Olimpiada Internacional de Matemáticas 2008 – Problema 2: Desigualdad

Publicado por ^DiAmOnD^ | 5 agosto, 2008 | Juegos | 7 |

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

(a) Demostrar que

$\cfrac{x^2}{(x - 1)^2} + \cfrac{y^2}{(y - 1)^2} + \cfrac{z^2}{(z - 1)^2} \ge 1$ (*)

para todos los números reales $x, y, z$ , distintos de $1$ , con $xyz = 1$ .
(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x, y, z$ , distintos de $1$ , con $xyz = 1$ para los cuales la expresión (*) es una igualdad.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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no somos nadie

05/08/2008 15:09

a) Si $xyz=1$ , con paciencia

$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} = \dfrac {\left(yz+zx+xy - 3\right)^2}{\left(x - 1\right)^2\left(y - 1\right)^2\left(z - 1\right)^2}+1$

b) Si $xyz=1$ , se dará la igualdad pedida si y sólo si $xy+yz+zx=3$ .

Si $z\neq 0$ , poniendo, $x=\dfrac{1}{yz}$ , llegamos a una cuadrática en y,z:

$y^2z^2+y(1-3z)+z=0$ ,

cuyo discrimante es $\Delta_y=(z-1)^2(-4z+1)$

Ponemos $z=\dfrac{1-m^2}{4}$ (con $m$ racional) para que el discriminante (en la incógnita $y$ ) sea un cuadrado perfecto: $\Delta_y=(z-1)^2m^2$ . Así, $y$ (y también x,z) sale racional, para cada m racional.

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Javier

06/08/2008 13:42

Perfecto no somos nadie, pero que pasaría si $z=0$ ?
En este caso no es un problema, ya que si $z=0$ entonces $xyz=0$ y contradeciría la hipótesi de $xyz=1$ . Ese es uno de los fallos más comunes a la hora de hacer una demostración, plantearla según diferentes casos y olvidarse de justificar que pasa con uno de ellos.

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no somos nadie

06/08/2008 20:16

No es que lo haya dejado en el tintero, Javier. Es que es un caso trivial. Efectivamente, z no puede ser 0, pues de partida se buscan soluciones racionales x,y,z tales que xyz=1.

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Paco

07/08/2008 19:55

En el problema número 2, para que xyz = 1 al menos uno de los 3 números debe ser >1. Supongamos que es x > 1; entonces el primer sumando x/(x-1) al cuadrado, es > 1. Como los otros dos sumandos son siempre positivos la suma siempre es > 1

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no somos nadie

07/08/2008 20:45

Paco, tu idea es buena, pero sólo vale si consideramos valores positivos de x,y,z. Si incluimos valores negativos, puede que todos los sumandos sean menores que 1 (aunque la suma sea mayor que uno), y la idea que das no se puede aplicar. Por ejemplo:

x=-4/3, y=-9/4, z=1/3

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ÓsQar

12/08/2008 12:56

Javier, «contradecir» se conjuga igual que «decir», así que lo correcto es «contradiría».

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Cristobal

06/09/2008 11:09

Hola, a ver qué os parece esto: a) Si # porque xyz=1 por hipótesis Si # porque xyz=1 Si # porque xyz=1 Además de estos tres casos se desprende que lo que queremos demostrar es >0, estrictamente hablando. Ahora: porque: lo cual se cumple Falta ver que puede ser igual a 1, para ello consideramos, por ejemplo: que si resolvemos las tres ecuaciones obtenemos dos ternas de números (x,y,z) que hacen que se de la igualdad (no lo resuelvo aquí porque me cuesta mucho escribir en latex) Total, juntándolo todo obtenemos la demostración de la desigualdad pedida en el problema.… Lee más »

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