P(B): para todo O sea, la propiedad depende del conjunto, de modo que aplicada a B no sería con a b distintos en A, sino sería con a,b en B, a distinto… Lee más »
Apreciado Ignacio. Me gustaría consultarle algunas cosas del problema, que aún no logro ver: Entiendo que todo cuadrado perfecto es de la forma 4k o 4k+1, puesto que si es el cuadrado de un par, sería (2k)^2, y si es el cuadrado de un impar, sería (2k+1)^2. Pero no veo cómo todo cuadrado perfecto es de la forma 8k, 8k +1 o 8k+4. Me podría explicar el porqué. Esta es una duda mía cuando hacía el problema… Ahora, respecto a su solución, no veo este argumento: «Si r = 2 (mod 4) y q = 0 (mod 4), o viceversa,… Lee más »
Antonio, en cuanto a la primera cuestión, considera un número cualquiera n, que siempre puedes escribir como: n = 8m + k, con 0 k 7 Entonces, n^2 = (8m + k)^2 = 64k^2 + 16km + k^2 = 8(8k^2 + 2km) + k^2 Por tanto, n^2 y k^2 se diferencian en un múltiplo de 8 y darán el mismo resto al dividirlos por 8. Entonces solo tenemos que ver como son módulo 8 los cuadrados de 0, 1, 2, …, 7: 0^2 = 0 1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 = 1 (mod 8) 4^2 =… Lee más »
Guau!! Genial Ignacio, vaya curre!
Muchas gracias por la explicación, Ignacio.
Ya la estoy leyendo…
Entendido perfectamente, Ignacio.
Acabo de terminar de leer y «procesar» 🙂
Este problema fue el problema 1 de la IMO de 1986