Estamos ya hartos de leer/escuchar que la cuadratura del círculo es algo imposible, que no se puede «cuadrar» un círculo, que es una construcción que no se puede realizar. Lo tenemos tan oído que hasta como frase ha pasado a formar parte de nuestro lenguaje habitual (la propia RAE recoge dentro de «cuadratura» que la cuadratura del círculo se usa para indicar la imposibilidad de algo).

Y así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que \pi es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, siempre que añadamos la coletilla con regla y compás, que en realidad significa utilizando solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es decir, la cuadratura del círculo es imposible si como únicas herramientas tenemos una regla y un compás y solamente podemos utilizar las normas que se establecieron en la antigua Grecia. Bien, ¿y qué ocurre si no imponemos esa restricción? ¿Qué pasa con esta construcción si abrimos un poco el campo, si no somos tan restrictivos? Pues…

…que la cuadratura del círculo sí es posible. Y no me refiero a aproximaciones más o menos buenas, sino a la construcción exacta. Es decir:

Si eliminamos la restricción de utilizar solamente regla y compás y las normas establecidas en la antigua Grecia, se puede realizar la cuadratura del círculo. Esto es, partiendo de un círculo de área A se puede construir un cuadrado de área A.

Vamos a ver cómo hacerlo.

Partimos de una círculo de radio R (cuya área sera, entonces, \pi R^2)que podamos girar, por ejemplo un rodillo para pintar. Marcamos un punto en él y hacemos girar sobre un papel el rodillo hasta realizar un giro completo. El punto habrá marcado un segmento de longitud 2 \pi R.

Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, \pi R, lo unimos a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, R, y trazamos una semicircunferencia que tenga a ese segmento de longitud \pi R + R como diámetro. Quedaría algo así:

Trazamos ahora desde el punto de unión de los dos segmentos un segmento perpendicular a este diámetro que corte a la semicircunferencia. Se tiene entonces que el triángulo formado por los dos extremos del diámetro y ese punto de corte con la semicircunferencia es un triángulo rectángulo (precisamente en el ángulo que forma en la semicircunferencia en dicho punto de corte):

¿Cuál es la longitud de este segmento? Es sencillo calcularla. Llamemos h a esa longitud. Si nos fijamos en la figura, en realidad no tenemos un triángulo rectángulo, sino tres triángulos rectángulos. Son los que tienen lados con longitudes igual a a,h,\pi R (de hipotenusa a), h, b, R (de hipotenusa b) y a,b,\pi R +R (de hipotenusa \pi R+R)

Utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:

\begin{matrix} a^2=h^2+(\pi R)^2 \\ \\ b^2=h^2+R^2 \\ \\ (\pi R+R)^2=a^2+b^2 \end{matrix}

Sustituyendo los valores de a^2 y b^2 de las dos primeras ecuaciones en la tercera obtenemos lo siguiente:

(\pi R+R)^2=h^2+(\pi R)^2+h^2+R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

Desarrollando el cuadrado de la izquierda llegamos a:

(\pi R)^2+R^2+2 \pi R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

de donde simplificando obtenemos:

2 \pi R^2=2h^2 \Rightarrow h^2=\pi R^2 \Rightarrow h=\sqrt{\pi} R

Hemos conseguido construir un segmento de longitud \sqrt{\pi} R:

Construyendo ahora un cuadrado con todos sus lados iguales a ese segmento tendremos por tanto un cuadrado de área:

A=\sqrt{\pi} R \cdot \sqrt{\pi} R=\pi R^2

Es decir, un cuadrado con la misma área que el círculo inicial. Vamos, que hemos conseguido cuadrar el círculo inicial. Toma ya.

Sería interesante que quien conozca alguna construcción de este tipo, cuadratura del círculo sin las restricciones de la regla y el compás y las normas griegas, nos hable de ella en un comentario. Muchas gracias.

Fuente: Vitaminas matemáticas, de Claudi Alsina.

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