Tercer problema, último del primer día, de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. El enunciado es el siguiente:

Sean k y n enteros, con n \geq k \geq 3. Se consideran n+1 puntos en el plano, no alineados entre sí tres a tres. A cada segmento que une entre sí dos de esos puntos se le asigna un color de entre k colores dados.

Se dice que un ángulo es bicolor si tiene por vértice uno de los n+1 puntos, y por lados dos de los segmentos anteriores que sean de distinto color.

Demuestra que existe una coloración tal que el número de ángulos bicolores es estrictamente mayor que

n \; \left \lfloor \cfrac{n}{k} \right \rfloor ^2 \; \displaystyle{{k \choose 2}}

OBSERVACIÓN: Se denota por \lfloor t \rfloor la parte entera del número real t. Es decir, el mayor entero n \leq t.

Que se os dé bien.

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