Esta semana también cambia el orden habitual de las entradas (exigencias del guión). Ahí va el problema semanal:
Diremos que un punto
es entero (resp. racional), si ambas coordenadas
son números enteros (resp. racionales). Demostrar que:
- un círculo en el plano con centro no racional tiene a lo sumo dos puntos racionales en su circunferencia;
- para cada natural
, existe un círculo en el plano que tiene exactamente
- para cada natural
Suerte.
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Valora en Bitacoras.com: Esta semana también cambia el orden habitual de las entradas (exigencias del guión). Ahí va el problema semanal: Diremos que un punto es entero (resp. racional), si ambas coordenadas son números enteros (resp. racionales)……
El primero parece muy fácil, ¿no?: Si suponemos tres puntos racionales en la circunferencia A B y C, el centro viene dado por el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos AB y BC, que corresponde a la solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y de coeficientes racionales (por serlo las componentes de A, B y C). De ahí se deduce que el centro es un punto racional, en contradicción con la hipótesis inicial.
Los otros no sé por donde cogerlos 😉
Buenos Días No tengo tiempo, ahora mismo para desarrollar de manera correcta la demostración, pero creo que tengo una idea que permite demostrar la proposición 2 a partir de la proposición 1. La demostración sería por inducción. Supongamos que un circulo de radio con centro no racional tiene en su interior puntos; entonces puedo ampliar el circulo una determinada cantidad de forma que el circulo ampliado tenga 1 o 2 puntos enteros más que el original, y que no tenga ningun punto de acumulación entero, según me asegura la afirmación 1. Si sólo le he añadido un punto, ya he… Lee más »
¿No se podría demostrar que se puede elegir el centro de la circunferencia de tal forma que todos los puntos quedan a una distancia del centro diferente entre sí? De esa forma se podrían ir añadiendo «uno por uno» a la circunferencia, a medida que aumenta el radio.
Toma
puntos racionales 
en la circumferencia unidad. Tras la homotecia con centro en el origen de razón 
obtenemos una circumferencia con ese mismo radio y que contiene a 
puntos racionales.
Vaya montón de erratas hay en el anterior comentario. Debería decir:
puntos racionales 
en la circumferencia unidad. Tras la homotecia con centro en el origen de razón 
obtenemos una circumferencia con ese mismo radio y que contiene a 
puntos enteros.
Toma
Para ver que podemos coger todos los puntos racionales que queramos en circumferencia de radio unidad, tomemos una terna pitagórica (es decir, ). Entonces considera la recta y toma en la intersección de la recta con la circumferencia unidad. Como basta demostrar que es racional para ver que el punto es racional. Pero por pertenecer a la circumferencia unidad. Así pues (con quizás un cambio de signo). Como hay infinitas ternas pitagóricas primitivas (con no proporcionales) hay infinitos racionales en la circumferencia de radio unidad, puesto que estos perteneceran a distintas rectas. Por cierto que (obviamente) la razón por la… Lee más »
(por cierto, que Jota y Antonio QD ya han resuelto los dos primeros. Ninguna de sus pruebas es de libro de texto, pero está claro cómo escribirlas bien si alguien se empeña 😉 )
Dani, me parece que tu argumento para 3) lo que demuestra es que hay una circunferencia (de centro el origen)que contiene al menos
puntos enteros, pero no veo claro que dicha circunferencia contenga exactamente a 
puntos como dice el enunciado. Por otra parte, en el argumento de AntonioQD para 2), tal como él ha comentado, me parece que hay varios asuntos a justificar. A ver si podemos rematar mejor estas cuestiones.
Vaya, no me había fijado en el «exactamente». Toda la razón del mundo. Si tengo tiempo por la tarde veo a ver si se me ocurre algo más, y si tengo tiempo escribo bien el argumento de AntonioQD.
Además, Dani, observa que para una circunferencia centrada en el origen el número de puntos enteros en la circunferencia es múltiplo de 4.
Es un tema muy varsoviano… Para la proposición 2, he visto por ahí un argumento como el de Antonio QD pero que no necesita la proposición 1 y se generaliza a : Un conjunto (con la topología usual) es estrictamente convexo si dados dos puntos A y B de S, los puntos interiores del segmento que los une están en el interior de S. Si S es un subconjunto de acotado y estrictamente convexo, para todo n natural existen conjuntos T semejantes a S tales que el número de elementos de (interior de T) . Dado un acotado y estrictamente… Lee más »
En mi comentario anterior la palabra «semejantes» se puede sustituir por «homotéticos».
Supongamos una tal circunferencia de radio r que admita un número impar de tales puntos racionales. Por el apartado 1, sabemos que el centro ha de ser también racional. Sea uno de los puntos racionales de dicha circunferencia. Veamos que el punto también está en la circunferencia: Además, por ser el centro racional y el punto racionales, también lo es el punto . En consecuencia, queda descartado el caso n impar, salvo quizás el n=1. Pero es que una cuenta similar muestra que los puntos y también están en la circunferencia y también son racionales. Mi solución parcial es que… Lee más »
«cullero», me acabo de perder.
Es fácil ver que en R^2 con la topología usual, cualquier entorno abierto (no vacío) contiene infinitos números racionales.
Lo difícil es hacerlo sobre enteros (multiplicar por K tu solución y asegurar que «no hay más de N puntos… ni menos»).
Estoy ansioso por ver si alguien concreta las ideas de «Antonio» y «fede» sobre
«Aplicando una traslación suficientmente pequeña…»
Re: josejuan
Vale, he metido la pata. Leí «racionales» en vez de «enteros». Para una vez que escribo algo… En fin.
Pregunta sobre el punto 3: ¿se entiende que para cada n natural, existe una circunferencia que pasa por exactamente n puntos enteros distintos? Si es así, mi razonamiento es (creo) correcto, porque si los puntos son enteros, en particular son racionales.
Nueva precisión a mi comentario:
es estrictamente convexo si dados dos puntos A y B de S o de su borde, los puntos interiores del segmento que los une están en el interior de S.
Un conjunto
cullero, si hay 3 puntos enteros y el centro es racional pero no entero, puede no haber más puntos enteros.
Como la mediatriz de dos puntos de coordenadas enteras es la ecuación de una recta con coeficientes racionales, elegimos un punto que no pueda pertenecer a ninguna recta de ese tipo, como (1, e). Luego no existen dos puntos que equidisten de ese.
Ordenamos los puntos enteros por su distancia (euclídea) a ese punto en una sucesión monótona creciente. Con esa sucesión, podemos, para cada n dado, encontrar un radio dado que la circunferencia centrada en el punto original con ese radio contiene exactamente n puntos, demostrando el 2)
Corrijo: el círculo con radio dado y el punto antes indicado, no la circunferencia, es quien contiene los puntos.
«Diego», tu razonamiento es correcto (¡genial!) excepto en un aspecto (¡cachis!), las dos componentes del centro elegido deben ser irracionales.
Como debe ser
basta dejar y1=y2 si oy es irracional o x1=x2 si ox es irracional para tener puntos enteros equidistantes.
De hecho, con tu centro (1,e), cualquier par x1,x2 que cumpla
es equidistante para cualesquiera y1=y2.
Por lo demás ¡genial!.
Para (3) igual se podrían buscar los coeficientes (x1,x2,x3,y1,y2,y3) de tal forman que el determinante de la siguiente matriz tenga exactamente N soluciones enteras
a buscar entre las propiedades de los polinomios…
Para los que (como yo) se hayan cansado de estrujar papeles, una hermosa fórmula para obtener esos círculos en
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html
Para una aproximación al conteo de puntos bajo cualquier curva en
http://www.uam.es/gruposinv/ntatuam/downloads/APtenumav.pdf
La demostración
http://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html
josejuan, respecto a tu precisión a Diego, las dos componentes no sólo irracionales (para las mediatrices horizontales y verticales), sino que uno no se pueda obtener una de la otra mediante sumas y multiplicaciones de racionales (para el resto de las mediatrices, que es lo que dice Diego). Por ejemplo raíz de dos y raíz de tres o bien un número irracional trascendente y otro no trascendente.
Un saludo.
Muy bueno Icosaedro.
😉 ¡cachis!
nadie para el 3?
La solución de Jota para 1) me parece clara. Esta propiedad nos dice que una circunferencia puede contener 0,1,2, o infinitos puntos racionales. Por ejemplo,
no tiene puntos racionales, 
sólo contiene uno (el origen) y 
sólo contiene dos (
). Y si una circunferencia contiene tres puntos racionales, entonces contiene infinitos al ser su centro racional.
Para 2), la solución de fede me parece estupenda. Indico una algo más básica y algo más constructiva: Vamos a considerar circunferencias centradas en el punto (podemos tomar cualesquiera coordenadas de modo que la primera sea irracional, y la segunda racional cuyo doble no sea entero). Primero veremos que si dos puntos enteros equidistan de entonces . Esto es fácil de ver ya que y de aquí que (por ser irracional) e (por tratarse de valores enteros). En segundo lugar, centrado en tomaremos un círculo de radio suficientemente grande que contenga más de puntos enteros en su interior ordenados en… Lee más »
Para 3), conocía los círculos de Schinzel que indica josejuan, pero sinceramente no conozco la prueba de que cumplan la propiedad. Sin embargo puede que sea del estilo de la prueba que indico a continuación basada en otros círculos, que sin embargo tienen mayor radio que los de Schinzel. Lo primero que notamos es que la ecuación , , tiene exactamente soluciones enteras . El número de soluciones enteras de es una propiedad conocida y se basa en factorización única en los enteros gaussianos . De hecho, considerando los números complejos (), , vemos que las soluciones se obtienen de… Lee más »
Finalmente, propongo una cuestión relacionada y bastante más sencilla. Se pide indicar qué polígonos regulares verifican que todos sus vértices tienen coordenadas enteras.
M, en el archivo de «L’Enseignement Mathématique» se puede ver (pdf) la demostración original de Schinzel, (1958 vol 4 pag 71) y también la demostración para m dimensiones de Kulikowski (1959 vol 5 pag 89)
Gracias, fede. Veo la solución que conocía es del estilo de la de Schinzel, aunque la de éste refina mucho más el valor de los radios.
Por cierto, la solución de 2) coincide bastante con lo escrito arriba por Diego, salvo que el punto
no nos valdría pues siempre podemos tener puntos enteros distintos 
que equidistan de 
.
Ya que es domingo, pongo una respuesta al caso de los polígonos regulares con vértices enteros. La única posibilidad es el cuadrado, por lo siguiente: si existe un polígono con vértices enteros , podemos asumir que éste tiene sus lados con longitud mínima (ya que sus lados medirán una cierta cantidad con enteros). Sin embargo a partir de este polígono, si , entonces podemos construir otro polígono regular con vértices enteros y lado menor (el nuevo polígono estará dentro del original) cuyos vértices se obtienen con la condición . Esto contradice la minimalidad del polígono de partida. Este proceso no… Lee más »
Muy elegante la demostración, M, aunque el proceso para obtener el nuevo polígono no se aplica al triángulo, no porque quede inalterado, sino porque resultaría un triángulo mayor ¿verdad?
Lo comento, más que nada, por confirmar que lo he comprendido.
Vaya, sí, Sive. La idea consiste en trasladar cada vértice paralelamente al segmento inmediatamente consecutivo (fijando un orden de antemano, claro). Las coordernas del
(fijando el vector en el punto correspondiente) serán enteras.
Pues es una pena que no la desarrolles, porque aunque a partir de la idea féliz el resto es fácil, la demostración sigue siendo preciosa.