Función constante

Publicado por ^DiAmOnD^ | 13 abril, 2010 | Juegos | 7 |

Os dejo el problema semanal:

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos y sean $x(t), y(t)$ dos funciones que cumplen que $x(0) > 0$ , $y(0) > 0$ y además:

$x^\prime (t)=ax(t)-bx(t)y(t)$
$y^\prime (t)=-cy(t)+dx(t)y(t)$

Demostrar que existe una función real de dos variables

$z: \; \mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$

tal que $z(x(t),y(t))$ es constante para todo $t$ perteneciente al dominio de existencia de $x(t)$ e $y(t)$ .

Suerte.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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josejuan

13/04/2010 08:40

Je, je, éste es trivial
z( x(t), y(t) ) = K
(obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros)

Bitacoras.com

13/04/2010 08:48

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Sean números reales positivos y sean dos funciones que cumplen que , y además: Demostrar que existe una función real de dos variables tal que es constante para todo perteneciente al dominio de ……

castilla

13/04/2010 10:20

Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función que se pide y es tal que para todo . Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es . El truco… Lee más »

orlin

13/04/2010 11:44

Si la función $z(x,y)$ existe debe cumplir: $\frac{dz(x,y)}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \dot x+\frac{\partial z}{\partial y} \dot y = 0$ , haciendo uso del sistema del problema esto es igual a, $\frac{\partial z}{\partial x} x(a-by)+\frac{\partial z}{\partial y} y(-c+dx) = 0$ , por lo tanto, $\frac{\partial z}{\partial x} \frac{x}{c-dx}-\frac{\partial z}{\partial y} \frac{y}{a-by} = 0$ , supongo que la función $z(x,y)=A(x)+B(y)$ , sustituyendo en la ecuación anterior queda:
$A^\prime(x)\frac{x}{c-dx}-B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = 0$ , de ahí, $A^\prime(x)\frac{x}{c-dx} = K$ , $B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = K$ , donde $K$ es una constante.
Resolviendo ambas ecuaciones queda:
$A(x) = K(cLn(x)-dx)$
$B(y) = K(aLn(y)-by)$
por lo tanto la función $z(x,y) = K(cLn(x)-dx+aLn(y)-by )$

josejuan

13/04/2010 12:24

Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma…

13/04/2010 13:46

También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial:
1) $dx^\prime+by^\prime=ad x-bc y$ ;
2) $\frac{d}{dt}\log x=\frac{x^\prime}{x}=a-by$ , $\frac{d}{dt}\log y=\frac{y^\prime}{y}=-c+dx$ , y $\frac{d}{dt}(c\log x+a\log y)= adx-bcy$ , como en 1).