Un problema sobre colocación de cuadrados en un cuadrado

Como el post principal de esta semana va sobre empaquetamiento de cuadrados en un cuadrado, el problema de la semana va a ir en una línea parecida.

Ahí va:

Demostrar que los cuadrados con lados 1, 1/2, 1/3, \ldots se pueden colocar dentro de un cuadrado de lado 3/2 de manera que no haya dos de ellos con algún punto interior en común (vamos, que como mucho se toquen en puntos de sus bordes).

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comments

  1. Creo que basta mostrar que: 1+(1/4)+(1/9)+(1/16)+….<=9/4
    Pero 1+1/4+1/9+1/16+…=π^2/6
    Y π^2/6<=9/4;
    Inclusive, sobra espacio para meter alguno más.
    🙂

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    • Creo que no basta. La que planteas es una condición necesaria, eso está claro. Se necesitara más.

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  2. Tampoco me parece suficiente. Bajo ese argumento, podríamos meter dos cuadrados de lado 1 (área total = 2) en uno de lado 3/2 (área total = 9/4).

    Saludos

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    • Claramente no es suficiente pues podríamos aplicarlo también a un cuadrado de área 2, mayor que la suma de todos, pero que no puede albergar siquiera a los dos primeros.

      P.S.: muy buenas las aportaciones de rtomas y Mmonchi.

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  3. Pues el 1 en una esquina. El 1/2 y 1/3 a un mismo lado del 1.
    Y ya caben todos en el lado libre de 1 apilando filas asi:
    1/4 1/5 … 1/7
    1/8 1/9 …. 1/15
    1/16 1/17 … 1/31

    Sabemos que caben infinitas filas porque 1/4+1/8+1/16+… = 1/2 que es justo el hueco que hay al colocar el primer cuadrado.

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  4. Con lo poco que aun conozco de mates,creo que si se puede demostrar que la suma de las áreas de los cuadrados 1 . 1/2 , 1/3 , … tienden a 9/4 ( el area del cuadrado a rellenar) el problema termina.

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  5. A mi tampoco me parece posible insertarlos dentro de uno por sus superficies, siempre me falta espacio por algún lado :/

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  6. A mi tampoco me parece posible insertarlos dentro de uno por sus superficies, siempre me falta espacio por algún lado :/

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