(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach

Parece ser que ha caído una de las grandes conjeturas de teoría de números que quedaban sin demostrar: la conjetura débil de Goldbach. Y el encargado de cargársela es el matemático peruano Harald Andrés Helfgott mediante su trabajo Major arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1305.2897), que complementa su anterior trabajo Minor arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1205.5252).

La conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach) dice que todo número impar mayor que 5 es suma de tres números primos (puede repetirse alguno), y hasta ahora el mejor acercamiento a su demostración correspondía a Terence Tao, que el pasado año 2012 probó que el número de primos en cuya suma se puede descomponer un número impar es a lo sumo 5. Rafael Tesoro nos habló de éste y de otros resultados relacionados con ella en este post.

Ahora Harald Helfgott parece que consigue cerrar el círculo y probar que la conjetura débil de Goldbach es cierta. Y ha sido el propio Tao quien lo ha anunciado en su cuenta de Google+ (a mí me llegó a través de este comentario de Nacho y a través de un mail de Rafael Tesoro). A falta de confirmación «oficial» (después de revisión y todo eso), la palabra de Tao no es un mal «seguro».

Por cierto, para quienes vean en esto un avance para la demostración de la conjetura fuerte de Goldbach (la de siempre: todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos) ahí va una mala noticia: no parece que sea así, ya que el método de demostración utilizado en la mayoría de los resultados exitosos relacionados con la conjetura débil de Goldbach no parece llevarse bien con la fuerte. Una lástima, pero habrá que seguir intentándolo.


No empieza mal la semana para la teoría de números. Ayer se avanzaba en el estudio de los primos gemelos y hoy parece que se demuestra la conjetura débil de Goldbach. ¿Qué será lo próximo?

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

64 Comments

  1. A mis casi 19 años he de decir que llevo mas de la mitad de mi vida soñando con demostrarla, aunque cada vez la veo mas imposible para mi… ojala la demostración sea correcta, no quiero morir sin al menos saber si es demostrable… ahora toca la fuerte

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  2. NO deberia publicarla en una REVISTA de verdad ? es decir cualquiera puede subir un trabajoa internet y decir que ha probado esto o aquello..

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  3. eljose:

    Arxiv lo utilizan los autores para mantener los derechos de autor sobre su artículo y evitar posibles plagios. También, a veces, lo hacen, sobre todo cuando se trata de resultados muy importantes, para que la gente picuda del área tenga acceso a él y no nada más los árbitros puedan encontrar errores en la demostración. Finalmente, a veces usan el arxiv para poder referenciar artículos que todavía se encuentran en revisión.

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  4. eljose, parece ser que no es un «cualquiera». Tiene reputación bien ganada en este campo, algunos expertos ya han visto su trabajo y Tao habla bien del tema. No parece ser alguien que sube cualquier cosa a arXiv y viXra (peor aquí, ya que no hay ningún control).

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  5. Aunque no sirva para demostrar la Conjetura de Goldbach, seguro que el tío Petros se sentiría muy orgulloso.

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  6. De ser así, hoy sería un gran día, aunque se trata de la débil. Favor mantener al tanto de cómo termina todo!

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  7. Se comprobó la validez de la demostración ya?

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  8. Si me hubiesen preguntado hace dos semanas, habría asegurado que no llegaría a ver demostrado ninguno de los 4 problemas de Landau. Esta semana empiezo a plantearmelo.
    Aunque a mí la conjetura que me gustaría ver demostrada es la de la existéncia de infinitos números primos de la forma n^2+1, por su relación con los enteros de Gauss

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  9. Puedo decir orgulloso que una vez asistí a uno de sus coloquios en mi universidad. El tipo mostró un manejo ante las dudas y comentarios (de otro profesores) que me llamó la atención.
    Llegué a la casa, busqué su nombre en google y me enteré que el tipo era una máquina. Realmente me impacta leer esta noticia :O

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  10. Orgullo peruano y pensar que asistí a unos mini cursos que dio. Realmente me siento muy orgullloso

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  11. Ya era hora de que vieramos una de las grandes caer al estado de teorema 🙂 . ¿Se comenta algo más? ¿Hay buenas sensaciones? Por favor gaussianos, mantennos informados.

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  12. Buenas a todos,

    Sí, parece que en general las sensaciones son buenas. De todas maneras es mejor que dejemos pasar un tiempo para ver cómo se va desarrollando todo esto. Cualquier novedad de la que me entere la comentaré por aquí, y a vosotros os pido que hagáis lo mismo. Gracias.

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  13. Estimado Gaussianos, creo que hay un problema con su página web pues cada vez que entro no salen las entradas nuevas que postea. Sólo se ven las entradas desde el 29 de abril hacia atrás. ¿Como se podría solucionar tal inconveniente?, pues soy un asiduo visitante de su blog.

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  14. Max, quizás borrando las cookies y demás datos de navegación se solucione…

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  15. Max, prueba ahora, debería funcionar. Si no es así borra la caché de tu navegador, a ver si funciona.

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  16. Diamond, demostrar la débil, equivale a demostrar la fuerte? «Todo par mayor que dos se puede escribir como la suma de dos primos»

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  17. cuando se sabe si definitivamente la demostración es aceptada? y le pueden dar la field por esto? tiene 35

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  18. Yúber, la página que enlazas es una web de noticias. Tomémonos las cosas con más calma :).

    Sinuhé, no, la débil no implica la fuerte. La fuerte hay que demostrarla aparte, y además parece que es mucho más complicada que la débil (si miras el penúltimo párrafo de esta entrada verás que comento algo de ese tema).

    Por cierto, no sé cuánto tardarán en confirmar oficialmente la demostración, pero deberían darse prisa para la Fields, ya que se conceden el año que viene.

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  19. Pues sí, sí, no parece un «don nadie», Harald Andrés Helfgott ha recibido, entre otros premios, el «Adams», que otorga la Universidad de Cambridge entre otros

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  20. Andrew Wiles tampoco era un Don NAdie, y necesito la ayuda y revisión en conjunto con Tayloer para replantear su demostracion y que esta fuera aprobada dos años despues de que la anunciara por primera vez.

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  21. ¿Seria licito incluir tres veces el mismo primo para representar un numero impar en la Conjetura débil de Goldbach o solo se admite una sola repetición?

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  22. Sinuhé Aumenta el numero de posibles descomposiciones de los pares.

    Si la demostración de la conjetura débil de Goldbach se confirma, ¿implica que de los tres primos (p+q+r) que se descompone un numero impar, al menos en una de de las posibles descomposiciones siempre sera el numero 3 o también necesita de demostración?
    Ejemplo 15 (5+5+5), (11+2+2), (7+5+3)

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  23. Sinuhé Quería decir que aumenta el numero de posibles descomposiciones de los impares.

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  24. Fer, si en la conjetura débil se consiguiera demostrar que cualquier impar n se puede desconpomer de la forma 3+p+q, habríamos demostrado la conjetura fuerte ya que cualquier par obtenido de restar 3 a un impar n podría expresarse como suma de dos primos: n-3=p+q.

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    • Cita: «(…) ya que cualquier par obtenido de restar 3 a un impar ‘n’ podría expresarse como suma de dos primos: n-3=p+q (…)». Eso es cierto, a condición de que (1) ‘n’ sea mayor que 3, y (2) ninguno de ellos, ‘p’ ó ‘q’, sean iguales a 2, que es un número primo, y para colmo es par…
      Saludos

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  25. JJGJJG, hoy por hoy no se conoce ningún contra ejemplo de la forma (3+p+q) para un número impar, ¿puede considerarse una nueva forma de Conjetura débil de Goldbach?

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  26. Como ya dije antes sería, en cualquier caso, otra forma de la conjetura fuerte.

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  27. Saludos, Fer y JJGG

    Al parecer uds. están asomando la idea de un contraejemplo a la conjetura débil o una forma de demostrar la fuerte, si damos por teorema la débil…

    Prometo leer con calma lo que han escrito…

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  28. Sinuhé, yo lo único que quería era contestar a una pregunta de Fer y no exponer ideas nuevas.
    Quiero aclararte que un contraejemplo de la débil no solo invalidaría esta sino también la fuerte.
    Pero que quede claro que la demostración de la débil es condición necesaria, pero no suficiente, para que quede probada la fuerte. A no ser que en dicha demostración quede probado, además, que en la descomposición de cualquier impar en suma de tres primos siempre figurará el 3 entre ellos como sugería Fer. Está claro que la existencia de ese 3 en todas las descomposiciones es una condición lo suficientemente restrictiva para la débil que la haría equivalente a la fuerte.

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  29. En efecto JJGG, e interesante la observación de Fer.

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  30. Sinuhé, el caso del último teorema de Fermat es distinto, parece que se estaba muy lejos de una demostración, existían casos particulares para n=4, n=3 y algunos más, de hecho se demostró indirectamente, demostrando otra conjetura que implicaba el UTF. Pero la conjetura débil estaba demostrada para todos los números «suficientemente grandes» y a partir de aquí, aunque en principio no se supiera exactamente cuánto era » «suficientemente grandes» se empezaron a hacer acotaciones; realmente lo que ha hecho Harald Andrés Helfgott es, siguiendo el mismo camino de Vinogradov y otros, poner la guinda a la demostración; no digo que haya tenido que ser fácil, ni mucho menos, pero da la sensación de que el camino estaba más trillado y que la meta estaba más cerca que en el caso del UTF.

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  31. JJGJJG, ¿por qué un contraejemplo de la conjetura débil invalidaría la fuerte?

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  32. Jero, porque si se cumple la fuerte ha de cumplirse la débil necesariamente; por ejemplo, si todo par mayor o igual que cuatro se puede expresar como p+q, todo par mayor que cuatro se puede expresar como p+q+2, por lo que todos los impares siguientes a cualquiera de esos pares se podrán expresar como p+q+2+1=p+q+3.

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  33. Para Jero: Creía que podía demostrarlo pero ahora compruebo que tenía un fallo en el razonamiento.

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  34. Eso es por lógica de primer orden, si la fuerte implica la débil, contraejemplo de la débil, invalida la débil, y por contrarrecíproco, No débil implica No Fuerte, está claro?

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  35. Por cada numero impar (Ni) > 5 formado por la suma de 3 primos impares (p+q+r), obtenemos a lo sumo 3 números pares (Np); dependiendo si se repite algún primo obtendremos 2 o 1 (Np), que cumplen la conjetura fuerte.
    Se comprobado hasta 10 elevado a 18 la conjetura fuerte.
    Si se verificase la conjetura débil, aumentaría considerablemente las posibilidades de que la débil sea cierta.

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  36. Correjido post anterior

    Por cada numero impar (Ni) > 5 formado por la suma de 3 primos impares (p+q+r), obtenemos a lo sumo 3 números pares (Np); dependiendo si se repite algún primo obtendremos 2 o 1 (Np), que cumplen la conjetura fuerte.
    Se ha comprobado hasta 10 elevado a 18 la conjetura fuerte.
    Si se verificase la conjetura débil, aumentaría considerablemente las posibilidades de que la fuete sea cierta.

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  37. Estimados Gaussianos:

    Me gustaria saber si el trabajo de Harald Helfgott fue publicado en alguna publicacion de matematicas y fue sometido a «peer review», o si fue aceptado por su publicacion en http://www.arxiv.org

    Muchas gracias, saludos

    Ricardo Barca

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  38. Estimados

    Estuve buscando algunos ejemplos de variedades topológicas y no encontré muchos por lo que traté de construir algunos, y encontré que puedo generar variedades topológicas con conjuntos en más de una dimensión a partir del conjuto de Cantor. Quería saber si alguien a trabajado en ello.

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  39. ¿Alguien puede demostrar que dado un número par mayor o igual a 8 todos los pares antes que él pueden ser escrito como la suma de dos números primos? Esto sin necesidad de suponer la conjetura de Golbach.

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  40. pero de ser cierta ¿que utilidad tendria ? 🙁

    no hablo solo del mudno real hablo en si de otras aportaciones a ramas matematicas o de la fisica o algo 🙂 , demostrar cosas por demostrar no tiene sentido

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  41. A mí me surje en una línea de razonamiento que dado un número par cualquiera mayor que 8, se hay al menos uno menor que él que puede escribirse como la suma de dos números pares, pero además me puse a pensar un poco más y parece que todos los pares menores que él pueden escribirse así, de este modo creo que de ser cierto lo que digo, estamos a un paso de la conjetura de Golbach, en la cual supuestamente si parto del par p, debería demostrar que ese par puede ser escrito como la suma de dos primos y no los menores que él. Ahora bien, que pasaría si alguien pudiera agregarle el hecho de qu esa barrida es válida para cualquier p? Tengo la cabeza dada vuelta.

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  42. jose, la conjetura de Goldbach, de ser cierta (o de ser falsa), una vez demostrada no tendría ninguna utilidad. Como resultado aislado, no aportaría nada saber que cualquier número par se puede descomponer como suma de dos primos, de la misma manera que no ha aportado nada saber que la ecuación del teorema de Fermat no tiene soluciones.

    Aun así, el valor que tiene como conjetura es inmenso. Dices que demostrar cosas por demostrar no tiene sentido, pero ahí te equivocas. Al demostrar una conjetura como esta, se crean muchísimas herramientas matemáticas potentísimas, y son estas herramientas las que tienen valor una vez demostrada la conjetura.

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  43. ¿Por qué la mayoría de las personas tienen que ver la utilidad sólo desde el punto de vista material? Para mí cuando se demuestre la conjetura de Golbach tendrá la utilidad de haber logrado un conocimiento más y eso por sí sólo es suficiente.
    Ahora bien, supongamos demostrada la conjetura de Golbach, se podría a partir de allí lograr hallar una forma de calcular números primos?

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  44. No es cuestión de ver la utilidad sólo desde el punto de vista material. Lo que quiero decir es que lo que afirma la conjetura de Goldbach (todo par es suma de dos primos) no tiene demasiado valor si lo comparamos con todo lo que pueden darnos a conocer las teorías creadas para demostrarla. En algunos casos un teorema es mucho menos importante que su demostración. Y también hay que tener en cuenta el valor de las teorías que se crean para intentar demostrar una conjetura, aunque finalmente no sirvan para demostrarla, ya que servirán para otras cosas.

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  45. Felicidades, Ramón Ruiz, has conseguido demostrar una conjetura ante la que han fracasado matemáticos con una capacidad infinitamente superior a la de cualquiera de los que leemos este foro, y además lo has hecho utilizando herramientas de secundaria, y con una bibliografía basada únicamente en wikipedia y en un cuento que me leí cuando tenía 10 años. La parte más difícil está hecha, ahora solo falta mandarlo a una revista de prestigio internacional, y que verifiquen que es correcto. Desde donde estás ahora mismo hasta obtener la gloria y pasar a la historia va solo un paso. Animo, puedes hacerlo!!

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  46. Amigo Thor, te estoy muy agradecido por tu opinión tan favorable en relación a mi trabajo sobre la conjetura de Goldbach.
    Si estás interesado, en http://viXra.org/abs/1406.0025 hay una demostración de la conjetura de los Primos Gemelos con el mismo planteamiento.
    Saludos.

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  47. Soy al único que le parece que el último comentario de Thror hacia Ramón Ruiz fue sarcasmo o estoy equivocado? Jajaja

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      • Bueno no soy matemático pero algo entiendo y me parece que esas supuestas demostraciones son un completo disparate.

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  48. Yo me encuentro atorado en un punto donde no sé si pueda avanzar más. Les cuento para ver si me pueden dar luces al respecto. Revisando la demostración elemental de los números primos pude realizar una observación que me permitió determinar dos series de números que cumpliendo ciertas propiedades parecen ser el límite para la conjetura fuerte de Goldbach cuando la primera es mayor a la segunda y el límite de la conjetura de los primos distintos cuando la segunda es mayor que la primera. Como debía tener la certeza que este valor fuera comprobado la extendí a todos los números enteros y al sumarlos secuencialmente de dos en dos da como resultado la función zeta de Euler. Ahora pensé que debía convertirla a números complejos tal como la función zeta de Riemann pero como no soy matemático apenas y he podido graficar en Excel la hipótesis de Riemann cuando R>1 y me encuentro perdido en la franja crítica y aunque los datos de las otras dos series apuntan a que darán resultados análogos por supuesto que debo terminar los cálculos para las tres series. Y también está la cuestión de explicar lo de la distancia de raíz cuadrada entre las funciones. Cualquier orientación al respecto ayudaría mucho. Gracias.

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    • Las demostraciones matemáticas se hacen con números y menos palabreo y de una forma sencilla para que todos entiendan y no quede ninguna duda.

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    • Bueno he llegado a -1/12 sin utilizar la suma infinita de series ni la función zeta. El algoritmo que hice me mostró que para valores grandes el límite es 2log(x) + O(x) pero con la demostración elemental los valores son iguales así que no se necesita calcular más. Aplicar al plano complejo no creo que pueda avanzar más así que alguien usará la demostración para dar una solución a la Hipótesis. Ni modo.

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  49. Calificar de completo disparate un trabajo ajeno sin aportar pruebas ni razonamientos matemáticos en contra me parece propio de mentes cerradas.

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    • Existe algún consenso y aceptación de la comunidad matemática sobre las supuestas demostraciones de la Conjetura Fuerte (Binaria) de Goldbach?

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      • Estiman que la solución al límite es 2(Ln(x)+O(x)) pero no se ha demostrado. Puedes revisar la demostración elemental de los NP de Selberg y Erdos para conocer la razón. El resto son disparates.

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