Operar con números romanos

Hace un tiempo neok nos comentaba que uno de los motivos por los que la numeración romana sucumbió frente a la arábiga fue la dificultad para realizar operaciones como el producto y la división. En ese post incluyó un enlace a este post de Microsiervos donde se comentaba un artículo sobre los números romanos pero sin entrar en detalles en lo que a las operaciones entre ellos se refiere. Este post va a servir para que conozcamos esos detalles. Adentrémonos pues en la aritmética de los números romanos

El sistema de numeración romano

Aunque parto de la base de que todos conocemos este sistema de numeración voy a comentar algo sobre él. El sistema de numeración romano es un sistema no posicional que asigna valores a ciertas letras. Las letras usadas y sus valores son los siguientes:

Los romanos no tenían símbolos para representar cantidades mayores a 1000, aunque algunas modificaciones más modernas usan una barra encima de cada una de las letras para representar el producto de su valor por mil. Por ejemplo, V con una barra encima valdría 5000, X con una barra encima valdría 10000, y así sucesivamente.

La representación de cada número en este sistema es bastante curiosa, por decirlo de alguna forma. Si escribimos un símbolo delante de otro mayor estamos restando el menor al mayor. Por ejemplo, IX sería 10 – 1 = 9. Si escribimos un símbolo detrás de otro mayor se lo estamos sumando. Por ejemplo, LX = 50 + 10 = 60. Podemos usar símbolos iguales de forma consecutiva en un máximo de tres apariciones. Por ejemplo, XXX = 10 + 10 + 10 = 30 (la I parece ser una excepción, ya que a veces el número 4 se representaba IV y a veces IIII). Y en general no podemos restarle a un símbolo otro que sea menor que un décimo del valor del primero. Por ejemplo, 49 se escribe como XLIX y no como IL.

En general podemos decir la escritura de un número en este sistema está estructurada alrededor del símbolo más grande usado para escribir el número.

Vamos con las operaciones con números romanos:

Suma de números romanos

Para sumar números romanos debemos seguir los siguientes pasos:

• 1.- Convertimos las restas en sumas. Por ejemplo, IX debería ser reescrito como VIIII
• 2.- Concatenamos los dos números que queremos sumar
• 3.- Ordenamos los símbolos en orden decreciente según su valor
• 4.- Hacemos sumas internas de derecha a izquierda. Por ejemplo, si aparece IIIII lo reemplazamos por V
• 5.- Volvemos a convertir a restas en los lugares donde sea necesario para respetar las reglas de escritura antes descritas

Vamos a ver un ejemplo: 145 + 79. En números romanos: CXLV + LXXIX

• 1.- CXLV pasa a CXXXXV. LXXIX pasa a LXXVIIII
• 2.- Concatenamos: CXXXXVLXXVIIII
• 3.- Ordenamos: CLXXXXXXVVIIII
• 4.- Sumas: VV pasa a X. Queda CLXXXXXXXIIII. XXXXXXX pasa a LXX. Queda CLLXXIIII. Y LL pasa a C. Queda CCXXIIII
• 5.- Pasamos a restas en los lugares donde corresponda: IIII pasa a IV. Nos queda el resultado deseado: CCXXIV = 224

Resta de números romanos

La resta de números romanos es algo más sencilla que la suma. Los pasos a seguir para A – B son los siguientes:

• 1.- Convertimos las restas en sumas
• 2.- Eliminamos los símbolos comunes a A y a B
• 3.- Para el símbolo más grande que quede en B expandimos tomamos el primer símbolo de A mayor que él y lo expandimos. Después volvemos a aplicar el paso 2.-. Hacemos esto las veces que sea necesario
• 4.- Volvemos a pasar a restas donde sea necesario

Vamos con un ejemplo: 241 – 85. En números romanos: CCXLI – LXXXV

• 1.- CCXLI pasa a CCXXXXI. LXXXV queda igual
• 2.- Quitamos XXX de cada uno de ellos. Quedan CCXI y LV
• 3.- Como L es el símbolo más grande del segundo número expandimos una C del primero como LXXXXX. Quedan CLXXXXXXI y LV. Quitamos L de los dos y quedan CXXXXXXI y V. Como V es el único símbolo que queda expandimos una X del primero como VIIIII. Quedan CXXXXXVIIIIII y V. Quitamos V de los dos y nos queda CXXXXXIIIIII. Colocando el número siguiendo las reglas de escritura queda CLVI
• 4.- En este caso no hace falta pasar a restas. El resultado es CLVI = 156

Multiplicación de números romanos

La multiplicación de números romanos nos trae las primeras complicaciones realmente serias. No hay formas sencillas de realizarla. En principio podríamos pensar en lo más evidente: hacer sumas sucesivas. Pero eso no es demasiado útil si tenemos números grandes. Vamos a ver una manera de hacer ese tipo de multiplicaciones en la que tendremos que suponer que sabemos multiplicar y dividir por dos un número romano (calcular el doble o la mitad de un número es sencillo sin necesidad de reglas multiplicación y de división):

Para calcular A·B formamos dos columnas y colocamos A en la de la izquierda y B en la de la derecha. Pasos a seguir:

• 1.- Dividimos A entre 2 y escribimos el cociente de la división debajo de A. Por ejemplo, si A es 15 escribiremos debajo 7
• 2.- Multiplicamos B por 2 y escribimos el resultado debajo de B
• 3.- Repetimos los pasos 1.- y 2.- con los números que vamos obteniendo hasta que ne la columna de la izquierda aparezca un 1.
• 4.- Tachamos de la tabla resultante todas las filas en las que el número de la izquierda sea par
• 5.- Sumamos los números que nos hayan quedado en la columna de la derecha. El resultado de esta suma es el resultado de A·B

Vamos con un ejemplo. Vamos a hacer 45·29. En números romanos XLV·XXIX. Construímos la tabla:

Tachamos las filas donde el número de la izquierda es par. Nos queda la siguiente tabla:

Sumamos los números que han quedado en la columna de la derecha utilizando la regla de la suma que hemos visto anteriormente:

XXIX + CXVI + CCXXXII + CMXXVIII =
= XXVIIII + CXVI + CCXXXII + DCCCCXXVIII =
= [Concatenamos y ordenamos de mayor a menor valor] =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVIIIIIIIIII =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVVV =
= DCCCCCCCXXXXXXXXXXV =
= DCCCCCCCCV =
= DDCCCV =
= MCCCV

Y nos queda el resultado deseado: MCCCV = 1305

División de números romanos

Con la división de números romanos es con la operación con la que nos encontramos más problemas. Al parecer no existen reglas generales para poder realizarla. Simplemente nos queda restar el divisor al dividendo hasta que lleguemos a un número menor que el divisor. El número de veces que hayamos restado será el cociente de la división. Por ejemplo, para 23/5 quedaría:

23 – 5 = 18; 18 – 5 = 13; 13 – 5 = 8; 8 – 5 = 3
Resto = 3; Cociente = 4 (hemos restado 5 cuatro veces)

Otra opción que tenemos es buscar algún factor común a los dos números que queremos dividir. Así, antes de comenzar la división podemos simplificar los dos números por ese factor y las operaciones a realizar serán más sencillas al operar con números más pequeños. Pero de todas formas sigue siendo tedioso.

Conclusión

Como podéis ver estábamos en lo cierto cuando comentábamos que no es demasiado sencillo operar con números romanos. Aunque como hemos visto existen reglas para operar con ellos éstas se hacen extremadamente duras de usar cuando tratamos con números relativamente grandes (sobre todo la multiplicación), además de suponernos una gran cantidad de tiempo. Además el hecho de no poseer una regla para dividir números romanos hace que este sistema de numeración quede algo cojo. De todas formas como hemos podido ver el sistema es tan curioso e imaginativo que por sí solo tiene interés. Las reglas que tenemos para operar y la forma de uso de las mismas hacen que el sistema se aún más atrayente.

Fuente: Good Math, Bad Math