Os dejo el problema semanal:
Sean
números reales positivos y sean
dos funciones que cumplen que
,
y además:
Demostrar que existe una función real de dos variables
tal que
es constante para todo
perteneciente al dominio de existencia de
e
.
Suerte.
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Je, je, éste es trivial
z( x(t), y(t) ) = K
(obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros)
Información Bitacoras.com…
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Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función que se pide y es tal que para todo . Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es . El truco… Lee más »
Si la función
existe debe cumplir:
, haciendo uso del sistema del problema esto es igual a,
, por lo tanto,
, supongo que la función
, sustituyendo en la ecuación anterior queda:
, de ahí,
,
, donde
es una constante.



Resolviendo ambas ecuaciones queda:
por lo tanto la función
Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma…
También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial:
;
,
, y
, como en 1).
1)
2)
Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función que se pide y es tal que para todo . Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es . El truco… Lee más »
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