Como el post principal de esta semana va sobre empaquetamiento de cuadrados en un cuadrado, el problema de la semana va a ir en una línea parecida.
Ahí va:
Demostrar que los cuadrados con lados
se pueden colocar dentro de un cuadrado de lado
de manera que no haya dos de ellos con algún punto interior en común (vamos, que como mucho se toquen en puntos de sus bordes).
A por él.
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Creo que basta mostrar que: 1+(1/4)+(1/9)+(1/16)+….<=9/4
Pero 1+1/4+1/9+1/16+…=π^2/6
Y π^2/6<=9/4;
Inclusive, sobra espacio para meter alguno más.
🙂
Creo que no basta. La que planteas es una condición necesaria, eso está claro. Se necesitara más.
Tampoco me parece suficiente. Bajo ese argumento, podríamos meter dos cuadrados de lado 1 (área total = 2) en uno de lado 3/2 (área total = 9/4).
Saludos
Claramente no es suficiente pues podríamos aplicarlo también a un cuadrado de área 2, mayor que la suma de todos, pero que no puede albergar siquiera a los dos primeros.
P.S.: muy buenas las aportaciones de rtomas y Mmonchi.
Pues el 1 en una esquina. El 1/2 y 1/3 a un mismo lado del 1.
Y ya caben todos en el lado libre de 1 apilando filas asi:
1/4 1/5 … 1/7
1/8 1/9 …. 1/15
1/16 1/17 … 1/31
…
Sabemos que caben infinitas filas porque 1/4+1/8+1/16+… = 1/2 que es justo el hueco que hay al colocar el primer cuadrado.
Gráficamente:
Con lo poco que aun conozco de mates,creo que si se puede demostrar que la suma de las áreas de los cuadrados 1 . 1/2 , 1/3 , … tienden a 9/4 ( el area del cuadrado a rellenar) el problema termina.
A mi tampoco me parece posible insertarlos dentro de uno por sus superficies, siempre me falta espacio por algún lado :/
A mi tampoco me parece posible insertarlos dentro de uno por sus superficies, siempre me falta espacio por algún lado :/