Problema sobre grupos

Publicado por ^DiAmOnD^ | 10 octubre, 2007 | Juegos | 7 |

Os dejo un problema sobre grupos que me ha mandado Agustín por mail. El problema necesita dominar todas las propiedades de los grupos. A ver si le podéis ayudar:

Sea $G$ un grupo abeliano de orden $n$ y $a_1,a_2, \ldots , a_n$ sus elementos. Sea $e$ su elemento neutro y $x=a_1 \cdot \ldots \cdot a_n$ el producto de todos los elementos del grupo. Demuéstrese que:

a) Si $G$ tiene exactamente un elemento $b \ne e$ tal que $b^2=e$ entonces $x=b$ .
b) Si $G$ tiene más de un elemento $b \ne e$ tal que $b^2=e$ entonces $x=e$ .
c) Si $n$ es impar entonces $x=e$ .

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Pasotaman

10/10/2007 12:25

El producto es interno, luego $x$ es un miembro del grupo. Por otro lado, como el producto conmuta, se puede reorganizar $x\cdot x$ de modo que cada elemento esté al lado de su inverso. Luego $x\cdot x=e$ . La propiedad (a) se cumple ya que por definición no puede existir otro $b\ne x$ que verifique esto.

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LordHASH

10/10/2007 12:36

A mi o que me parece es que los tíos de ese grupo son unos empollones estirados, y paso de salir con ellos, porque de cervezas tienen que ser un muermo…no?

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Pasotaman

10/10/2007 12:41

Ah, se me olvidaba completar mi primer post con el hecho de que $x$ no puede ser $e$ porque es igual al producto de los elementos que son su propio inverso (los demás se reorganizan y cancelan entre sí), y hay uno.

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Pasotaman

10/10/2007 12:51

Vamos a por la (b). Ya he dicho que $x=b_1\dots b_m$ , con $m\ge 2$ por hipótesis en este caso, y que $x$ es su propio inverso, luego $x$ es o bien el elemento neutro o bien uno de los $b_i$ . Si este último fuese el caso, existiría $b_1$ tal que $b_1 x=e$ . Supongamos que es así. Lugo $e=b_1 x=b_2\dots b_m$ . Si $m=2$ esto contradice directamente la hipótesis. Si $m\ge 3$ , $b_2^{-1}=b_2=b_3\dots b_m$ , lo que sustituido en la fórmula inicial de $x$ da $b_1=e$ , otro absurdo, con lo que termina la demostración: $x$ es el elemento neutro.

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Pasotaman

10/10/2007 12:54

Finalmente la (c): si $n$ es impar, existe un número impar de elementos que son su propio inverso. Uno de ellos es claramente el neutro, por lo que hay un número par de lo que en el anterior post llamé $b_i$ . Si tal número es cero, la afirmación es trivial (ya que en la fórmula de $x$ aparecería siempre el inverso de cada elemento). En caso de que sea al menos $2$ recurrimos a (b). En todo caso queda probado que $x=e$ .

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Acid

11/10/2007 05:21

Repaso: (Convirtiéndonos en expertos en Grupos en un momento) Un grupo es una estructura formada por un conjunto G, sobre cuyos elementos se ha definido una operacion o ley interna, y que cumple: asociativa, un elemento neutro, y elemento inverso (cada elemento tiene un inverso). El abeliano es el que además tiene propiedad conmutativa. Llegamos a que x es el producto de elementos que son «autoinversos» (inversos de sí mismos), ya que los otros se cancelan entre sí. En el caso a) existe un único elemento b diferente de e que es inverso de sí mismo. Los inversos de sí… Lee más »

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castroman

11/10/2007 15:41

Para demostrar el apartado b) utilizaremos que todo grupo abeliano se puede descomponer en producto cartesiano de cíclicos, es decir, $G\simeq C_{d1} \times C_{d2} \times \ldots \times C_{dr}$ donde $d1|d2| \ldots |dr$ . Puesto que hay elementos de orden 2, existirá $di=2p$ .
Sea $0_{j}$ y $1_{j}$ los elementos de orden 1 y orden 2 de cada $C_{dj}$ respectivamente. Para construir un elemento de orden 2 de $C_{d1} \times C_{d2} \times \ldots \times C_{dr}$ debemos elegir $0_{j}$ para todos los $C_{dj}$ anteriores a $C_{di}$ y luego podemos elegir entre $0_{j}$ y $1_{j}$ . La cantidad de elementos de orden 2 es $2^{r-i+1}$ y cada $1_{j}$ aparecerá en $2^{r-i}$ elementos. Por lo tanto, al multiplicar todos los elementos, cada $1_{j}$ aparecerá un número par de veces.