Cómo usar una parábola para multiplicar dos números

El algoritmo de la multiplicación de dos números enteros positivos es, como todos sabemos, un proceso muy sencillo que, habitualmente, aprendemos en primaria. Lo que hoy os traigo es otra forma de multiplicar dos enteros positivos, una forma gráfica que usa una parábola para ello. Os presento de nuevo (luego explicaré esto) la multiplicación «parabólica»

La cosa va de multiplicar dos enteros positivos utilizando la gráfica de la parábola de ecuación . Si esos dos números son y , los pasos a seguir serían los siguientes:

1. En el eje X, nos desplazamos unidades a la izquierda y unidades a la derecha (en ambos casos, desde el origen de coordenadas) y marcamos ambos puntos (esto es, representamos los puntos y ).
2. Nos llevamos, en vertical, ambos puntos a la parábola (es decir, representamos los puntos y ).
3. Unimos estos dos últimos puntos obtenidos con un segmento. El punto de corte de este segmento con el eje Y es, exactamente, el producto de y .

Veamos, por ejemplo, cómo hacer la multiplicación «parabólica» de 4 por 6:

¿A que mola? Pues, además de eso, es muy sencillo demostrar que siempre es válido. Vamos con ello:

Supongamos que queremos multiplicar dos números enteros positivos y . Representamos y y nos los llevamos ambos a , obteniendo los puntos y . La pendiente de la recta que une estos dos puntos es la siguiente:

Escribiendo la ecuación punto-pendiente de esa recta utilizando, por ejemplo, el punto , obtenemos lo siguiente:

Operando y simplificando, obtenemos que . Como el punto de corte de esta recta con el eje Y se produce cuando , se tiene que, en dicho punto, , que es exactamente lo que queríamos demostrar.

Sí, vale, puede que este método no sea el más práctico del mundo, pero lo que os aseguro es que, posiblemente, es el más curioso que conozco. Por cierto, lo vi en este post del blog de John D. Cook.

Comentaba al principio que iba a presentaros «de nuevo» este método de multiplicación parábolica, y la razón es que ya se habló en Gaussianos de algo relacionado con esto. Fue hace diez años, en enero de 2013, y la entrada en concreto es La sorprendente criba de la parábola. En ella, no se hablaba directamente de esta manera de multiplicar, sino que se daba una manera de utilizar una parábola para «cribar» los enteros positivos en busca de los números primos. Como en aquel momento se tomaban números mayores o iguales que dos para «multiplicar» (aunque allí no se multiplicaba), ninguno de los resultados de estas multiplicaciones puede dar un número primo. Por tanto, si representamos todas las multiplicaciones posibles de este tipo, los únicos puntos del eje Y en los que no cortará ningún segmento serán, exactamente, los números primos. Os recomiendo que le echéis un vistazo a aquel post, así entenderéis bien de qué estamos hablando.

La imagen principal es de la Capilla del Prior de la Abadía de San Luis (EEUU), y la he tomado de aquí.