Introducción

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados

En primer lugar vamos a escribir el enunciado de nuestro teorema:

Teorema:

Todo primo p congruente con 1 módulo 4 (esto es, p \equiv 1 (mod \; 4)) puede expresarse como suma de dos cuadrados.

Demostración

Tomamos p un número primo y comenzamos definiendo el siguiente conjunto:

S=\{(x,y,z)\in \mathbb{N}^3|\ x^2 + 4yz=p \}

Un par de consideraciones sobre S:

  • Ninguno de los elementos de S tiene una coordenada nula, ya que si alguna de ellas fuera cero p no podría ser un número primo.
  • El conjunto S es finito, ya que todas las coordenadas de un elemento de S son menores que el propio p.

Vamos a definir ahora la siguiente aplicación f: \; S \rightarrow S:

f(x,y,z)= \left \{ \begin{matrix} (x+2z,z,y-x-z), \; si \; x < y-z \\ (2y-x,y,x-y+z), \; si \; y-z < x < 2y \\ (x-2y,x-y+z,y), \; si \; x > 2y \end{matrix} \right.

Algunos comentarios sobre esta f:

  • La aplicación está bien definida, ya que todas las coordenadas son positivas (teniendo en cuenta los conjuntos de definición de cada trozo) y la terna resultante en cada caso vuelve a ser un elemento de S (esto último puede comprobarse de forma sencilla desarrollando las operaciones correspondientes en cada caso).
  • La aplicación f es una involución, es decir, una función que cumple que f(f(x,y,z))=(x,y,z). Esto también es sencillo de demostrar, pero al igual que en el caso anterior debemos tener cuidado con el tipo de terna que obtenemos. Por ejemplo, si (x,y,z) está en el tercer tramo, su imagen es (x-2y,x-y+z,y), que pertenece al los del primer tramo ya que x-2y < x-2y+z[/latex]. Aplicándole [latex]f[/latex] a este punto y realizando las operaciones correspondientes vemos que obtenemos de nuevo [latex](x,y,z)[/latex]. El resto de casos se comprueban también de manera sencilla.</li> <li><strong>La aplicación [latex]f tiene un único punto fijo (es decir, un punto (x,y,z) tal que f(x,y,z)=(x,y,z)).. Para el primer tramo, un punto fijo implicaría y=z, por lo que la última coordenada sería -x, cosa que es imposible. Para el tercer tramo debería cumplirse que x=x-2y, por lo que y debería ser cero, hecho que tampoco puede producirse. Por ello los únicos puntos fijos que tenga f deben ser del segundo tramo. Si eso ocurre debe ser x=y, por lo que la búsqueda de puntos fijos se centra ahora en encontrar puntos (x,x,z) \in S, es decir, que verifiquen x^2+4xz=p. Si sacamos x factor común tenemos la igualdad p=x(x+4z), lo que implica (por ser p primo) que x=1. Por ello el único punto fijo de f es (1,1,z). Además de aquí también obtenemos que es necesario que p=4z+1.

Utilizando ahora el hecho siguiente:

Un conjunto finito y su subconjunto de puntos fijos para cualquier involución tienen la misma paridad.

Como f tiene un único punto fijo, su subconjunto de puntos fijos tiene cardinal impar. Por ello S también tiene un número impar de elementos.

Definimos ahora una segunda aplicación g: \; S \rightarrow S que también es una involución:

g(x,y,z)=(x,z,y)

El hecho de que g es una involución es evidente. Pero además, como S tiene cardinal impar entonces el conjunto de puntos fijos de g también tiene un número impar de elementos, por lo que debe existir al menos un punto fijo. Dicho punto fijo será entonces de la forma (x,y,y). Pero como este punto es un elemento de S se tiene lo siguiente:

p=x^2+4y^2=x^2+(2y)^2

con lo que nuestro número primo p de la forma p=4z+1 cumple que se puede escribir como suma de dos cuadrados, concretamente los de x y 2y. \Box

Actualización:

Para quien quiera profundizar os dejo un enlace JSTOR donde puede consultarse el artículo original:

Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, doi:10.2307/2323918
http://www.jstor.org/pss/2323918

Para finalizar comentar que las consideraciones adicionales que aparecen en el artículo de vengoroso no forman parte de la demostración original de Zagier.

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