Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, \displaystyle{\int}, por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo.

En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte. La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann.

Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente.

Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:

\displaystyle{\int u \cdot dv =u \cdot v - \int v \cdot du}

Después del susto inicial, nos explican que la integral que aparece en la parte izquierda es la nuestra, la que queremos resolver, y la parte derecha es la expresión resultante de la aplicación del método. Aparte del típico

«¿De dónde se ha sacado esto este tío?» (aunque es fácil: derivada de un producto, integrar a ambos lados de la igualdad y colocar de manera conveniente)

uno de los primeros pensamientos que nos vienen a la mente es (en el mejor de los casos)

«Vale, otra fórmula que me tengo que empollar»

Y cuando nos dicen que además debemos elegir una parte de la función a integrar y llamarla u y llamar al resto dv, la situación se torna en un caso claramente hecho a medida pde la pitonisa Lola y sus velas negras, Paco Porras y su nabo (ups, perdón) o Sandro Rey y su…mejor me callo:

Vale, y encima tengo que adivinar de qué manera llamar a cada parte

Pues no amigos, no está todo perdido. La mnemotecnia (y los profesores más o menos buenos) va a rescatarnos del pozo en el que nos hayamos metidos, va a eliminar de un plumazo (bueno, de dos) esa desazón que recorre nuestro cuerpo, va a llevarnos por el buen camino de este noble arte de la integración por partes.

Primera cuestión: ¿cómo me aprendo la fórmula?

Como hemos comentado, la primera cuestión que se nos viene a la cabeza es que debemos aprendernos esa fórmula de memoria. Pero, como hemos comentado, la mnemotecnia es nuestra amiga, y en este caso nos va a ayudar, y mucho.

Son muchísimas las frasecillas que existen para recordar la fórmula base del método de integración por partes, en las que la idea es quedarse con la primera letra de cada palabra para así reconstruir dicha fórmula. En algunas se incluyen palabras comenzando por S para simbolizar dónde hay integrales, en otras no se hace y en otras solamente se incluye la segunda integral. Os dejo aquí unas cuantas sacadas de la Wikipedia en español, los comentarios en «I will derive» en Menéame, una de Twitter y mi experiencia personal:

  • Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
  • Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
  • Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales
  • Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme
  • Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme

Y las que para mí son las más…especiales:

  • La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme (de Juanfran, exalumno mío)
  • Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio (de raulf)

Como podéis ver hay para todos los gustos. Primer nivel: SUPERADO.

Segunda cuestión: ¿cómo aplico el método?

Superada la primera parte, queda la que todos (ay, bendita ignorancia) pensamos que es la más difícil: ¿qué uso para determinar cómo asignar u y dv de forma correcta? ¿La bola de cristal? ¿O será más conveniente preguntar a los posos de café? ¿Me dirá el ahorcado del Tarot cuál es la mejor asignación?

No, nada de eso. Dejemos estos métodos de engañación a un lado y descubramos, por fin, la regla de oro, la panacea del sujeto integrador, el método esperado, llegado del mundo de la mnemotecnia. Señoras y señores, con ustedes la regla ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

  • A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
  • L: Logaritmos
  • P: Potencias (de exponente numérico)
  • E: Exponenciales
  • S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

  1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
  2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos u a esa función arco y dv al resto (dx en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos u al logaritmo y dv al resto (también dx); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos u a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y dv al resto (que ahora será la otra función por dx).

Por ejemplo, la integral

\displaystyle{\int x \log{(x)} \; dx}

es un producto de x, que pertenece a P, y \log{(x)}, que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

u=\log{(x)} \qquad dv=x \cdot dx

A partir de ellos calcularemos du (derivando lo que hemos llamado u) y v (integrando lo que hemos llamado dv), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

Herbert KasubeEn inglés, este método se denomina LIATE

  • Logarithmic functions
  • Inverse trigonometric functions
  • Algebraic functions
  • Trigonometric functions
  • Exponential functions)

y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley que podéis ver a la derecha de estas líneas con una sonrisa más bien forzada aderezada con un buen mostacho (imagen tomada de su perfil en la web de la Universidad de Bradley), en «A Technique for Integration by Parts” (American Mathematical Monthly, March 1983, page 210) que, hablando de todo un poco, no he conseguido encontrar. Aunque, para que coincidiera plenamente con nuestro montañoso método debería ser ILATE. No hay problema, las dos sirven. Por cierto, el orden de las dos últimas, SE ó ES en español y TE ó ET en inglés, es indiferente. Se toma ES en español y TE en inglés porque la palabrita queda mejor.

Después de todo esto a uno se le abren los ojos, se hace la luz y ve con claridad el camino a seguir. Por fin encontramos una regla infalible para resolver todas las int¡¡UN MOMENTO!! ¿Quién ha dicho que la regla sea infalible? No, amigos, por desgracia la regla no es infalible. Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental (recordad este post), y en otro casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método. Por ejemplo, si para resolver la integral

\displaystyle{\int x^3 \cdot e^{x^2} \; dx}

tomamos u=x^3 y dv=e^{x^2}, llegaremos a que no podemos calcular v, ya que esa función no tiene primitiva elemental. Sin embargo, tomando

u=x^2 y dv=x \cdot e^{x^2}

sí podremos terminar nuestra integral. Como se puede ver es un pequeño apaño para conseguir que dv tenga primitiva elemental.

Pero aunque no tenemos fiabilidad total, es evidente que ALPES funciona de maravilla en la gran mayoría de los casos, y que nos evitará tener que estar meditando cuál de las funciones es más adecuada para colgarle el cartel de u. Nunca lo olvidéis, los ALPES son vuestros amigos. Nivel dos: SUPERADO.

YOU WIN!!


Si todavía no has visto el vídeo I Integrate by Parts…¿a qué estás esperando?


He preferido no meterme demasiado en los casos en los que hay que aplicar integración por partes varias veces (ya sean cíclicos o no cíclicos), aunque no descarto hacerlo más adelante.


Nueva aportación a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

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