Cuando queremos realizar un sorteo para elegir una persona, un sitio o una película de entre dos opciones posibles es típico hacerlo mediante pares o nones o mediante el lanzamiento de una moneda. El primero de ellos es un método de sorteo justo si consideramos que cada jugador saca una cantidad de dedos al azar (aunque en esas condiciones en Los Simpson deja de ser justo), y el segundo también lo es si asumimos que la moneda que utilizamos no está trucada. Ahora, ¿qué ocurre si sabemos que la moneda que vamos a usar está trucada?. Pues también podemos realizar un sorteo justo con ella. Vamos a ver cómo hacerlo.

Supongamos que tenemos una moneda que sabemos que está trucada, por lo que una de las opciones (cara o cruz) tiene mayor probabilidad de salir que la otra (consideramos también que la probabilidad de que caiga de canto es 0). Digamos que la probabilidad de que salga cara es p y que, por tanto, la probabilidad de que salga cruz es 1-p. Evidentemente, si p es mayor que 1-p en un sorteo «habitual» quien eligiera cara tendría ventaja, y lo mismo para el que escogiera cruz si fuera al contrario. Pues lo que vamos a hacer es dar una manera de hacer este sorteo de forma que ninguno de los dos jugadores tenga ventaja usando esta moneda.

Antes de describir esta forma de realizar el sorteo, es interesante comentar que sucesivas tiradas de una moneda son sucesos independientes, lo que quiere decir que el hecho de obtener un resultado en una de las tiradas no influye en el resultado de las siguientes tiradas (vamos, que la moneda «no recuerda» lo que salió en tiradas anteriores). Por ello, si tiramos dos veces la moneda, y según las leyes de la probabilidad, se tiene que la probabilidad de obtener dos sucesos cualesquiera (dos caras, cara y cruz, cruz y cara o dos cruces) es el producto de las probabilidades de obtener cada uno de ellos por separado.

Ésa es la clave de nuestro sorteo, que vamos a describir a continuación, y cuya creación se le atribuye al gran matemático húngaro John von Neumann. Tomamos la moneda trucada y la lanzamos dos veces. Si llamamos A a uno de los jugadores y B al otro:

  1. Si obtenemos dos caras o dos cruces volvemos a tirar la moneda otras dos veces (vamos, como si en un sorteo «habitual» la moneda cae de canto).
  2. Si sale cara en la primera tirada y cruz en la segunda gana el jugador A.
  3. Si sale cruz en la primera tirada y cara en la segunda gana el jugador B.

Vamos a comprobar que, efectivamente, el sorteo es justo. La probabilidad de que salga cara-cara es

P(CC)=p \cdot p=p^2

y la de cruz cruz es

P(XX)=(1-p) \cdot (1-p)=(1-p)^2

Al ser distintas las desechamos. Ahora, la probabilidad de cara-cruz es

P(CX)=p \cdot (1-p)

y la de cruz-cara es

P(XC)=(1-p) \cdot p

que claramente son iguales. Por tanto, con esta manera de realizar el sorteo obtenemos, efectivamente, un sorteo justo, ya que los dos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar (aunque la moneda esté trucada). De hecho, puede ser interesante utilizar esta forma de sortear en todos los casos, ya que en principio no tenemos por qué estar seguros de que la moneda que vamos a usar no esté trucada. No me refiero a que nos quieran engañar, que también, pero podría ser que estuviera trucada «accidentalmente» (por un golpe, o por el mismo relieve de la cara y la cruz). Ahora, lo que puede ser más complicado es convencer a nuestro oponente de que el sorteo que le proponemos es, posiblemente, más justo que el típico «¿cara o cruz?». Probadlo, a ver qué cara pone el contrario.


La imagen de las monedas la he tomado de aquí.


Esta entrada participa en la «Edición 5.6: Paul Erdős» del Carnaval de Matemáticas (15-21 septiembre 2014) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es David Orden desde su blog Cifras y Teclas.

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