…como promedio, el número de representaciones de un número entero positivo s como suma de dos cuadrados de números enteros (es decir, s=n^2+m^2 con n,m\in\mathbb{Z}) es \pi?

Al menos eso nos asegura Clifford A. Pickover en su libro Las matemáticas de Oz, que ya habréis visto en algún post y que probablemente veréis en alguno más.

¿Qué es eso del promedio? Muy sencillo:

  • {0}: Representaciones:1: 0=0^2+0^2
  • 1: Representaciones: 4: 1=1^2+0^2,1=(-1)^2+0^2,1=0^2+1^2,1=0^2+(-1)^2
  • 2: Representaciones: 4: 2=1^2+1^2,2=(-1)^2+1^2,2=1^2+(-1)^2,2=(-1)^2+(-1)^2
  • 3: Representaciones: 0

y así, respectivamente, el 4 tiene 4; el 5 tiene 8; el 6 tiene 0, el 7 tiene 0, el 8 tiene 4, el 9 tiene 4, el 10 tiene 8

El promedio para cada n se hace así: se suman las representaciones de cada número entre {0} y n y se divide el resultado entre n. Por ejemplo, para los números del {0} al 10 haríamos el siguiente cálculo:

\cfrac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer n ese promedio tiende a \pi.

No he podido encontrar más información sobre el asunto. Si alguien encuentra algo que me lo comunique. Lo que sí he podido encontrar es cómo saber cuántas representaciones hay en cada caso, ya que en principio uno no ve una forma sencilla de calcular cuántas representaciones tiene un número entero positivo cualquiera como suma de dos cuadrados. Pues hay una forma, no de calcular el número de representaciones para cada número sino el número total de representaciones de todos los números desde {0} hasta un cierto n (es decir, la suma que luego deberíamos dividir entre n). Ese número es el número de puntos de coordenadas enteras dentro de un círculo de radio \sqrt{n} según este post del blog de Juán de Mairena. Con este dato calcular esa suma de representaciones es mucho más sencillo.

Como podéis volver a ver, y como seguiréis viendo, el número \pi sigue apareciendo en los lugares más insospechados.

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