Polinomio igual a suma de cuadrados de polinomios

Publicado por ^DiAmOnD^ | 28 mayo, 2012 | Juegos | 9 |

Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado:

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $p(x)\geq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}.$ Probar que existen polinomios $q_1(x),q_2(x)$ con coeficientes reales tales que $p(x)=q_1(x)^2+q_2(x)^2$ , para todo $x\in\mathbb{R}.$

Que se os dé bien.

0 0 votes

Article Rating

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉

Comparte:

Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Name*

Email*

Website

Name*

Email*

Website

9 Comments

más antiguo

más reciente más votado

Inline Feedbacks

View all comments

Bitacoras.com

28/05/2012 12:27

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado: Sea un polinomio con coeficientes reales tal que para todo Probar que existen polinomios con coeficientes reales tales que , para todo Que se os dé bi……

Responde

David

28/05/2012 13:54

Por ser un polinomio real, si $z$ es una de sus raíces en $\mathbb{C}$ , el conjugado $\bar{z}$ también es una raíz del mismo. Además, ya que $p(x)\ge 0$ , todas las raíces reales tienen multiplicidad par, por lo que su factorización en $p(x)$ puede escribirse

$p(x) = \prod{(x-z_j)(x-\bar{z}_j)} = \prod{(x-z_j)} \prod{(x-\bar{z}_j)}$

para ciertos números complejos $z_j$ . Observemos que para cada $x\in\mathbb{R}$ los dos términos del producto anterior son conjugados ya que

$\overline{\prod{(x-z_j)}} = \prod{\overline{x-z_j}} = \prod{(\bar{x}-{\bar{z}_j})} = \prod{(x-{\bar{z}_j})}$

así que sus descomposiciones en parte real e imaginaria son

$\prod{(x-z_j)} = q_1(x) + q_2(x)i$

$\prod{(x-\bar{z}_j)} = q_1(x) - q_2(x)i$

donde $q_1(x), q_2(x)$ son polinomios reales. Finalmente

$p(x) = \left( q_1(x) + q_2(x)i \right) \left( q_1(x) - q_2(x)i \right) = q_1(x)^2 + q_2(x)^2$

Alf

28/05/2012 15:56

Hola, quisierasaber si existe algún libro donde se pueda aprender sobre la solución de éste tipo de problemas

Responde

Jorge

30/05/2012 00:30

Dados dos polinomios $q_1(x)$ y $q_2(x)$ de grados m y n respectivamente (supongamos por ejemplo m<n), el grado de $q_1(x)+q_2(x)$ será, por tanto 2n, por tanto cualquier polinomio de grado impar no se puede descomponer de esta manera.

Jorge

30/05/2012 00:31

Acabo de darme cuenta de que la condicion p(x)>=0 implica que el grado sea par.

Dani

01/06/2012 16:21

Hermosa solución, David. Dejo otra menos elegante y algo entrevesada aunque completamente distinta. Supongamos que la afirmación es falsa. Tomemos un polinomio con coeficientes reales de grado mínimo entre todos aquellos polinomios con coeficientes reales que satisfacen para todo pero no pueden ser escritos como la suma de los cuadrados de dos polinomios con coeficientes reales. Es claro que En efecto es ciertamente imposible puesto que todo polinomio lineal toma valores tanto positivos como negativos, y tampoco puede ocurrir puesto que si un polinomio cuadrático es siempre no negativo tendrá raices complejas conjugadas y resulta entonces que . Concluimos por… Lee más »

David

02/06/2012 02:04

Hola Dani, ¡es muy interesante! La idea no es tan enrevesada:

La identidad de Lagrange [1] nos asegura que el producto de suma de cuadrados es una suma de cuadrados, y ya que todo polinomio real factoriza en polinomios lineales y cuadráticos, te basta probarlo para esos dos casos. La factorización se mantiene restringiendonos a los polinomios positivos.. ¡Muy buena!

Tenías razón, es completamente diferente. ¡Gracias por compartirla!

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Lagrange

Responde