Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado:
Sea
un polinomio con coeficientes reales tal que
para todo
Probar que existen polinomios
con coeficientes reales tales que
, para todo
Que se os dé bien.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia visita ForoGauss, nuestro foro (click en la imagen). Seguro que alguien te podrá ayudar
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Visita XRooMers, nuestro nuevo blog sobre escape rooms.
En él encontrarás reseñas e información sobre los juegos de escape que hemos realizado y podrás dar tu opinión sobre ellos y tus propias sugerencias.
Y no te pierdas nuestra clasificación: The XRanking.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado: Sea un polinomio con coeficientes reales tal que para todo Probar que existen polinomios con coeficientes reales tales que , para todo Que se os dé bi……
Por ser un polinomio real, si
es una de sus raíces en 
, el conjugado 
también es una raíz del mismo. Además, ya que 
, todas las raíces reales tienen multiplicidad par, por lo que su factorización en 
puede escribirse
para ciertos números complejos
. Observemos que para cada 
los dos términos del producto anterior son conjugados ya que
así que sus descomposiciones en parte real e imaginaria son
donde
son polinomios reales. Finalmente
Hola, quisierasaber si existe algún libro donde se pueda aprender sobre la solución de éste tipo de problemas
Dados dos polinomios
y 
de grados m y n respectivamente (supongamos por ejemplo m<n), el grado de 
será, por tanto 2n, por tanto cualquier polinomio de grado impar no se puede descomponer de esta manera.
Acabo de darme cuenta de que la condicion p(x)>=0 implica que el grado sea par.
Hermosa solución, David. Dejo otra menos elegante y algo entrevesada aunque completamente distinta. Supongamos que la afirmación es falsa. Tomemos un polinomio con coeficientes reales de grado mínimo entre todos aquellos polinomios con coeficientes reales que satisfacen para todo pero no pueden ser escritos como la suma de los cuadrados de dos polinomios con coeficientes reales. Es claro que En efecto es ciertamente imposible puesto que todo polinomio lineal toma valores tanto positivos como negativos, y tampoco puede ocurrir puesto que si un polinomio cuadrático es siempre no negativo tendrá raices complejas conjugadas y resulta entonces que . Concluimos por… Lee más »
Hola Dani, ¡es muy interesante! La idea no es tan enrevesada:
La identidad de Lagrange [1] nos asegura que el producto de suma de cuadrados es una suma de cuadrados, y ya que todo polinomio real factoriza en polinomios lineales y cuadráticos, te basta probarlo para esos dos casos. La factorización se mantiene restringiendonos a los polinomios positivos.. ¡Muy buena!
Tenías razón, es completamente diferente. ¡Gracias por compartirla!
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Lagrange
( 2x^2-5x+3 )^2 + ( 21x^2 -5x+14 )^2 = ( 11x^2+x+6 )^2 + ( 18x^2-7x+13 )^2
( 3x^3-2x^2+x-4 )^2 + ( 19x^3+4x^2+18x+3 )^2 = ( 17x^3+2x^2+15x )^2 + ( 9x^3+4x^2+10x+5 )^2
( 3x-4 )^2 + ( 19x-2 )^2 = (9x+2 )^2 + ( 17x-4 )^2