La búsqueda de números primos y de maneras de generarlos ha sido uno de los ejes principales del trabajo de multitud de matemáticos a lo largo de la historia, y a día de hoy lo sigue siendo.

Lo que os traigo hoy, por desgracia, no soluciona este problema, aunque en cierto modo sí tiene relación con él. La cosa de cómo representar números primos usando sólo (y casi exactamente) los números primos menores que él (y el 1). Me refiero al conocido como teorema de Scherk.

En 1833, Heinrich Scherk conjeturaba el siguiente resultado para todos los números primos:

Conjetura de Scherk:

Tomando el 1 como número primo y confeccionando una lista ascendente de ellos, todo primo que esté en posición impar puede expresarse como suma o resta de todos los primos menores que él, y todo primo situado en posición par puede expresarse de una forma análoga salvo porque el primo justo anterior aparece multiplicado por 2.

La lista de números primos, añadiendo el 1, quedaría así:

\{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, \ldots \}

Os dejo un par de ejemplos, uno de posición impar y otro de posición par:

  • El 29 es de posición impar (lugar 11), y puede expresarse así:

    29=1+2-3-5+7-11+13-17+19+23

  • El 41 es de posición par (lugar 14), y puede expresarse de esta forma:

    41=1-2+3+5-7-11+13-17+19+23-29-31 +2 \cdot 37

Os animo a que intentéis expresar de este modo algunos números primos mayores, y así comenzar a convenceros de que la conjetura de Scherk es cierta…

…porque sí, es cierta. En 1967, J. L. Brown Jr. publicaba una demostración de este resultado, cuya formulación queda de la siguiente manera:

Teorema de Scherk
Tomando el 1 como número primo, y siendo p_n el n-ésimo primo de la lista ascendente de los mismos, se tiene que existen coeficientes a_i=+1 o -1 (dependientes de n) tales que:

\begin{matrix} p_{2n+1}=p_{2n}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{2n-1} a_i \cdot p_i} \\ \\ p_{2n}=2 \cdot p_{2n-1}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{2n-2} a_i \cdot p_i} \end{matrix}

El artículo en cuestión es Proof of Scherk’s Conjecture on the Representation of Primes, publicado en The American Mathematical Monthly en 1967 (no lo he encontrado de acceso público, pero la información del mismo la tenéis este enlace de JSTOR).

La demostración es más bien corta (3 paginitas de nada) y no es especialmente difícil (ah, y utiliza el postulado de Bertrand)…pero no es constructiva. Esto significa que demuestra que existen esos coeficientes a_i con los que podemos expresar así todos los números primos, pero no nos dice cómo calcularlos para cada uno de ellos.

La verdad es que, aunque el resultado quede demostrado, daba un poco de bajón no tener forma de calcular qué signos hay que colocar en cada caso. Y digo que «daba» porque, actualmente, sí tenemos una demostración constructiva del teorema de Scherk. Fue en 1994 cuando se publicaba A constructive proof of scherk’s theorem on the representation of primes en International Journal of Computer Mathematics. En él, J. Shapiro y J. Waxman dan un algoritmo explícito con el que podemos realizar las elecciones de los coeficientes \{a_i \} para cada uno de los números primos de la lista.

De nuevo, la demostración no es demasiado larga (poco más de 3 paginillas) ni compleja; de nuevo, tira en cierto momento del postulado de Bertrand; y, de nuevo, no he podido encontrar el paper con acceso público. Tenéis toda la información del mismo en este enlace de Taylor&Francis online.

Termino con algo más de información sobre Heinrich Scherk. Fue un matemático alemán que vivió casi exclusivamente en el siglo XIX y que destacó por sus trabajos sobre números primos y sobre superficies mínimas (Isabel Fernández nos comentó algo sobre ellas en esta entrada). En relación con éstas últimas, fue quien describió las primeras superficies mínimas tras la catenoide y el helicoide:

  • Primera superficie de Scherk

    • Imagen y más información aquí.

  • Segunda superficie de Scherk

    • Imagen tomada de aquí; más información aquí.

Tenéis más datos biográficos de Heinrich Scherk en este enlace de MacTutor.

Tuve conocimiento de esta conjetura (ya teorema) gracias a esta entrada de Futility Closet. Por cierto, si alguien encuentra alguno de los papers en abierto, que nos deje el enlace en un comentario.

La imagen principal la he tomado de aquí.

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