Creo que la mayoría de los que pasáis por aquí con cierta frecuencia conocéis el programa Mathematica, magnífico software matemático creado por Stephen Wolfram. Y también conoceréis el más-que-buscador Wolfram|Alpha, de grandísima utilidad tanto para cálculos matemáticos como para muchas otras cosas, ¿verdad? Bien, pues os voy a contar una cosa que nos ocurrió el otro día en clase en relación con ellos.

La cuestión, como se puede ver en el título del post, es que parece que tanto Mathematica (la versión 8.0 en este caso) como Wolfram|Alpha dan un resultado erróneo al calcular un cierto límite. Dicho límite, que apareció hace unos días en una de las clases que imparto, es el siguiente:

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \cfrac{\displaystyle{\int_1^{x^2+1} \cfrac{e^{-t}}{t} \; dt}}{3x^2}}

Lo primero que vamos a hacer es calcularlo. De entrada obtenemos la indeterminación 0 \over 0, que resolvemos usando la regla de L’Hopital (para calcular la derivada del numerador utilizamos la generalización del primer Teorema Fundamental del Cálculo). Al derivar una vez nos queda ya una expresión sencilla de reducir a una única fracción a partir de la cual al volver a sustituir llegamos al resultado final:

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \cfrac{\displaystyle{\int_1^{x^2+1} \cfrac{e^{-t}}{t} \; dt}}{3x^2}}=\{L'Hopital \}=\displaystyle{\lim_{x \to 0} \cfrac{\frac{e^{-(x^2+1)}}{x^2+1} \cdot 2x}{6x}}=\displaystyle{\lim_{x \to 0} \cfrac{e^{-(x^2+1)}}{3(x^2+1)}=\cfrac{e^{-1}}{3}}

Es decir, el resultado de este límite es 1 \over {3e}.

Uno de los chicos de clase (Daniel, para más señas) lo intentó calcular después como Wolfram|Alpha. Veamos qué nos dice. Introducimos en él la expresión

limit x->0 (integrate from 1 to (x^2+1) e^(-t)/t)/3x^2

y obtenemos el siguiente resultado:

¿Obtenemos como resultado {1 \over 3} \left ( {1 \over e}-1 \right )? ¿?¿?¿? O sea, que Wolfram|Alpha nos dice que el resultado es que hemos obtenido nosotros a mano menos 1 \over 3.

Veamos ahora qué nos dice Mathematica 8.0. Introducimos en él la expresión

Limit[Integrate[Exp[-t]/t,{t,1,x^2+1}]/(3 x^2),x->0]

y obtenemos el siguiente resultado:

El mismo resultado que el obtenido en Wolfram|Alpha. No era de extrañar, la verdad, pero por probar no perdíamos nada.

Probemos ahora con Derive (la versión 6.0 en este caso):

¡Vaya! En este caso sí obtenemos el resultado correcto.

¿Qué es lo que ocurre? Pues, sinceramente….no lo sé. No sé por qué Mathematica 8.0 y Wolfram|Alpha dan un resultado erróneo, pero el caso es que lo dan. Y aunque no está de más recordar que sólo con el ordenador no es suficiente, pienso que esto no debería ocurrir. Sería magnífico si alguien sabe por qué ocurre esto y nos puede explicar cómo solucionarlo (si es que se puede).

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