Serie diabólica

El problema de la semana me lo ha enviado Nicolás Milano por mail. Es el siguiente:

Sea S la suma de todos los números naturales formados únicamente por la cifra 6, desde el 6 hasta el que tiene 2007 repeticiones de dicha cifra, es decir:

S=6+66+666+6666+66666+ \ldots +66 \dots 66

Determinar justificadamente cuáles son los dígitos de S.

Ánimo y a por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comments

  1. Buenos días:

    Las matemáticas nunca han sido mi fuerte, y es probable que lo que escriba les parezca tan trivial como que dos y dos son cuatro, pero cada uno llega hasta donde buenamente puede!, que en mi caso es:

    S=6\cdot\sum_{n=0}^{2006} (2007-n)10^n

    lo que ocurre es que no sé como hallar la suma de esa serie… así que de momento hasta aquí

    Un cordial saludo

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  2. A ver, no domino demasiado pero creo que la suma esta es de la forma:

    f(n) = 10^n + f(n-1).

    Eso es lo que creo, a partir de ahí ya no sé como demostrar que la suma de esta recursión (S) va cierto valor.

    Sumatorio de f(n) desde 0 a 2006. Como calcularía ese sumatorio?

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  3. Perdón!!! Y todo el sumatorio anterior multiplicado por 6!

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  4. El valor de la suma viene dado por
    S=\sum_{n=1}^{2007}6\cdot\frac{10^n-1}{9}=\frac{6}{9}\left(\sum_{n=1}^{2007}10^n-2007\right)=\frac{6}{9}\left(\frac{10^{2008}-1}{9}-2008\right)
    donde se ha usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Simplificando lo anterior, tenemos que
    S=\frac{2}{27}(10^{2008}-18073)=\frac{2}{27}(10^{2008}-10)-1338=740\cdot\frac{1000^{669}-1}{999}-1338
    luego usando otra vez la fórmula de la suma de una progresión geométrica pero en sentido inverso, obtenemos
    S=-1338+740\sum_{n=0}^{668}1000^n
    De aquí es inmediato que las primeras 2001 cifras de S son 667 bloques de tres cifras “740” y las seis últimas cifras de S son “739402” (un total de 2007 cifras).

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  5. Buffff, demasiado complicado para mí. Si casi no se ni expresar el sumatorio…. demasiado complicado para mí.

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  6. Me sale esto:

    S=6+66+666+6666+66666+ \ldots +66 \dots 66 =
    =6 \cdot (1+11+111+1111+1111+ \ldots +11 \dots 11) =
    =6 \cdot \sum_{n=1}^{2007} (\frac{10^n}{9}-\frac{1}{9})= \frac{2}{3} \cdot \sum_{n=1}^{2007}{10^n} - \frac{2}{3} \cdot 2007 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{10^{2008}}{9} - \frac{1}{9}) - 1338 =
    = \frac{2 \cdot 10^{2008}}{27} - 1338 - \frac{2}{27}

    No he explicado detenidamente los pasos que he seguido, porque muchos me han parecido suficientemente claros (en caso de que no lo sean, gustosamente los explicaré con más detalle). Sabemos que \frac{2}{27} = 0,0740740 \dots , y el número buscado empieza por una secuencia así de sietes, cuatros y ceros. \frac{2 \cdot 10^{2008}}{27} tiene por últimas cifras antes de la coma decimal 74074074 (por congruencias con el periodo de la fracción, que es de tres cifras). Al final, tenemos:

    S=740 \dots 74074074,074 \dots - 1338,074 \dots = 740 \dots 74072736, un número “mu” grande.

    El número sale entero, por lo que cumple una especie de “regla del 9”, en este caso más bien “del 27”. Ahora sólo falta ver si efectivamente es el resultado correcto o no.

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  7. sabbut no lo acabo de ver. El primer termino de tu sumatorio es 11 y tendría que ser 1 no?

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  8. Yo tengo esto,

    f(n= = 10^n + f(n-1).

    Como puedo resolver ésto¿? Como sé el término general?

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  9. Perdón por el último post pero no se ha escrito bien.

    f(n)=10^n+f(n-1)

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  10. Después de pensar un poco….
    Me quedo con ésto:

    6 x (Sumatorio(x=0 a 2007) de Sumatorio(i=0 a x) de 10^n)

    No sé latex!!!

    Una vez tengo esto lo suyo seria resolverlo un poco para llegar a la conclusión del resultado.

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  11. Opino que el número de Manzano es correcto. Sabbut, creo que tienes un error, cuando resuelves el sumatorio que corresponde a la progresión geométrica sería \displaystyle{\frac{r\cdot a_n - a_1}{r-1}} con lo que a ese sumatorio le toca \displaystyle{ \frac{10^{2008} - 10}{9}}. En resumen, que falta un cero si no me equivoco vamos jeje.

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  12. A ver, después de pensar un poco y mirar las progresiones he conseguido simplificar el resultado un poco. Total que me queda:

    S = (2/3)*(Sumatorio[x=0, 2007]((10^(n+1)-10)/9))

    Una vez aquí me he quedado un poco liado.

    Alguien sabe si voy por buen camino?

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  13. Bueno, perdón, en mi último esultado puedo sacar el 1/9 fuera del sumatorio, de forma que simplifica un poco. Total, queda así:

    S = (2/27)*(Sumatorio[x=0, 2007](10^(n+1)-10))

    A partir de aquí… ya me cuesta.

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  14. Al final he llegado!!!

    S = (2*10^n+1)/27 – 2/27 – 1338

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  15. Perdón!!!!

    S = (2*10^2008)/27 – 2/27 – 1338

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  16. Siento daros tanto la lata. A partir del último resultado ya me he quedado pillado, no se como sacar las cifras.
    Necesito un poco de ayuda, no soy matemático y me cuesta un poco todo ésto.

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  17. Me he quedado fascinado con esta suma y pues propongo mejor hacerla un pokitin mas corta, hasta las 666 repeticiones de 6.

    S=\sum_{n=1}^{666} 6\centerdot\frac {\quad 10^n-1}{9}={6 \over 9}\bigg ( \sum_{n=1}^{666}\quad 10^n-1\bigg )={6 \over 9}\Bigg [\bigg(\sum_{n=1}^{666}\quad 10^n\bigg )-666\Bigg ]={6 \over 9}\Bigg [\bigg(\frac {\quad 10^{n+1}-10}{9}\bigg )-666\Bigg ]={2 \over 3}\Bigg [\bigg(\frac {\quad 10^{n+1}-10}{9}\bigg )-666\Bigg ]={2 \over 3}\bigg(\frac {\quad 10^{667}-10}{9}\bigg )-\bigg({2 \over 3}\bigg )\bigg(666\bigg )=\frac {2(\quad10^{667})-20}{27}-444={2 \over 27}\big (\quad 10^{667}\big )-\frac {12008}{27}

    Por tanto, queda calcular las últimas cifras que será la diferencia resultado de
    2000…000-12008=1999…99987992
    que es un uno seguido de 665 dígitos de los cuales 660 son 9’s consecutivos

    asi, dividimos entre 27

    S=740740740…740740296

    Una cifra de 663 dígitos que se conforman con 220 grupos de la sucesion “740” y uno final de “296”

    Correcto?

    Corríjanme si me equivoco

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  18. Alguien se atreve a factorizar la cifra anterior?

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  19. Mi razonamiento es el siguiente:

    Me he fijado en qué pasa si sumamos los números al revés, empezando por el que tiene 2007 cifras, luego el que tiene 2006 y así sucesivamente.

    A ver qué pasa si sumamos los 4 primeros números:

    6666………..6
    +666………..6
    ________________
    7333……….32
    + 66……….66
    ________________
    7399……….98
    + 6……….66
    ________________
    7406……….64

    Se observa que se sigue una pauta. Si seguimos sumando los siguientes números de tres en tres iran apareciendo cadenas 740 a la izquierda (740740….) por cada tres números que sumemos.

    Así si sumamos de este modo los 2002 primeros números aparecerán a la izquierda las cifras 740 repetidas 667 veces (667=2001/3).

    Para estar seguros de hasta cuando se repetirá este patrón hay que mirar las cifras por la derecha.

    **************************************************************************

    ¿Qué ocurre con las cifras a la derecha?
    Vemos que la primera cifra sigue la secuencia 6, 2, 8, 4, 0, 6…. que se repite cuando sumamos 5 o un múltiplo de 5 números. La segunda cifra por la derecha seguirá la secuencia 6, 3, 9 durante las 6 primeras sumas y luego cambiará.

    Si consideramos las dos primeras cifras, seguirán una secuencia de 50 números antes de repetirse, y la tercera cifra por la derecha seguirá la secuencia 6, 3, 9 durante las 51 primeras sumas y luego cambiará.

    Siguiendo el mismo razonamiento, si consideramos 4 cifras por la derecha, seguirán un ciclo de 5000 cifras y la quinta cifra seguirá la secuencia 6, 3, 9 durante 5001 sumas.

    Esto nos asegura que a partir de la quinta cifra significativa hacia la izquierda no se alterará el patrón descrito y se formará la secuencia de 667 grupos 740 que he comentado al principio.

    **************************************************************************

    Según este razonamiento la suma de los 2002 primeros números queda:

    740…….740yyxxxx

    Falta averiguar el valor de las 6 últimas cifras. Las dos primeras según lo dicho más arriba son dos números 6

    740…….74066xxxx

    Las cuatro últimas se encuentran fácilmente multiplicando 666666·2002 y tomando las 4 primeras cifras que son 5332

    El resultado tras 2002 números sumados queda así:
    740…….740665332

    **************************************************************************

    A este número le sumamos 66666, 6666, 666, 66 y 6 que son los números que quedan por sumar, y finalmente el resultado de 2007 cifras queda:

    740740…..740739402

    Como Manzano dijo al principio.

    Espero que se entienda el razonamiento.
    Saludos.

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  20. ammm, prdon por lo anterior, son 666 cifras, no 663 como dije anteriormente jaja

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  21. bueno primero la serie es factorizable 6=2*3
    s=6+66+666+…6…6
    s=2*3(1+11+111+…1…1)
    interesantemente los términos son la suma de las potencias de diez usando la formula de las series geométricas
    an=(10^(n+1) -1 )/9
    por lo que:
    sigma de 0 a 2006 (10^(n+1) -1 )/9 //Usare Si como sigma con los //Limites
    //Uso propiedades de las sumatorias
    (1/9) Si 10^(n+1) -1
    //Separo el -1 con otra propiedad de sumatorias
    (1/9) Si 10^(n+1) -2007
    // La suma de la serie es (10^(n+2) -1)/9
    //Dando como resultado
    s=2*3((10^2008 -1)/9 -2007)
    //la próxima vez lo pondré en latex

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  22. //Lamento el doble post
    //El resultado es
    S=2/3(10^2008-1/9 -2007)

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  23. //De nuevo disculpas en (10^(n+2) -1)/9 estoy ignorando el primer //termino de cual tengo que restar -1 dando de resultado
    S=2/3(10^2008-1/9 -2008)

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  24. Hola el número de las cifras de S es 2007 como la del último término!; pero no se la justificación formal solo lo hice empíricamente!
    Saludos!

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  25. Mas o menos quedaría como primer término el 7 de la cifra más grande! Luego la segunda cifra ciene a ser el 4 luego el cero es decir 740…. Con 2007 cifras!! Está bastante dificil escribirlas todas!!!

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  26. 740740…740732 con 2007 dígitos creo jejeje…

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