La pasada semana, hablábamos en la entrada Cómo usar una parábola para multiplicar dos números sobre la que llamamos multiplicación parábolica, una especie de multiplicación gráfica de enteros positivos para la cual utilizábamos la parábola y=x^2 de una original manera.

Como es habitual en matemáticas, puede ser interesante generalizar el asunto. En este caso, lo hacemos en el sentido siguiente: ¿qué funciones se pueden utilizar para realizar multiplicaciones de este tipo? Esto es lo que vamos a ver en la entrada de hoy.

Antes de nada, es necesario comentar que este estudio se lo debemos a Francisco Milán, profesor del departamento de Geometría y Topología de mi amada Universidad de Granada, que lo publicó en su cuenta de Twitter, @FrMilanMat, a raíz de mi entrada. El tuit en cuestión es éste, y aquí voy a reproducir su demostración con algún comentario mío para dejar claro todo el asunto.

La idea de la multiplicación parabólica que planteábamos en la entrada anterior era buscar dos puntos en la parábola que representaran a los números que queríamos multiplicar y, después, unir ambos puntos con un segmento, resultando que el punto de corte de dicho segmento con el eje Y era, precisamente, el producto de nuestros números iniciales. Por ello, podemos plantear el problema de la búsqueda de estas funciones de la siguiente forma (siendo p y q los enteros positivos que queremos multiplicar):

Problema.- Determinar todas las funciones f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} tales que los puntos

(-p,f(-p)), \qquad (0,pq), \qquad (q,f(q))

están alineados, para todo p,q \in \mathbb{R}^+.

Nótese que la demostración, y también la multiplicación parabólica de la entrada anterior, son válidas para cualesquiera p,q \in \mathbb{R}^+ (de hecho, ¡también para cuando alguno de ellos es negativo!), aunque en la práctica es posible que sólo «sirviera» para enteros, que son los más sencillos de identificar gráficamente.

Bueno, vamos con la resolución de nuestro problema:

Una manera de asegurarnos de que estos puntos estén alineados es calcular los vectores que unen dos parejas de dichos puntos y, después, «obligar» a dichos vectores a que sean proporcionales. Si llamamos A,B,C a estos puntos (en el orden en el que los hemos presentado en el planteamiento del problema), tenemos que:

\overrightarrow{AB}=(p,pq-f(-p)), \qquad \overrightarrow{BC}=(q,f(q)-pq)

Particularizando en p=q=x > 0, tenemos que

\overrightarrow{AB}_{p=q}=(x,x^2-f(-x)), \qquad \overrightarrow{BC}_{p=q}=(x,f(x)-x^2)

Si obligamos a estos dos vectores a que sean proporcionales, entonces serán exactamente iguales (tienen igual la primera coordenada), por lo que tendremos que

x^2-f(-x)=f(x)-x^2

De aquí, y llamando h(x)=f(x)-x^2, tenemos que h(x)=-h(-x). De esto, tenemos también que f(x)=x^2+h(x), y ya vamos vislumbrando qué forma van teniendo las funciones buscadas.

Vamos ahora al caso general. Lo que vamos a hacer es, como antes, buscar que ambos vectores sean proporcionales. Por ello, la primera coordenada implica que el factor de proporcionalidad es \frac{q}{p},. Lo aplicamos e igualamos:

\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\cfrac{q}{p} \, \overrightarrow{AB} \Rightarrow (q,f(q)-pq)=\cfrac{q}{p} \, (p,pq-f(-p)) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow f(q)-pq=q^2-\cfrac{q}{p} \, f(-p) \Rightarrow \end{matrix}

Utilizamos ahora que f(x)=x^2+h(x):

\begin{matrix} \Rightarrow q^2+h(q)-pq=q^2-\cfrac{q}{p} \, (p^2+h(-p)) \Rightarrow h(q)-pq=-pq-\cfrac{q}{p} \, h(-p) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow h(q)=-\cfrac{q}{p} \, h(-p) \end{matrix}

Usando ahora que h(x)=-h(-x), llegamos a:

h(q)=\cfrac{q}{p} \, h(p)

Tomando q=x, \, p=1, tenemos que h(x)=\cfrac{x}{1} \, h(1), es decir:

h(x)=ax, \quad \mbox{para } a\in\mathbb{R}

En consecuencia, las funciones buscadas son las siguientes:

f(x)=x^2+ax, \quad \mbox{con } a \in \mathbb{R}

Esto significa que, para la «multiplicación parabólica», podemos usar cualquier parábola de la forma f(x)=x^2+ax (con a \in \mathbb{R}) y, además, ninguna función más nos serviría para ello. Os invito a que vosotros mismos hagáis pruebas con distintas parábolas con esta expresión y, así, veáis con vuestros propios ojos que cualquiera de ellas es válida.

De nuevo, quiero agradecer a Francisco Milán que haya compartido con nosotros este estudio y que me haya permitido reproducirlo en el blog.

La imagen principal corresponde con el puente de Bixby Creek, en California, y la he tomado de aquí.

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