Una sucesión es una función de los números naturales N a los números reales R, es decir, una función que asocia a cada número natural un número real. Se suelen representar como an. Se dice que una sucesión an es convergente si conforme aumentamos el valor de n el valor de an se acerca cada vez más a un cierto número, al que llamaremos límite de la sucesión.

El cálculo de límites de sucesiones es un tema que suele estar presente en todos los temario de Cálculo de carreras de ciencias (Ingenierías, Matemáticas, Físicas, Químicas…) y existen bastantes métodos para realizar ese cálculo dependiendo de la estructura de la propia sucesión. En este post vamos a ver una equivalencia bastante inesperada que podemos usar para calcular un límite en el que aparece el término n!: la fórmula de Stirling.

La Fórmula de Stirling

La fórmula de Stirling nos dice lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{n!}{n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}}=1}

O lo que es lo mismo:

n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}

Es decir, n! es equivalente a esa expresión. Eso significa que para calcular un límite en el que n! es un factor del numerador o del denominador de la sucesión podermos sustituirlo por ella. Esta sustitución suele ser muy útil en los casos en los que la presencia de n! como factor nos dificulta operar dentro de la sucesión. Vamos a ver una demostración de esta equivalencia para la que usaremos la función gamma de Euler:

\Gamma (n+1)=n!=\displaystyle{\int_0^{\infty} x^n \cdot e^{-x} \, dx}

En la imagen anterior se ha incluido la siguiente propiedad de esta función: el valor de la función gamma en n + 1 es n!.

Realizamos el cambio de variable x = n·t:

\Gamma (n+1)=n^{n+1}=\displaystyle{\int_0^{\infty} t^n \cdot e^{-nt} \, dt}

Ahora, realizando el cambio de variable:

t=1+\cfrac{s}{\sqrt{n}}

y operando obtenemos la siguiente integral:

\begin{matrix} \displaystyle{\Gamma (n+1)=n^n \cdot \sqrt{n} \cdot \int_{-\sqrt{n}}^{\infty} \left ( 1+\cfrac{s}{\sqrt{n}} \right )^n \cdot e^{-n-s \cdot \sqrt{n}} \, ds} = \\ \\ =n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n} \cdot \displaystyle{\int_{-\sqrt{n}}^{\infty} \left ( 1+\cfrac{s}{\sqrt{n}} \right )^n \cdot e^{-s \cdot \sqrt{n}} \, ds}= \\ \\ =n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n} \cdot \displaystyle{\int_{-\sqrt{n}}^{\infty} e^{n \, \ln{(1+\frac{s}{\sqrt{n}})}-s \cdot \sqrt{n}} \, ds} \end{matrix}

Teniendo en cuenta ahora el desarrollo en serie de Taylor de la función ln(1 + x):

\ln{(1+x)}=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+ \ldots

el exponente de la exponencial que aparece en la integral queda así:

-\cfrac{s^2}{2}+\cfrac{s^3}{3 \sqrt{n}}-\cfrac{s^4}{4n}+\ldots

Haciendo tender n a infinito obtenemos:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( -\cfrac{s^2}{2}+\cfrac{s^3}{3 \sqrt{n}}-\cfrac{s^4}{4n}+\ldots \right )=-\cfrac{s^2}{2}}

Volvemos a la expresión que nos había quedado de la función gamma, sustituimos esta última expresión y hacemos tender n a infinito en la integral:

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \Gamma (n+1)=n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \int_{-\sqrt{n}}^{\infty} e^{n \, \ln{(1+s/\sqrt{n})}-s \cdot \sqrt{n}} \, ds}= \\ \\ =n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n} \cdot \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{s^2}{2}} \, ds=n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{n} \cdot \sqrt{2 \pi}=n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}} \end{matrix}

Se ha usado que el valor de esa integral es \sqrt{2 \pi}. Con esto obtenemos el resultado esperado.

Vamos a ver mediante un ejemplo cómo el valor de cada una de esas sucesiones en cada término es practicamente el mismo. Veámoslo para n = 4:

4!=24 \approx 4^4 \cdot e^{-4} \cdot \sqrt{2 \pi \cdot 4}=23'506

Como podemos ver que los dos valores son muy aproximados. Podéis vosotros comprobarlo para valores de n mayores.

Fuente: Web del canal #matematicas del IRC_Hispano

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