Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Éste es el enunciado del mismo:
Sea
un cuadrilátero convexo tal que
y
¿Qué forma tiene el cuadrilátero
A por él.
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Un cuadrado es solución.
Si es un rectángulo, los lados deben ser iguales, es decir, un cuadrado
Razonando de forma similar, para un rombo de diagonales a y b debe tenerse a=b. De momento todo apunta a que el cuadrado sea la única solución.
Información Bitacoras.com…
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El cuadrado es la única solución posible, sí. Eso si, hay que demostrarlo que por algo es el sexto problema
solo quedan el romboide, el trapecio y el trapezoide…
Acabo de construir un cuadrilátero que cumple aproximadamente las condiciones del problema y no le veo manera de responder a la pregunta. Desde luego no es un cuadrado, ni siquiera un paralelogramo.
http://picturepush.com/public/12921991
En el caso del rombiode, que sería lo mismo que el paralelogramo, creo que es sencillo: AB y CD son caras opuestas… con lo que al ser paralelogramo son de igual longitud. Lo mismo ocurre con BC y DA. Las ecuaciones se transforman en: |AB|/|AC| = sqrt(2) / 2 |BC|/|BD| = sqrt(2) / 2 Y cumplir ambas lleva a |AB| = |BC| y AB _|_ BC (perpendiculares) Aunque para demostrar esto último no vi otro camino que desarrollar expresiones: Pongo origen en D y punto C en eje x… llamo d a la distancia d = |DC| = |AB| y… Lee más »
Osea que hay solucion mas general que el cuadrado que es un paralelogramo.
No veo ninguna solucion tipo trapecio o trapezoide pero demostrarlo es muy arduo (si es que es posible).
Pero alguien resuelve estos problemas en una sentada? Los de la olimpiada son supergenios?
no, queria decir todo lo contrario, que no hay soluciones como paralelogramo
que no sean el cuadrado. Las soluciones son trapezoides proximos a paralelogramos
como este cuadrado expresado por sus vertices:
x,y
0 0
1.79653423452 0.395616645314
1 1
-0.796816540217 0.604431474447
0 0
Muy chulo el problema!
Me podríais recomendar algún libro que tenga ejercicios chulos de olimpiadas en español? En inglés tengo alguno, pero también quiero conocer el producto nacional 🙂
Enhorabuena por vuestro blog, es muy interesante.
Propuesta analítica un tanto tediosa. Asignemos coordenadas a los vértices: A(0,0), B(0,1), C(m,n) y D(x,y). Tomamos una pareja m, n a nuestra elección. Si expresamos las dos condiciones del problema en función de m, y n tendremos dos ecuaciones con las dos incógnitas x e y. Si el sistema tiene solución sabremos cuál es el punto D. Solo tendríamos que analizar tres casos (el cuadrado ya sabemos que cumple) para estudiar todas las formas posibles: BC horizontal y distinto de 1. BC no horizontal pero de longitud 1. BC no horizontal y distinto de 1. También podríamos elegir como datos,… Lee más »
JJGJJG, el problema es que tenemos 4 incógnitas ( {m,n,x,y} ó {|BC|, ánguloBC, |AD|, ánguloAD}) y sólo 2 ecuaciones. En el caso que resolví antes no hay problema porque se añaden 2 ecuaciones (o se fijan 2 parámetros): ánguloBC = ánguloAD y |BC| = |AD| Es cierto que al decir cuadrilátero CONVEXO hay una condición extra… pero no es una ecuación sino inecuaciones (ángulos menores que PI…). Intuyo que el punto de intersección de las diagonales, que por la condición de convexidad debe estar dentro del cuadrilátero, puede ser clave para la demostración… así como algunas inecuaciones: cantidades que mayores… Lee más »
hay infinitas soluciones de trapezoides que cumplen la solucion. Para muestra otro:
0 0
1.30616200283 0.0480257939887
1 1
-0.306051327979 0.952020232876
Los lados serian 1.30704462606, 0.999995030432, 1.30693233542, 1.0000049695
diagonales: sqrt(2), 1.84836083316
Tiene todos los lados desiguales y cumple las condiciones, pero esta cerca de un paralelogramo.
O hay una solucion genial o este problema es infernal y no apto para navegantes…
rtomas,
me costaba mucho creer que hubiese una solución que sea casi un paralelogramo no cuadrado… sobre todo después de haber probado que él único paralelogramo posible es el cuadrado.
Así que he revisado tu solución y encontré el fallo:
Tu solución no cumple las condiciones del enunciado, sino estas otras:
|AB| + |CD| = sqrt(2) * |BD|
|BC| + |DA| = sqrt(2) * |AC|
En otras palabras: intercambiaste las diagonales.
Divido el cuadrilátero en dos triángulos mediante una diagonal y en otros dos mediante la otra. Si los lados del cuadrilátero son {1,y,x,z}, los triángulos son {x,y,x√2+√2}, {1,z,x√2+√2}, {x,z,y√2+z√2}, {1,y,y√2+z√2}.
Mediante el teorema del coseno calculo todos los ángulos en función de x, y, z. Como cada ángulo original es la suma de dos ángulos nuevos, tengo cuatro ecuaciones que serán linealmente dependientes. A partir de tres de ellas despejo los valores de x, y, z.
Si todo va bien debería obtener x=y=z=1.
Como mencionan, el cuadrado es una solución; pero en un examen de ese tipo hay que demostrarlo, lo cual es mas o menos trivial suponiendo un cuadrado de longitud 1:
en este caso, AB=1; BC=1; CD=1; CD=1;DA=1
=
*
*
y AC= BD=
por lo tanto de la primera ecuación:
1+1=
2=2
la segunda tiene exactamente los mismos valores:
1+1=
2=2
Lo difícil sería demostrar que es la única solución; eso si sería demasiado complejo.
Acido, solo tienes que intercambiar B por A (y seguir con el resto) y ya tienes las ecuaciones del problema y el cuadrilatero que menciono las cumple.
Mmonchi, estaria bien que se econtrara lo que dices, pero como explicas mi cuadrilatero?
rtomas,
¿intercambiar A por B? ¿has probado a dibujar lo que sale de intercambiar A por B? A mi sale un reloj de arena (como un 8), no un cuadrilátero. Y para colmo, lo que antes eran diagonales ahora son lados y encima se suman en la ecuación… así que sqrt(2) + 1.848 no es igual a sqrt(2) * 1 … no cumple la ecuación segunda (ni la primera).
rtomas, en el primer ejemplo haces 1,99999999999699=2,0000000000000000 y 3,67942166331908=3,67942165936302 y en el segundo 2,00000000000000=2,00000000000066 y 2,61397696148589=2,61397695842079.
No sé si al afinar más desaparece el error o es inevitable, es decir, puedes acercarte a la solución sin alcanzarla de forma exacta.
Si consigo resolver el sistema de ecuaciones (que se complica mucho y hay que usar el teorema del seno además de el del coseno) quizás llegue a una solución general más amplia que englobe las tuyas, no lo sé.
Mi propuesta no pretende resolver el problema de una tacada sino por aproximaciones sucesivas descartando casos particulares. Para ello propongo tres alternativas:
La primera comprueba si puede haber soluciones con un ángulo recto.
La segunda exploraría si hay soluciones con dos lados contiguos iguales pero no perpendiculares.
La tercera trata de abordar el caso de un cuadrilátero general.
No incluyo en análisis de los paralelogramos porque ya la ha abordado Acido.
No Mmonchi, ya expliqué el fallo de rtomas.
Veamos con el primero:
x,y
A = 0 0
B= 1.79653423452 0.395616645314
C= 1 1
D= -0.796816540217 0.604431474447
0 0
|AB| aprox sqrt(1.8^2 + 0.4^2) = sqrt(3.4) = 1.84
|CD| aprox lo mismo
|AB| + |CD| aprox = 3.68
sqrt(2) * AC = 2
No cumple la primera igualdad!!!
Por el mismo motivo que dije antes, para cumplir las ecuaciones habría que intercambiar las diagonales.
|AD| aprox sqrt( 0.79^2 + 0.6^2) = 1
|BC| aprox 1
|BD| = apuesto a que da 3.68 / sqrt(2)
Acido, no me he explicado, este cuadrado:
AB
DC
puede ser perfectamente este otro:
DA
CB
no?
Acido, yo he calculado los cuatro lados y las dos diagonales a partir de los puntos, no me he fijado en si la nomenclatura es correcta sino en el resultado, que es casi correcto.
Mi línea de investigación ahora es suponer que dos lados opuestos del cuadrilátero confluyen en un punto P… (que no sean paralelos) para ver si puedo llegar a contradicción con las condiciones del problema.
Si lo consigo, equivaldría a que las únicas soluciones deben ser paralelogramos… y con la demostración de antes, tendríamos que sólo el cuadrado puede ser solución.
Mmonchi, es cierto que las soluciones numericas solo se cumplen hasta
cierto digito y no son en el fondo una demostracion de estos problemas,
pero vero claramente que me puedo acercar tanto como quiera a la solucion
y en el caso de los numeros que doy todas las cifras decimales son representativas
y el error esta en la ultima, asi que redondear a menos de las que doy no vale.
Acido, si tienes un cuadrilátero que cumple esas ecuaciones, tienes uno que cumple las otras. Es simplemente cuestión de simetría.
rtomas, creo que te estás dejando engañar por los decimales y la falta de exactitud. Hay cuadriláteros, no necesariamente cercanos a paralelogramos, que están muy muy cerca de cumplir las condiciones, pero no las cumplen realmente.
Ya esta! La solucion es un paralelogramo! Apurando digitos esta claro que los lados son iguales 2 a 2!!! como Golvano y Mmonchi indicaban. que ocurre? que acido cometio un pequenyo error y nos despisto. Revisad: Acido | 13 de mayo de 2013 | 17:08 la ecuacion: |BD|/|BC| = sqrt(1+ k^2 + 2 * k * cos f) / k = sqrt(2) se convierte en: 1 + k^2 + (k^2 – 1) = 2 k^2 y no en 2k (el r.h.s) como Acido accidentalmente habia escrito. Asi pues esta ecuacion es una identidad que se cumple para todo k !!!!… Lee más »
golvano, Cierto… no acababa de verlo. Es la imagen especular. Es que primero dijo rtomas cambiar A por B … y me salía un churro… le faltó decir «y C por D». Luego dijo ABCD por DABC y eso era una rotación… que parecía una tomadura de pelo xDDD Era cambiar ABCD por BADC. rtomas, ¡Bravo! ¡Muy bueno! Es sistema de ecuaciones es indeterminado, con infinitas soluciones, así que hay infinitos paralelogramos… Lo mio fue un error que casualmente concordaba con otras pruebas… como, por ejemplo, no ser válido para los rectángulos ni los rombos… aparte, claro está, de ser… Lee más »
En el ejemplo de f = 60 grados… (PI/3) [x, y] D = [0, 0] C = [1, 0] B = [1+ 1/4 + sqrt(5)/4, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ] A = [ 1/4 + sqrt(5)/4, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ] AB = [1, 0] BC = -A CD = [-1, 0] DA = A AC = -[1/4 + sqrt(5)/4 – 1, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ] = -1/4 [-3 + sqrt(5), sqrt(3) + sqrt(15) ] BD = -B = 1/4 [5 + sqrt(5), sqrt(3) + sqrt(15) ] |AB| + |CD| = 1 + 1 = 2 |AC|^2 = 1 /16 *(9 +… Lee más »
Muy bien. Entonces las soluciones son paralelogramos que cumplen cierta relación entre el ángulo y la longitud de los lados.
Siguiendo con mi idea de los ángulos, parto de un cuadrilátero de lados {w,x,y,z} y ángulos a, b, c y d. Descompongo el cuadrilátero en dos triángulos por una diagonal, en otros dos por la otra, y tengo cuatro triángulos. Conozco todos los lados y puedo poner los 12 ángulos en función de w, x, y, z mediante el teorema del coseno. Calculo cosa, cosb, cosc y cosd mediante la fórmula del coseno de la suma y me quedan cosa y cosc en función de sena*senc y cosb y cosd en función de senb*send. Despejo e igualo los productos de… Lee más »
Mmonchi,
«Por tanto los cuadriláteros que solucionan el problema son necesariamente cuadriláteros.»
esto es una revolucion!!
😉
🙂
«Son necesariamente paralelogramos.»
Tengo ya la relación entre x e y, y entre los ángulos a y b con x e y. Lo escribo en Latex y vuelvo.
entonces enhorabuena!!!!
parece que tu demostracion no va a ser infernal
Sí que era infernal, al repasarla he encontrado un error al principio y ahora no se simplifica. Cuando me despeje lo vuelvo a intentar. 🙁
Son curiosos estos errores que hacen que salga que lo esperamos jajajaja
Yo el único avance que hice es demostrar que si tenemos 3 vértices seguidos (ABC, por ejemplo) que cumplen la condición exigida para el paralelogramo… entonces el cuarto vértice (D en el ejemplo) sólo puede estar en el punto en el que se forma el paralelogramo. Con lo cual para cada ángulo hay un k en el que hay una solución y también infinitos cuadriláteros (con dos grados de libertad) que no son solución (y no son paralelogramos). Ahora bien, para los casos en los que no se cumple la condición no he demostrado que no pueda pueda haber soluciones… Lee más »
Lo anterior es fácil… El paralelogramo que cumple la condición cumplirá lo siguiente: |AB| = 1 |CD| = 1 y, por tanto |AC| = sqrt(2) Si CD no es 1 no se cumplirá la igualdad… Si CD es 1 pero no es paralelogramo, entonces el otro lado (AD) no será igual a |BC| y no se cumplirá la otra condición. También demostré que para un trapecio isósceles genérico ( AB || CD y |CB| = |DA| ) necesariamente debe ser |AB| = |CD| (rectángulo) y la altura debe ser |AB|, y, por tanto, todos esos casos derivan en un cuadrado.… Lee más »
¡¡¡ Lo conseguí !!!!
Y, como imaginábamos, existe una solución sencilla. Todos intuíamos que la solución no podía ser supercomplicada…
Las claves: vectores, escribir las diagonales de varias formas, elevar al cuadrado (producto escalar de un vector por sí mismo), sumar todo y usar las expresiones del problema… Hasta yo mismo me he quedado sorprendido de cómo todo se simplifica.
Ahora lo escribo en limpio y lo envío.
1. Pintamos un cuadrilátero convexo genérico, con sus diagonales. Me fijo en la representación VECTORIAL del mismo… en concreto de las dos diagonales. 2. Expreso cada diagonal de 2 formas distintas. AC = AB + BC (de A a C pasando por B) AC = AD + DC (de A a C pasando por D) BD = BA + AD (de B a D pasando por A) BD = BC + CD (de B a D pasando por C) 3. Elevo al cuadrado las 4 expresiones Este paso es clave… La «ocurrencia» o «idea feliz» vino porque cuando escribía expresiones… Lee más »
Bueno, hubo un pequeño error de transcripción intermedio (un despiste al editar después de copiar y pegar) pero que no afecta a la validez.
______
AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA| =
= 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)
Luego:
2(BC-AD)(AB+CD) + AB^2 + CD^2 – 2|AB||CD| + BC^2 + DA^2 – 2|BC||DA| = 0
________
Luego continúa bien.
Ácido, dices: «2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2AB(BC-AD) + 2CD(BC-AD) = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)» Hay un error quizás fatal (no he repasado todo el ejercicio): es 2AB(BC+AD) y 2CD(BC+AD). Vaya, que has cambiado los signos sin darte cuenta. El resto, para mí, es bastante incomprensible, hay varias expresiones que algebraicamente parecen incorrectas, a no ser que me esté descuidando pasos que has obviado. Por ejemplo en: «5. Sustituimos las expresiones del problema en el lado izquierdo y lo desarrollamos (expandimos, veremos similitudes con el lado derecho). (|AB| + |CD|)^2 + (|BC|+|DA|)^2… Lee más »
Perdona, ácido, a mi segunda apreciación sobre tu punto 5 (que corregiste en el siguiente comentario, que no vi) no hagas caso.
Sin embargo permanece la primera, la de los signos…
Dices que no sabes de dónde salen los signos – del apartado 4. El apartado 4 viene de sumar las expresiones del apartado 3 Y las expresiones del apartado 3 quitando los cuadrados son estos productos escalares de vectores: 2*AB*BC 2*AD*DC 2*BA*AD 2*BC*CD Fíjate que aparece AB y BA …. y también CD y DC … Por eso transformo, para sacar factor común … El vector que va de A a B es el opuesto del que va de B a A (si sumas ambos da cero: AB + BA = AA = 0 ) Por tanto, al sumar tenemos:… Lee más »
En efecto, tienes razón. A veces uno se acostumbra a trabajar tanto con números naturales o reales que se me olvida que, como en este caso, son vectores en geometría afín. Y al invertir las letras se cambia el sentido (signo) del vector.
Gracias!
Acido,
Muy buena la última solución, pero entiendo que no se llega a obtener la relación del ángulo con la longitud del segmento que había en la demostración de Rtomas, por lo que valdría cualquier paralelogramo, y eso sabemos que es falso.
No, Juanjo. Esta última demostración no necesita las dos ecuaciones sino la suma de los cuadrados de las ecuaciones dadas en el problema. En otras palabras, utiliza una condición más general que las condiciones del problema. Dicho de otra forma: Siempre que un cuadrilátero cumpla lo siguiente será un paralelogramo: (|AB| + |CD|) ^2 + (|BC| + |DA|)^2 = 2 |AC|^2 + 2 |BD|^2 ¿verdad que es fantástico esto último? Al usar sólo la suma de los cuadrados hemos perdido restricciones («ganado más generalidad»). Pero es que el problema no tiene esa condición sino unas más restrictivas. Al añadir condiciones… Lee más »
Juas, perdón otra vez, pero ácido, ¿cómo llegas a los cosenos? No veo cómo usas el teorema del coseno (o lo que sea)
Reconozco en que la parte voy demasiado deprisa y quizá quede poco claro. Así que voy a detallarlo. La expresión antes de los cosenos, escrita bien (PERDÓN de nuevo por ese error de transcripción que enturbia las cosas… la parte final la copié de la que estaba mal y está también mal, con los cuadrados multiplicados por 2, cuando deben ir multiplicados por 1) sería: -(BC-AD)^2 -(DC-AB)^2 +AB^2 +CD^2 -2|AB||CD| +BC^2 +DA^2 – 2|BC||DA| = 0 Los cosenos salen de los cuadrados de las diferencias, esos que tienen signo negativo… Veamos cada uno: -(BC-AD)^2 = – (BC^2 + AD^2 -2*BC*AD)… Lee más »