Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado:
Sea
un polinomio con coeficientes reales tal que
para todo
Probar que existen polinomios
con coeficientes reales tales que
, para todo
Que se os dé bien.
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Por ser un polinomio real, si
es una de sus raíces en
, el conjugado
también es una raíz del mismo. Además, ya que
, todas las raíces reales tienen multiplicidad par, por lo que su factorización en
puede escribirse
para ciertos números complejos
. Observemos que para cada
los dos términos del producto anterior son conjugados ya que
así que sus descomposiciones en parte real e imaginaria son
donde
son polinomios reales. Finalmente
Hola, quisierasaber si existe algún libro donde se pueda aprender sobre la solución de éste tipo de problemas
Dados dos polinomios
y
de grados m y n respectivamente (supongamos por ejemplo m<n), el grado de
será, por tanto 2n, por tanto cualquier polinomio de grado impar no se puede descomponer de esta manera.
Acabo de darme cuenta de que la condicion p(x)>=0 implica que el grado sea par.
Hermosa solución, David. Dejo otra menos elegante y algo entrevesada aunque completamente distinta. Supongamos que la afirmación es falsa. Tomemos un polinomio con coeficientes reales de grado mínimo entre todos aquellos polinomios con coeficientes reales que satisfacen para todo pero no pueden ser escritos como la suma de los cuadrados de dos polinomios con coeficientes reales. Es claro que En efecto es ciertamente imposible puesto que todo polinomio lineal toma valores tanto positivos como negativos, y tampoco puede ocurrir puesto que si un polinomio cuadrático es siempre no negativo tendrá raices complejas conjugadas y resulta entonces que . Concluimos por… Lee más »
Hola Dani, ¡es muy interesante! La idea no es tan enrevesada:
La identidad de Lagrange [1] nos asegura que el producto de suma de cuadrados es una suma de cuadrados, y ya que todo polinomio real factoriza en polinomios lineales y cuadráticos, te basta probarlo para esos dos casos. La factorización se mantiene restringiendonos a los polinomios positivos.. ¡Muy buena!
Tenías razón, es completamente diferente. ¡Gracias por compartirla!
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Lagrange
( 2x^2-5x+3 )^2 + ( 21x^2 -5x+14 )^2 = ( 11x^2+x+6 )^2 + ( 18x^2-7x+13 )^2
( 3x^3-2x^2+x-4 )^2 + ( 19x^3+4x^2+18x+3 )^2 = ( 17x^3+2x^2+15x )^2 + ( 9x^3+4x^2+10x+5 )^2
( 3x-4 )^2 + ( 19x-2 )^2 = (9x+2 )^2 + ( 17x-4 )^2