Durante el pasado fin de semana Rodrigo, lector del blog, me envió los problemas que se propusieron el viernes día 11 de enero en la Olimpiada Matemática de Baleares y me ha parecido interesante proponerlos en el blog en las próximas semanas. Hoy os dejo el primero de la primera sesión, cuyo enunciado es el siguiente:
Halla las funciones
definidas en los números reales y con valores reales que satisfacen la ecuación funcional
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Si x=0 se tiene que f(0)=1.
Por otra parte, si x distinto de 0:
f(x)+x*f(-x)=1 y f(-x)-x*f(x)=1
Multiplicando por x la primera ecuación y sumando la segunda:
x*f(x)+x^2*f(-x)+f(-x)-x*f(x)=x+1
(x^2+1)*f(-x)=x+1
f(-x)=(x+1)/(x^2+1)
Cambiando x por -x se tiene que:
f(x)=(1-x)/(x^2+1) , para todo x real
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Durante el pasado fin de semana Rodrigo, lector del blog, me envió los problemas que se propusieron el viernes día 11 de enero en la Olimpiada Matemática de Baleares y me ha parecido interesante proponerlos en el blog en l……
cambiando x por -x resulta:
f(-x)-xf(x)=1
El sistema de ecuaciones
f(x)+xf(-x)=1
f(-x)-xf(x)=1
tiene por solucion: f(x)=(x+1)/(x²+1)
Penyeta, tienes una errata en el numerador, el signo de la x es negativo.
De todas formas, nos falta demostrar que es la única función que cumple las condiciones (si es que es la única, tiene pinta)
Se me ocurren algunos ejemplos:
X=1 f(x)=ln(x+2)/ln(3)
x=0 f(x)=Cos(x)
X=0 f(x)=exp(x)
Pablotrompeta
Cuando x=0 no es una f(x) sino una f(0). Cualquier función que cumpla f(0)=1 valdría
Lo mismo para x=1
Yo creo que el problema está resuelto en su totalidad dado que no se ha impuesto ninguna condición como continuidad o derivabilidad y muy bien por cierto.
Encontre esta, no funciona del todo , en los negativos falla:
uops, cierto Damiancete. Además, no había visto tu solución y yo no hago más que repetirla. Disculpa…
¡Buenas! Me presento: soy nuevo en estos lares y soy aficionado a las matemáticas y proyecto de Ing. de Teleco. Sigo desde hace tiempo este blog y quiero felicitar por la labor divulgativa y hacer ameno el contacto con este maravilloso mundillo a los menos prolijos en las matemáticas. La solución de unicidad creo que ya viene implícita en las manipulaciones que hacen «Damiancete» y «penyeta»(sino que me corrija algún experto en estos detalles), pero aún así la prueba de ella sería una cosa así(con esto de la unicidad de solución en Teleco nos dan mucha tralla para Ecs. Diferenciales… Lee más »
Reedito mi solución a la unicidad tipográficamente bien que edité y me falló «LaTeX» :S
y 
. Para garantizar la unicidad debemos demostrar que 
o análogamente 
. Aplicando la condición de partida para 
del enunciado podemos decir que 
:
Supongamos que existen dos soluciones
Podemos ver como podemos continuar diciendo, aplicando la fórmula anterior sobre
:
y la única manera de que 
es cuando 
y por tanto 
.
es única y es la solución que ya ha dado “Damiancete” en el primer comentario-post.
Por tanto:
Esta condición se debe cumplir
Por lo tanto hemos demostrado que
LLego tardecillo y no sé si esto es correcto, pero a ver qué os parece mi razonamiento.
La función
se puede descomponer como suma de una función par y otra impar: 
. Entonces, la ecuación original se convierte en:
Por las propiedades de las funciones pares e impares, tenemos:
A continuación agrupamos las funciones pares e impares de la expresión de la izquierda, e igualamos a las de la derecha (
y 
, respectivamente):
Tomando
e 
como incógnitas, resolvemos la ecuación, obteniendo:
Una vez comprobado que efectivamente
es par e 
es impar, confirmamos que la única solución es
.
Me acabo de dar cuenta de que he puesto mal las ecuaciones, va el 1 en la primera y el 0 en la segunda (
es una función par).
«A continuación agrupamos las funciones pares e impares de la expresión de la izquierda, e igualamos a las de la derecha (0 y 1, respectivamente):
….=1
….=0»
¿de dónde sacas eso Ñbrevu? Parece que asignes el valor 0 y 1 arbitrariamente.
Nada, nada, ya está ñbrevu. Viene de las propiedades de las operaciones con funciones pares, impares, etc. (ejemplo: suma (y producto) de funciones pares es una función par, etc.)
Yo lo he hecho de la siguiente forma: Supongo un f(x) que admite desarrollo en série de potencias. Entonces la funcional quedaría: Esto implica que: Con lo cual: Operando un poco podemos observar que: Observando que el desarrollo en série de potencias de es tenemos pues que: Observando que el desarrollo en série de potencias de es tenemos pues que: Con lo cual al menos sabemos que existe una función que: 1 – Cumple la ecuación funcional. 2 – Admite desarrollo en série de potencias, siendo dicho desarrollo su série de Taylor, siendo la función infinitamente diferenciable. 3 – No… Lee más »
Tengo una errata:
Esto se aplica a todos los
, no solo con los primeros 4, con lo que deducimos la série de potencias calculada
Reciba un cordial saludo a todo el equipo de este blog Gaussiano, mi nombre es JUAN CARLOS DORANTE soy de Venezuela y como puede observar le dejo la información que necesita para la solución de este problema, cualquier comentario y duda me pueden escribir a mi correo: juancarlosdorante@gmail.com 1er Caso cuando la función es Par: Calcular f(x) f(x)+x.f(-x)=1;Cuando la función es par f(-x)=f(x) Tenemos que: f(x)+x.f(x)=1;Por definición de función par f(x).[1+x]=1;Por factor común f(x)= 1/(1+x) ;Por despeje de la función f(x) Por lo tanto hemos conseguido la función f(x) cuando es par. 2do Caso cuando la función es Impar: Calcular… Lee más »