Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, , por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo.
En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte. La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann.
Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente.
Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:
Después del susto inicial, nos explican que la integral que aparece en la parte izquierda es la nuestra, la que queremos resolver, y la parte derecha es la expresión resultante de la aplicación del método. Aparte del típico
«¿De dónde se ha sacado esto este tío?» (aunque es fácil: derivada de un producto, integrar a ambos lados de la igualdad y colocar de manera conveniente)
uno de los primeros pensamientos que nos vienen a la mente es (en el mejor de los casos)
«Vale, otra fórmula que me tengo que empollar»
Y cuando nos dicen que además debemos elegir una parte de la función a integrar y llamarla y llamar al resto
, la situación se torna en un caso claramente hecho a medida pde la pitonisa Lola y sus velas negras, Paco Porras y su nabo (ups, perdón) o Sandro Rey y su…mejor me callo:
Vale, y encima tengo que adivinar de qué manera llamar a cada parte
Pues no amigos, no está todo perdido. La mnemotecnia (y los profesores más o menos buenos) va a rescatarnos del pozo en el que nos hayamos metidos, va a eliminar de un plumazo (bueno, de dos) esa desazón que recorre nuestro cuerpo, va a llevarnos por el buen camino de este noble arte de la integración por partes.
Primera cuestión: ¿cómo me aprendo la fórmula?
Como hemos comentado, la primera cuestión que se nos viene a la cabeza es que debemos aprendernos esa fórmula de memoria. Pero, como hemos comentado, la mnemotecnia es nuestra amiga, y en este caso nos va a ayudar, y mucho.
Son muchísimas las frasecillas que existen para recordar la fórmula base del método de integración por partes, en las que la idea es quedarse con la primera letra de cada palabra para así reconstruir dicha fórmula. En algunas se incluyen palabras comenzando por S para simbolizar dónde hay integrales, en otras no se hace y en otras solamente se incluye la segunda integral. Os dejo aquí unas cuantas sacadas de la Wikipedia en español, los comentarios en «I will derive» en Menéame, una de Twitter y mi experiencia personal:
- Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
- Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
- Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
- Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
- Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales
- Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme
- Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme
Y las que para mí son las más…especiales:
- La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme (de Juanfran, exalumno mío)
- Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio (de raulf)
Como podéis ver hay para todos los gustos. Primer nivel: SUPERADO.
Segunda cuestión: ¿cómo aplico el método?
Superada la primera parte, queda la que todos (ay, bendita ignorancia) pensamos que es la más difícil: ¿qué uso para determinar cómo asignar y
de forma correcta? ¿La bola de cristal? ¿O será más conveniente preguntar a los posos de café? ¿Me dirá el ahorcado del Tarot cuál es la mejor asignación?
No, nada de eso. Dejemos estos métodos de engañación a un lado y descubramos, por fin, la regla de oro, la panacea del sujeto integrador, el método esperado, llegado del mundo de la mnemotecnia. Señoras y señores, con ustedes la regla ALPES.
¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:
- A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
- L: Logaritmos
- P: Potencias (de exponente numérico)
- E: Exponenciales
- S: Seno y coseno
Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:
- Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
- En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos
a esa función arco y
al resto (
en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos
al logaritmo y
al resto (también
); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos
a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y
al resto (que ahora será la otra función por
).
Por ejemplo, la integral
es un producto de , que pertenece a P, y
, que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:
A partir de ellos calcularemos (derivando lo que hemos llamado
) y
(integrando lo que hemos llamado
), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.
En inglés, este método se denomina LIATE
- Logarithmic functions
- Inverse trigonometric functions
- Algebraic functions
- Trigonometric functions
- Exponential functions)
y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley que podéis ver a la derecha de estas líneas con una sonrisa más bien forzada aderezada con un buen mostacho (imagen tomada de su perfil en la web de la Universidad de Bradley), en «A Technique for Integration by Parts” (American Mathematical Monthly, March 1983, page 210) que, hablando de todo un poco, no he conseguido encontrar. Aunque, para que coincidiera plenamente con nuestro montañoso método debería ser ILATE. No hay problema, las dos sirven. Por cierto, el orden de las dos últimas, SE ó ES en español y TE ó ET en inglés, es indiferente. Se toma ES en español y TE en inglés porque la palabrita queda mejor.
Después de todo esto a uno se le abren los ojos, se hace la luz y ve con claridad el camino a seguir. Por fin encontramos una regla infalible para resolver todas las int¡¡UN MOMENTO!! ¿Quién ha dicho que la regla sea infalible? No, amigos, por desgracia la regla no es infalible. Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental (recordad este post), y en otro casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método. Por ejemplo, si para resolver la integral
tomamos y
, llegaremos a que no podemos calcular
, ya que esa función no tiene primitiva elemental. Sin embargo, tomando
y
sí podremos terminar nuestra integral. Como se puede ver es un pequeño apaño para conseguir que tenga primitiva elemental.
Pero aunque no tenemos fiabilidad total, es evidente que ALPES funciona de maravilla en la gran mayoría de los casos, y que nos evitará tener que estar meditando cuál de las funciones es más adecuada para colgarle el cartel de . Nunca lo olvidéis, los ALPES son vuestros amigos. Nivel dos: SUPERADO.
YOU WIN!!
Si todavía no has visto el vídeo I Integrate by Parts…¿a qué estás esperando?
He preferido no meterme demasiado en los casos en los que hay que aplicar integración por partes varias veces (ya sean cíclicos o no cíclicos), aunque no descarto hacerlo más adelante.
Nueva aportación a la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.
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Un compañero de carrera gaditano usaba otra fórmula para acordarse, aunque solo era para la parte derecha de la igualdad:
Un Viejo Vino De Ubrique
hola muy chevere, dicen las cosas tal cual uno las ve por primera vez fue divertido
Hola me acabo de inventar una que cambia el orden de los sumándos, por que ya que yo la usaba asi:
Vdu=UV – Udv
Espero que no sea muy mala:
SobreVivir DUramente es igual a estar en la UVi menos DiVina.
Saludos.
Saludos, creo que hay un pequeño error de dedo en :
debería ser:
Saludos.
Profesor, excelente el post. Cuando tomé mi curso de cálculo de integrales, se me hacía un poco bárbaro la integración por partes. Sin embargo, quisiera añadir un aporte al post es que, siempre he visto en internet la palabra «LIATE», en efecto… para la mayoría de las integrales por partes funciona. Aún así, a mi me enseñaron: «LIATHE», en este caso adicionando el caso de funciones hiperbólicas. Es un dato extra que no se debe negar al mundo. También existe una técnica para integrales de este tipo que precisamente nos evita realizar el proceso tedioso, especialmente cuando las integrales son… Lee más »
Soy una abuela de 70 años que hice mi profesorado hace más de 50 años. Estoy ayudando a mi nieto a preparar análisis para la facultad. He recurrido a todo lo que ustedes brindan por este medio. NO SE IMAGINAN LO FÁCIL QUE RESULTA ASÍ!!!!!! OJALÁ HUBIÉRAMOS TENIDO LOS DE MI ÉPOCA TODAS ESTAS FACILIDADES.
Una Vieja Va a la DUcha
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, , por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo. En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre……
Por Dios, un mnemotécnico para aprenderse a fórmula de la integración por partes ¡cuando se reconoce que es poco más que la integral de la derivada del producto! Quien necesita esa ayuda debería pensar que lo de las derivadas no lo tiene suficientemente bien aprendido. Aunque me da que mi propio caso es especial porque cuando me hablaron de las integrales se me abrió un mundo, algo de lo más ilusionante, por dos razones. La más inmediata porque me estaban explicando la operación inversa de la derivación (con los matices que ya en ese momento era claro que tenía el… Lee más »
«Como dijo Rienmann, vayamos por parte». Eso lo dije en la clase de Cálculo I, parafraseando aquello de «Como dijo Jack…» y me hizo fama de gracioso entre mis compañeros de licenciatura. Este post es un gran aporte que quizá llegó tarde, pero quedará en la memoria para siempre.
Saludos!.
Magnífica entrada 🙂 ! Vamos maestrillo es verdad que cuando se lleva tiempo haciendo el truco de integración por partes es evidente que la fórmula procede de la regla del producto para las derivadas pero en primera instancia pocos lo notan. Y es bonito que ^DiAmOnD^ hable de ello cuando yo estudiaba la preparatoria no me lo dijeron aunque en algún momento de ella misma lo llegué a notar me hubiera gustado que me lo hubieran dicho en sus momento. También es muy emocionante lo que comentas, es mistico el arte de integrar, yo siempre he creído que es un… Lee más »
A mí una vez me lo enseñaron así y se hace muy rápido, sobre todo cuando hay que hacer partes unas cuantas veces y luego despejar.
«Lo que sé integrar lo integro, por lo otro sin integrar, menos la integral de lo integrado por la derivada de lo otro».
Probadlo que después de la primera vez va a toda pastilla.
Saludos
Javier
Para el que no sepa de lo que se ha comentado sobre la fórmula de integración por partes como consecuencia de la regla de derivación para productos simplemente observemos que
Escrito con un poco de cuidado es esencialmente la demostración de la fórmula.
De hecho, dado que la fórmula de integración por partes es esencialmente la regla del producto escrita de otra forma, se puede usar la regla del producto (junto con la linealidad de la derivada) para integrar por partes… derivando: Supongamos que queremos integrar Buscamos una función cuya derivada sea casi el integrando, por ejemplo: Despejamos el integrando: Si integramos ésta expresión, llegamos al mismo resultado que usando la integración por partes. Pero ya puestos, podemos seguir encontrando derivadas a ojo: Y de la linealidad de la derivada: Por lo tanto: Puede parecer un tour de force, pero uno se acostumbra… Lee más »
MOHAMED, gracias por avisar del error, lo corrijo ahora mismo.
Sobre el tema de la derivada del producto, en el propio post lo comento yo, pero no me extiendo en ello.
Ah, y al menos a mí la experiencia me dice que la gente no cae en que esto está relacionado con la derivada de un producto. Repito, según mi propia experiencia.
Yo usaba ILPET, que es muy parecida a ALPES.
I: Inversas de trigonometricas
L: Logaritmos
P: Potencias
E: Exponenciales
T: Trigonometricas
Siempre a gusto oyendo hablar de integrales. Gracias.
En mi experiencia la fórmula se aprende fácil y enseguida mola, cuento lo de la vaca como anécdota, pero no suele ser necesario.
Y para el uso, uso este LIATE:
Probar por partes cuando:
1) Son funciones «raras» solas (arc, log)
2) Se mezclan funciones de distinto tipo (polin por trigon o log o arc, sen por log…)
Y funciona.
Un saludo
Otro dato con el que quisiera aportar, quisá menos preciso pero también válido:
Se integran por partes las integrales de la forma
además del dato:
Que me dicen de la integral de tan(x)
Haciendola por partes
¿Por partes? No hace falta, es inmediata.
Yo lo se¡
Es que me dejaron este ejercicio como punto de parcial, y el profesor la hace y llega a la contradiccion que 0=-1
Necesito saber cual es el error
$tanx —> $senx/cosx
u=1/cosx —> du= senx/cos^2x dx
dv=senxdx—> v=-cosx
El profe nos indico que el error estaba en u=1/cosx, pero no entiendo porque..
Y nos dice que debemos leer el porque no se puede usar esté para realizar la integracion.
Necesito ayuda¡¡
Ja, ja la trampa que han tendido a Andrés es un buen truco. Los pasos dados para hacer la integral por partes son correctos y, desde luego, 0 no es igual a -1 ¿Que ocurre?
Pues que cualquier integral es igual a sí misma más una constante:
Si llegas a que $f(x)dx = $f(x)dx + 8 no quiere decir que 0 = 8
Andres, échale un vistazo a este post:
Equivocación por partes
Si, ya lo he visto muchas veces, pero el error no sigue estando alli
Por eso quiero saber otra solucion a este error
Partiendo de las definiciones y cuando debemos utilizar los metodos
un vasco menos se viste de urdangarín ¿podría valer?
Curiosa frase locoloco, sí señor :).
[…] hemos comentado en algún otro momento (como cuando hablamos sobre integración por partes), el tema de la integración es, en muchas ocasiones, un arte. Y hasta llegar a dominar este arte […]
¡Que buen profesor! Muchas gracias.
Hola
leí tu comentario
¿cómo se puede resolver las integrales en una calculadora casio si no es indefinida?
yo teng una casio 570ES y una fx95MS
te lo agradecería muchísimo
muchas gracias de antemano
tutorial excelente, pero mejor si lo escrito en idioma distinto al castellano,
si nos técnico, aclararlo entre paréntesis o entre corchetes. Opinión personal,
gracias y BENDICIONES!!!!!
Hola, cual es ese post que mencionas, donde indagas sobre el proceso de la integración por partes ciclicas.
Andrea Pinto, todavía no lo he hecho en ningún post, aunque posiblemente lo haga más adelante.
Yo uso para acordarme: Un Dia Vi Una Vieja Vestida De Uniforme
Un dia vi un viejo menos feo violando dos universitarias xDD
Buenísimo. Cando veo posts como éste pienso que ójala hubiera tenido estos recursos en internet cuando era estudiante…
Acimutal, muchas gracias. Precisamente por eso escribo a veces posts así, para ayudar a que la gente tenga recursos que yo no tuve cuando estudiaba.
» ‘A Technique for Integration by Parts’ (American Mathematical Monthly, March 1983, page 210) que, hablando de todo un poco, no he conseguido encontrar.»
Et voilà:
https://sites.google.com/site/adamglesser/Home/all-courses/s09-math-166/s09-math-166-files/LIATE.pdf?attredirects=0&d=1
muy bueno . me eh delantado en miclasea ver este tipo de proceso ypues me han ayudado mucho,gracias
Jajaja, me mato, la regla memotecnica, Un dia vi un viajero sobre su Volkswagen De uranio
es genial jajaaaaaaaaa.
Una Vaca No(-) Vio Dos Uvas
x)
De verdad que se agradece tener recursos así, porque una vez le coges el tranquillo es una cuestión automática, pero al principio suele ser todo una aventura decidir.
Dejo una más por si le sirve a alguien;
Últimamente Veo MENOS Soldados Vestidos De Uniforme
Solo un día vi = una vaca – sin valijas desde ucrania
S u d v = u v – S v d u
[…] estudiaba para una evaluación de cálculo, me encontré con un post muy interesante sobre criterios para usar la integración por partes. Resulta que un par de minutos después estaba en youtube escuchando unas canciones muy graciosas, […]
por favor me pueden ayudar a resolver las siguientes integrales:
1)
[x3/4+x/3+5/2
—————–==>division de polinomio
x+2
2)[21/9×2+12x-5—>itegracion racional
3)[x9/(1+x5)3—–>cambio de variable
4)[1-t^3/1+t^3—->cambio de variable
5)[lnx2(x/5+1)2—->por partes
Una Vaca sin(-) cola (S) Vestida De Uniforme
Sentado un día vi una vaca menos sexy vestida de uniforme (ITAM-Mx) suena medio pervert pero esta jocosa la mnemotecnia. Saludos desde México.
ojala tu hubieras sido mi profesor de calculo integral muchas gracias por tu aporte gracias a los q no saben enseñar llegue a odiar las integrales
Yo tengo una duda, y es que apenas estoy empezando en el mundo de las integrales. Me gustaría saber, ¿Por qué es importante tener una regla de tipo ILATE para decidir u y dv? ¿No podemos elegir como se nos antoje y ya está?
Eduardo, no, no puedes elegir como quieras, ya que, en algunos casos, si haces la elección al contrario de lo que dice la regla ALPES no se puede acabar de calcular la integral. Por ello, la regla ALPES es bastante valiosa.
Muchas gracias por el excelente post, realmente me ha sido de gran ayuda!
Excelente, me ha servido de mucho, Gracias maestro!
un violador violo dos universitarias :3
un día vi una vieja sin bastón vestida de uniforme:
u dv= u·v -∫ v·du
MUY BUENO!!!! encantado con el post estoy en primero de arquitectura y las integrales por partes es algo que no me entraba pero por porfié con etas técnicas todos se me hace mucho mas claro, muchas gracias y felicitaciones
Hola me acabo de inventar una que cambia el orden de los sumándos, por que yo la usaba asi:
Vdu=UV – Udv
Espero que no sea muy mala:
SobreVivir DUramente es igual a estar en la UVi menos DiVina.
Saludos.