El problema de la semana me lo ha enviado Nicolás Milano por mail. Es el siguiente:
Sea
la suma de todos los números naturales formados únicamente por la cifra 6, desde el 6 hasta el que tiene 2007 repeticiones de dicha cifra, es decir:
Determinar justificadamente cuáles son los dígitos de
Ánimo y a por él.
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Buenos días:
Las matemáticas nunca han sido mi fuerte, y es probable que lo que escriba les parezca tan trivial como que dos y dos son cuatro, pero cada uno llega hasta donde buenamente puede!, que en mi caso es:
lo que ocurre es que no sé como hallar la suma de esa serie… así que de momento hasta aquí
Un cordial saludo
A ver, no domino demasiado pero creo que la suma esta es de la forma:
f(n) = 10^n + f(n-1).
Eso es lo que creo, a partir de ahí ya no sé como demostrar que la suma de esta recursión (S) va cierto valor.
Sumatorio de f(n) desde 0 a 2006. Como calcularía ese sumatorio?
Perdón!!! Y todo el sumatorio anterior multiplicado por 6!
El valor de la suma viene dado por
son 667 bloques de tres cifras «740» y las seis últimas cifras de 
son «739402» (un total de 2007 cifras).
donde se ha usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Simplificando lo anterior, tenemos que
luego usando otra vez la fórmula de la suma de una progresión geométrica pero en sentido inverso, obtenemos
De aquí es inmediato que las primeras 2001 cifras de
Buffff, demasiado complicado para mí. Si casi no se ni expresar el sumatorio…. demasiado complicado para mí.
Me sale esto: No he explicado detenidamente los pasos que he seguido, porque muchos me han parecido suficientemente claros (en caso de que no lo sean, gustosamente los explicaré con más detalle). Sabemos que , y el número buscado empieza por una secuencia así de sietes, cuatros y ceros. tiene por últimas cifras antes de la coma decimal (por congruencias con el periodo de la fracción, que es de tres cifras). Al final, tenemos: , un número «mu» grande. El número sale entero, por lo que cumple una especie de «regla del 9», en este caso más bien «del 27».… Lee más »
sabbut no lo acabo de ver. El primer termino de tu sumatorio es 11 y tendría que ser 1 no?
Yo tengo esto,
f(n= = 10^n + f(n-1).
Como puedo resolver ésto¿? Como sé el término general?
Perdón por el último post pero no se ha escrito bien.
f(n)=10^n+f(n-1)
Después de pensar un poco….
Me quedo con ésto:
6 x (Sumatorio(x=0 a 2007) de Sumatorio(i=0 a x) de 10^n)
No sé latex!!!
Una vez tengo esto lo suyo seria resolverlo un poco para llegar a la conclusión del resultado.
Opino que el número de Manzano es correcto. Sabbut, creo que tienes un error, cuando resuelves el sumatorio que corresponde a la progresión geométrica sería
con lo que a ese sumatorio le toca 
. En resumen, que falta un cero si no me equivoco vamos jeje.
A ver, después de pensar un poco y mirar las progresiones he conseguido simplificar el resultado un poco. Total que me queda:
S = (2/3)*(Sumatorio[x=0, 2007]((10^(n+1)-10)/9))
Una vez aquí me he quedado un poco liado.
Alguien sabe si voy por buen camino?
Bueno, perdón, en mi último esultado puedo sacar el 1/9 fuera del sumatorio, de forma que simplifica un poco. Total, queda así:
S = (2/27)*(Sumatorio[x=0, 2007](10^(n+1)-10))
A partir de aquí… ya me cuesta.
Al final he llegado!!!
S = (2*10^n+1)/27 – 2/27 – 1338
Perdón!!!!
S = (2*10^2008)/27 – 2/27 – 1338
[…] 21/07/2009 de javcasta Via: Gaussianos. […]
Siento daros tanto la lata. A partir del último resultado ya me he quedado pillado, no se como sacar las cifras.
Necesito un poco de ayuda, no soy matemático y me cuesta un poco todo ésto.
Me he quedado fascinado con esta suma y pues propongo mejor hacerla un pokitin mas corta, hasta las 666 repeticiones de 6.
Por tanto, queda calcular las últimas cifras que será la diferencia resultado de
2000…000-12008=1999…99987992
que es un uno seguido de 665 dígitos de los cuales 660 son 9’s consecutivos
asi, dividimos entre 27
S=740740740…740740296
Una cifra de 663 dígitos que se conforman con 220 grupos de la sucesion «740» y uno final de «296»
Correcto?
Corríjanme si me equivoco
Alguien se atreve a factorizar la cifra anterior?
Mi razonamiento es el siguiente: Me he fijado en qué pasa si sumamos los números al revés, empezando por el que tiene 2007 cifras, luego el que tiene 2006 y así sucesivamente. A ver qué pasa si sumamos los 4 primeros números: 6666………..6 +666………..6 ________________ 7333……….32 + 66……….66 ________________ 7399……….98 + 6……….66 ________________ 7406……….64 Se observa que se sigue una pauta. Si seguimos sumando los siguientes números de tres en tres iran apareciendo cadenas 740 a la izquierda (740740….) por cada tres números que sumemos. Así si sumamos de este modo los 2002 primeros números aparecerán a la izquierda las… Lee más »
ammm, prdon por lo anterior, son 666 cifras, no 663 como dije anteriormente jaja
bueno primero la serie es factorizable 6=2*3
s=6+66+666+…6…6
s=2*3(1+11+111+…1…1)
interesantemente los términos son la suma de las potencias de diez usando la formula de las series geométricas
an=(10^(n+1) -1 )/9
por lo que:
sigma de 0 a 2006 (10^(n+1) -1 )/9 //Usare Si como sigma con los //Limites
//Uso propiedades de las sumatorias
(1/9) Si 10^(n+1) -1
//Separo el -1 con otra propiedad de sumatorias
(1/9) Si 10^(n+1) -2007
// La suma de la serie es (10^(n+2) -1)/9
//Dando como resultado
s=2*3((10^2008 -1)/9 -2007)
//la próxima vez lo pondré en latex
//Lamento el doble post
//El resultado es
S=2/3(10^2008-1/9 -2007)
//De nuevo disculpas en (10^(n+2) -1)/9 estoy ignorando el primer //termino de cual tengo que restar -1 dando de resultado
S=2/3(10^2008-1/9 -2008)
Hola el número de las cifras de S es 2007 como la del último término!; pero no se la justificación formal solo lo hice empíricamente!
Saludos!
Mas o menos quedaría como primer término el 7 de la cifra más grande! Luego la segunda cifra ciene a ser el 4 luego el cero es decir 740…. Con 2007 cifras!! Está bastante dificil escribirlas todas!!!
740740…740732 con 2007 dígitos creo jejeje…