Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:
(a) Demostrar que
(*)
para todos los números reales
, distintos de
, con
.
(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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a) Si
, con paciencia
b) Si
, se dará la igualdad pedida si y sólo si 
.
Si
, poniendo, 
, llegamos a una cuadrática en y,z:
cuyo discrimante es
Ponemos
(con 
racional) para que el discriminante (en la incógnita 
) sea un cuadrado perfecto: 
. Así, 
(y también x,z) sale racional, para cada m racional.
Perfecto no somos nadie, pero que pasaría si
?
entonces 
y contradeciría la hipótesi de 
. Ese es uno de los fallos más comunes a la hora de hacer una demostración, plantearla según diferentes casos y olvidarse de justificar que pasa con uno de ellos.
En este caso no es un problema, ya que si
No es que lo haya dejado en el tintero, Javier. Es que es un caso trivial. Efectivamente, z no puede ser 0, pues de partida se buscan soluciones racionales x,y,z tales que xyz=1.
En el problema número 2, para que xyz = 1 al menos uno de los 3 números debe ser >1. Supongamos que es x > 1; entonces el primer sumando x/(x-1) al cuadrado, es > 1. Como los otros dos sumandos son siempre positivos la suma siempre es > 1
Paco, tu idea es buena, pero sólo vale si consideramos valores positivos de x,y,z. Si incluimos valores negativos, puede que todos los sumandos sean menores que 1 (aunque la suma sea mayor que uno), y la idea que das no se puede aplicar. Por ejemplo:
x=-4/3, y=-9/4, z=1/3
Javier, «contradecir» se conjuga igual que «decir», así que lo correcto es «contradiría».
Hola, a ver qué os parece esto: a) Si # porque xyz=1 por hipótesis Si # porque xyz=1 Si # porque xyz=1 Además de estos tres casos se desprende que lo que queremos demostrar es >0, estrictamente hablando. Ahora: porque: lo cual se cumple Falta ver que puede ser igual a 1, para ello consideramos, por ejemplo: que si resolvemos las tres ecuaciones obtenemos dos ternas de números (x,y,z) que hacen que se de la igualdad (no lo resuelvo aquí porque me cuesta mucho escribir en latex) Total, juntándolo todo obtenemos la demostración de la desigualdad pedida en el problema.… Lee más »