Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7

Los casos especiales han fascinado desde siempre a todos los que de una forma u otra han estado y están relacionados con las matemáticas. ¿Por qué cierta figura se sale de la normalidad cumpliendo alguna propiedad que no cumplen el resto de figuras de naturaleza similar? ¿O por qué tal o cual número es el único que tiene cierta característica que no tienen los demás números de su especie? Hoy hablamos sobre esto último, sobre números, y concretamente sobre una singularidad muy curiosa e interesante del número 7.

De este número 7 ya hemos visto por aquí alguna propiedad interesante, como que es el primer entero positivo (mayor que 2) para el cual no se puede construir con regla y compás “su” polígono regular (aunque existen construcciones “trampa”), y hoy vamos a ver una más. Pero antes de eso tenemos que recordar qué eran las ecuaciones diofánticas.

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias incógnitas y cuyas soluciones son números enteros. Las hay lineales, como

2x+5y=11

para las que tenemos un método para encontrar sus soluciones. También las hay cuadráticas, como la ecuación de Pell, que es del tipo

x^2-dy^2=1

con d un entero que no sea un cuadrado perfecto.

Para éstas no hay un método general de resolución (solamente sabemos resolver algunos casos particulares). Y no podemos aspirar a encontrarlo, ya que Yuri Matiyasévich demostró en 1970 que no existe un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene.

Y también las hay exponenciales, que tienen la particularidad de que alguna de las incógnitas aparece en un exponente. Bien, pues vamos a pararnos en éstas, concretamente en la siguiente:

2^n-7=x^2

Para estas ecuaciones diofánticas exponenciales tampoco hay método general de resolución, simplemente (como en las anteriores) se sabe resolver algunos casos concretos.

Pero centrémonos en la ecuación que acabamos de escribir. Está demostrado que la ecuación

2^n-A=x^2

Srinivasa Ramanujantiene como mucho dos soluciones para todo entero A distinto de cero… excepto para el 7 (hecho que se demostraron por partes Apéry en 1960 y Beukers en 1980, como se comenta en este paper). Fue el gran Srinivasa Ramanujan (quién si no), al que podemos ver en la imagen de la derecha (tomada de aquí), el que conjeturó en 1913 que dicha ecuación diofántica tenía soluciones enteras solamente para n=3,4,5,7 y 15. Dichas soluciones (cada una de ellas es una pareja (n,x)) son las siguientes:

\begin{matrix} 2^3-7=1=1^2 \Rightarrow (n,x)=(3,1) \\ \\ 2^4-7=9=3^2 \Rightarrow (n,x)=(4,3) \\ \\ 2^5-7=25=5^2 \Rightarrow (n,x)=(5,5) \\ \\ 2^7-7=121=11^2 \Rightarrow (n,x)=(7,11) \\ \\ 2^{15}-7=32761=181^2 \Rightarrow (n,x)=(15,181) \end{matrix}

Es decir, que para cualquier valor entero de A distinto de cero tenemos como mucho dos soluciones, excepto para el 7, en cuyo caso tenemos cinco. Curioso, ¿verdad?

Hemos comentado que Ramanujan conjeturó este resultado, pero no lo demostró. Fue el matemático noruego Trygve Nagell quien demostró en 1948 que ésas eran las únicas cinco soluciones de nuestra ecuación diofántica exponencial. Por ello a dicha ecuación diofántica se la denomina ecuación de Ramanujan-Nagell (que, por cierto, tiene página propia en la Wikipedia en inglés). La demostración está publicada en el volumen 4 de Arkiv för Matematik, en 1961. No he podido encontrarla “de libre acceso”, pero por si a alguien le interesa en este enlace puede ver las dos primeras páginas (la demostración completa ocupa tres páginas). Si alguien la encuentra por ahí para poder descargarla o consultarla completa de forma gratuita le agradeceremos que nos lo diga en un comentario. ZetaSelberg, en este comentario, nos muestra un pdf que incluye la demostración: http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dioph/mord1.pdf.

Qué tendrá el número 7 que a tanta gente le gusta (preguntad a vuestros amigos, seguro que un buen número de ellos lo tendrán como número favorito) y que además posee esta propiedad tan curiosa. Y, lo que es más inquietante, ¿por qué Ramanujan estudió este caso particular y no cualquier otro? Sabemos que la intuición matemática del genio matemático indio era colosal, muy superior a la que podamos tener la gran mayoría de nosotros, pero resulta cuando menos intrigante que eligiera exactamente la “ecuación del 7”. Me temo que, por desgracia, nunca conoceremos la verdadera historia del porqué de su elección.


Conocí esta curiosa singularidad del número 7 a través de este post de Evelyn Lamb en Roots of Unity, que supo de su existencia a través de esta conferencia de Manjul Bhargva (uno de los galardonados con la Medalla Fields en este año 2014) en el Heidelberg Laureate Forum.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. “Pero centrémonos en la ecuación que acabamos de escribir. Está demostrado que la ecuación

    2^n-A=x^2

    tiene como mucho dos soluciones para todo entero A distinto de cero… excepto para el 7”

    Si dicho resultado se demostró antes del trabajo de Ramanujan, ya se sabría que el 7 era especial. Al menos eso es lo que se entiende tal y como está escrito lo anterior, ¿no?.

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  2. Cierto maelstrom, es lo que parece tal y como está escrito el post. La cuestión es que la demostración de que para A ne 7 hay como mucho dos soluciones es posterior al estudio de Ramanujan para el caso A=7, y parece que fueron Apéry y Beukers quienes lo demostraron. Echa un ojo a este paper.

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  3. La cuestión que haces de por qué a Ramanujan le gustaba esa ecuación, tiene probablemente conexión con el siguiente hecho (que no sé si conoces):

    La ecuación

    2^n-7=x^2

    puede reparametrizarse de la siguiente forma

    2^{p+3}-7=x^2=(2n-1)^2

    y la lista de soluciones en función del par (p,n) reza de la siguiente forma

    S=\left[(0, 0),(1, 2),(2, 3),(4, 6),(12, 91)\right]

    Además, si la sustitución n=(x+1)/2

    en

    2^{p+3}-7=x^2=(2n-1)^2

    la transforma en

    2^{p}-1=(n-1)n/2

    Es decir, la “ecuación del 7” de Ramanujan está relacionada con el problema siguiente:

    “Encontrar y calcular los valores de forma que un número primo de Mersenne es un número triangular”.

    La solución conocida es que sólo hay 5 soluciones (5 es el otro número del que Ramanujan estaba enamorado, como prueba su amor a la razón áurea y a las fracciones continuas, uno de cuyos exponenentes máximos son las identidades de Rogers-Ramanujan).

    En particular, se observa que:

    2^{p}-1=(n-1)n/2=\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}k}

    Y esta ecuación tiene soluciones

    2^{0}-1=(1-1)1/2=\displaystyle{\sum_{k=1}^{1-1}k=0}

    2^{1}-1=(2-1)2/2=\displaystyle{\sum_{k=1}^{2-1}k=1}

    2^{2}-1=(3-1)3/2=\displaystyle{\sum_{k=1}^{3-1}k=3}

    2^{4}-1=(6-1)6/2=\displaystyle{\sum_{k=1}^{6-1}k=15}

    2^{12}-1=(91-1)91/2=\displaystyle{\sum_{k=1}^{91-1}k=4095}

    Estas relaciones de hecho conectan secretamente las álgebras de Clifford con los grupos ortogonales de la forma siguiente (respectivamente)

    C(0)-> O(0), trivial (y nulidad)
    C(1)-> O(1), trivial
    C(2)-> O(3), no trivial
    C(4)-> O(6), no trivial (algo desconocida entre los físicos y matemáticos)
    C(12)-> O(91), altamente no trivial (MUY desconocida entre los físicos y matemáticos)

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  4. En Library Genesis ( libgen.org para quien no conozca a mis amigos los rusos) pueden encontrar sin mayores problemas el artículo “The Diophantine equation x^2+7=2^n” de Nagell. Ahora, si les molesta o no el gris legal de la gran base de datos que arma esta gente, es otro asunto.

    Aquí, en el tercer mundo (y sobre todo siendo estudiante, con lo cual se dificulta acceder a las revistas a las que están suscriptas los investigadores a través del estado), este tipo de herramientas son cuestiones de todos los días.

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  5. Lo que decís de Yuri Matiyasévich no es necesariamente cierto pues el décimo problema de Hilbert fue resuelto de manera “negativa” en el CASO GENERAL pero eso no quiere decir que para CIERTAS ecuaciones diofánticas como la de Pell no se puedan hallar algoritmos para su resolución, está claro el caso de las ecuaciones diofánticas de primer orden para las cuales si existe tal algoritmo.

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  6. Muchas gracias ZetaSelberg :).

    Riemannium, algo había leído sobre ello, pero te agradezco que lo hayas comentado :).

    Rigobertou, gracias por el aporte, no conocía esa web.

    Cristhofer, precisamente eso quería decir, que no existe un algoritmo para el caso general. Es evidente que para ciertos casos particulares sí existe, de hecho enlazo en el post un artículo mío con el algoritmo de para resolver ecuaciones diofánticas lneales.

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  7. El comentario de Riemannium arroja bastante luz al misterio del 7, sabiendo eso la presencia del 7 ya no parece tan extraña, sino que siemplemente es 2^3-1. Aunque sigue siendo curioso que sea el único con la propiedad, es reconfortante entrever la relación que hay detrás del hecho. +1

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    • no se si notaron esta curiosidad: al multiplicar una solucion por el factor 2^{k} donde k es un numero par sucede que:

      2^{n}-7=x^{2}

      2^{n} 2^{k}-7 (2^{k})=x^{2} 2^{k}

      2^{(n+k)}-7 (2^{k})=(2^{k/2} x)^{2}

      lo cual genera otras 5 soluciones para A = 7 (2^{k})

      comento esto porque se hace mucho enfasis en que solo existen mas de 2 soluciones para A=7, pero aplicando esto es posible encontrar mas numeros con 5 soluciones.

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  8. El número preferido de mi hijo (tiene 2 años y medio) es el 7. Curioso.

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