Os dejo un problema sobre grupos que me ha mandado Agustín por mail. El problema necesita dominar todas las propiedades de los grupos. A ver si le podéis ayudar:
Sea
un grupo abeliano de orden
y
sus elementos. Sea
su elemento neutro y
el producto de todos los elementos del grupo. Demuéstrese que:
a) Si
tiene exactamente un elemento
tal que
entonces
.
b) Sitiene más de un elemento
tal que
entonces
.
c) Sies impar entonces
.
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El producto es interno, luego
es un miembro del grupo. Por otro lado, como el producto conmuta, se puede reorganizar
de modo que cada elemento esté al lado de su inverso. Luego
. La propiedad (a) se cumple ya que por definición no puede existir otro
que verifique esto.
A mi o que me parece es que los tíos de ese grupo son unos empollones estirados, y paso de salir con ellos, porque de cervezas tienen que ser un muermo…no?
Ah, se me olvidaba completar mi primer post con el hecho de que
no puede ser
porque es igual al producto de los elementos que son su propio inverso (los demás se reorganizan y cancelan entre sí), y hay uno.
Vamos a por la (b). Ya he dicho que
, con
por hipótesis en este caso, y que
es su propio inverso, luego
es o bien el elemento neutro o bien uno de los
. Si este último fuese el caso, existiría
tal que
. Supongamos que es así. Lugo
. Si
esto contradice directamente la hipótesis. Si
,
, lo que sustituido en la fórmula inicial de
da
, otro absurdo, con lo que termina la demostración:
es el elemento neutro.
Finalmente la (c): si
es impar, existe un número impar de elementos que son su propio inverso. Uno de ellos es claramente el neutro, por lo que hay un número par de lo que en el anterior post llamé
. Si tal número es cero, la afirmación es trivial (ya que en la fórmula de
aparecería siempre el inverso de cada elemento). En caso de que sea al menos
recurrimos a (b). En todo caso queda probado que
.
Repaso: (Convirtiéndonos en expertos en Grupos en un momento) Un grupo es una estructura formada por un conjunto G, sobre cuyos elementos se ha definido una operacion o ley interna, y que cumple: asociativa, un elemento neutro, y elemento inverso (cada elemento tiene un inverso). El abeliano es el que además tiene propiedad conmutativa. Llegamos a que x es el producto de elementos que son «autoinversos» (inversos de sí mismos), ya que los otros se cancelan entre sí. En el caso a) existe un único elemento b diferente de e que es inverso de sí mismo. Los inversos de sí… Lee más »
Para demostrar el apartado b) utilizaremos que todo grupo abeliano se puede descomponer en producto cartesiano de cíclicos, es decir,
donde
. Puesto que hay elementos de orden 2, existirá
.
y
los elementos de orden 1 y orden 2 de cada
respectivamente. Para construir un elemento de orden 2 de
debemos elegir
para todos los
anteriores a
y luego podemos elegir entre
y
. La cantidad de elementos de orden 2 es
y cada
aparecerá en
elementos. Por lo tanto, al multiplicar todos los elementos, cada
aparecerá un número par de veces.
Sea
Nota:
significa que
divide 