Vamos con el problema de la semana:
Hallar todas las funciones
que satisfacen la siguiente relación:
![2f^{\prime\prime\prime}(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 \left [ f^{\prime\prime}(x) \right ]^2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=2f%5E%7B%5Cprime%5Cprime%5Cprime%7D%28x%29+%5Ccdot+f%5E%7B%5Cprime%7D%28x%29%3D3+%5Cleft+%5B+f%5E%7B%5Cprime%5Cprime%7D%28x%29+%5Cright+%5D%5E2&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "2f^{\prime\prime\prime}(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 \left [ f^{\prime\prime}(x) \right ]^2")
Suerte.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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f=A/t + B.
(la función constante es directo verlo…)
La respuesta obvia son las funciones constantes:
f(x)=K
Luego a mi me sale una función del tipo
donde A es un número, aunque me temo que quizá no sea más que una solución particular.
vaya, te me has adelantado por unos segundos
A ver, podemos escribir la igualdad como sigue:
.
Integrando, resulta que
y tomando exponenciales resulta que
DISCLAIMER: Hecho sobre la marcha sin pensar demasiado… puede haber errores, pero la idea está ahí.
Vale, creo que Teaius y yo cometimos un error con una constante. La solución de Tito es la correcta, incluye una constante que nos falta (en realidad a,b y c son dos constantes sólo).
Siempre me pareció más elegante la t como parámetro que la x.
Otra manera posible de llegar a la solución es a través de la derivada Schwarziana, la cual se define como
.
y trasponemos términos, llegamos a que dicha ecuación es, de hecho, 
, la cual tiene por soluciones las funciones racionales de grado uno.
Si dividimos la ecuación que nos dan por
Una referencia excelente para entender mejor la derivada Scharziana es el texto de P.L. Duren sobre funciones univalentes (Springer, 1983).
muy buena, Tanhäuser! La derivada schwarziana era el motivo del problema:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative
http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation
La solución de Tito Eliatron se puede dejar en la forma general
, 
constantes.
hmmm transformaciones bilineales…
Si al final reszulta que no estaba tan empanao.
Hola a todos, tengo una duda y estaría muy agradecido si alguien me la aclarase. Se trata sobre equipotencias.
» Sean X, Y y Z conjuntos disjuntos 2 a 2, de modo que
X U Y es equipotente a X U Z, ¿ Esto implica que Y sea equipotente con Z?.»
Gracias de Antemano… 🙂