El problema de esta semana está relacionado con los números complejos y me lo propuso Carlos mediante un mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com hace ya algún tiempo. A ver si somos capaces entre todos de encontrar el error y explicarlo de una forma clara.
Primero vamos a demostrar que :
Hecho esto tomamos , es decir, un número real
estrictamente positivo y hacemos los siguientes cálculos:
Hemos usado que y hemos aplicado la demostración inicial al número complejo
.
Hemos llegado a que , resultado que evidentemente es falso. ¿Dónde está el error?
Extra: en la sección ¿Quiénes somos? se originó una discusión con un problema de este tipo hace un tiempo. La cosa comenzó exactamente en este comentario. Por si lo queréis comentar aquí y dar sugerencias.
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Segun mi punto de vista z no es un complejo cualquiera, z es imaginario puro, ya que multiplicando y dividiendo por i queda z=-i log(+)/(2pi)
Asi que está demostrado para los reales y para los imaginarios puros, pero no para cualquier complejo a + bi.
http://www.juzamdjinn.blogspot.com
Hombre, es que en COMPLEJOS, el LOGARITMO no está unívocamente determinado, es decir,
, así a boteporrnto es lo primero que se me puede ocurrir
La propiedad a^n*a^m = a^(nm) no es válida más que para número reales.
Con esa propiedad también se puede demostrar que 1 = -1
1 = sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1)*sqrt(-1) = i^2 = -1
El fallo está en que sqrt(-1*-1) no es sqrt(-1)*sqrt(-1), pues esa propiedad sólo funciona para números reales.
Diría que no se puede aplicar el primer resultado, porque estamos empleando ramas diferentes a la hora de aplicarlo (coincido en ello).
i})^{\frac{\ln x}{2\pi i}}= (e^0)^{\frac{\ln x}{2\pi i}} $
…, lo que es verdadero, pero no se puede sacar de allí que $latex e^{2\pi
i*\frac{\ln x}{2\pi i}}= e^{0*\frac{\ln x}{2\pi i}} $
**puse comentar sin querer y me quedó partido a la mitad
Saludos
En general
siendo
y
complejos.
El problema viene como dice Mithril de que
. Esto hace que no se den las condiciones necesarias para que la igualdad
sea cierta.
En particular
.
La falacia se encuentra en utilizar transformaciones que se asumen válidas cuando no lo son. Es como si dado un conjunto
(un anillo de matrices por ejemplo) con una operación
que no posea la propiedad conmutativa utilizamos en una demostración un paso
siendo
y
elementos del conjunto
. El resultado será falso.
de hecho no sólo tiene 2 valores, sino INFINITOS:
En particular, si hacemos
y
sellega a la conclusión que 
Por ahi, hay una division por cero en el exponente.
La prueba seria que:
2 pi i = ln [ cos (2 pi) + i sin (2 pi) ] = ln [ 1 + 0 ] = ln 1 = 0
dividir por 0 no esta definido (excepto en ciertos pentiums)
Para mi la clave está en que
no es exacto del todo, sino que como trabajamos en el campo de los complejos
, con lo cual en la primera expresión queda que
donde ya se ve claro que en general (salvo casos como k=0), y dependiendo de las partes real e imaginaria de z, 
Para ser más exactos:
,
, y 

Dados
Entonces:
Se concluye que:
, si y solo si:
),
> 0,
,
),
> 0,
,
siendo
un divisor de
)
o (
o (
o (
Lo que demuestra que el error está en
Que coincide con lo que dice Tito Eliatron 4 comentarios más arriba
Rectifico:
o (
o (
Todos los números reales son iguales a 1…¿O no?…
Interesante propuesta vista en Gaussianos, con una no menos interesante discusión. ¿Cual es el error?…
latex
$1^i\neq 1$ según la definición de potencia compleja