Situación de las raíces de la derivada, o «el teorema más maravilloso de las matemáticas»

Decir que un teorema es «el teorema más maravilloso de las matemáticas» es mucho decir teniendo en cuenta la gran cantidad de maravillas en forma de resultado matemático que podemos encontrar a lo largo y ancho del conocimiento de esta ciencia. Pero lo que no se le podrá negar al teorema que os presento en este post es que reúne una gran cantidad de detalles (enunciado simple, conclusión realmente sorprendente e inesperada y demostración relativamente elemental) de esos que convierten un resultado matemático en un teorema maravilloso.

Como puede leerse en el título, la cuestión trata sobre situar las raíces de una derivada. Bien, vamos a especificar un pelín más. Concretamente de la derivada de un polinomio de grado 3. ¿De un polinomio de grado 3 habitual, de esos con coeficientes reales? No solamente de esos, sino de, en general, cualquier polinomio con coeficientes números complejos, y cuya variable también es compleja.

Sabemos que estos polinomios, como todos los polinomios con variable y coeficientes complejos, cumplen que todas sus raíces (raíz de un polinomio: solución de la ecuación polinómica que nos queda al igual a cero dicho polinomio) son números complejos. Por tanto, nuestro polinomio de grado 3 tiene sus tres raíces dentro de los números complejos.

Supongamos que esas tres raíces no están alineadas (única condición que le vamos a poner al polinomio, que sus tres raíces no estén en la misma recta). Entonces con ellas podemos construir un triángulo, uniéndolas dos a dos con segmentos. Calculemos ahora la derivada del polinomio, que será un polinomio de grado 2. ¿Dónde estarán situadas las raíces de esta derivada? ¿Dentro de dicho triángulo? ¿Fuera de él? ¿Una dentro y otra fuera? ¿O tal vez sobre los propios segmentos que forman los lados del polinomio? Y estén donde estén, ¿podemos decir algo sobre su situación en relación con el triángulo o su situación es azarosa?

Bien, pues como muchos de vosotros podréis imaginar la situación de estas raíces de la derivada no es ni muchísimo menos azarosa, de hecho está muy relacionada con el propio triángulo cuyos vértices son las raíces del polinomio inicial. Veamos el enunciado del teorema que relaciona todo esto y después os sigo contando cosas.

Teorema de Marden:

Dado un polinomio de grado 3 con variable y coeficientes complejos, supongamos que sus raíces no están alineadas. Si consideramos el triángulo T cuyos vértices son dichas raíces, entonces las raíces de , la derivada del polinomio, son los focos de la única elipse inscrita en T que es tangente a los tres lados de T exactamente en sus puntos medios.

Es decir, si tomamos los puntos medios de T existe una única elipse inscrita en T que es tangente a esos tres puntos, ¡¡y además los focos de dicha elipse son las raíces de la derivada del polinomio!! Para quedarse con la boca abierta…

Como hemos comentado antes, este teorema puede demostrarse utilizando técnicas y conocimientos relativamente elementales. Pero antes hablemos un poco sobre la historia de este resultado.

¿Por qué teorema de Marden? Pues porque en 2009 el matemático Dan Kalman escribió un interesante artículo (que fue premiado con el Lester R. Ford Award, premio que entrega la Mathematical Association of America) sobre este resultado, dando una demostración completa del mismo, y comentando que él había sabido de su existencia después de leer el libro Geometry of Polynomials, de Morris Marden y publicado en 1966. En realidad parece que fue Jörg Siebeck quien publicó inicialmente este resultado en 1864, o al menos es a él a quien el propio Marden se lo atribuye.

El caso es que la demostración que dio Marden de este teorema estaba incompleta. Demostró gran parte del mismo, pero se dejó un detalle: no demostró la unicidad de la elipse. Kalman comenta también que el propio Marden cita nueve trabajos más en los que se habla de este resultado, destacando uno publicado por Maxime Bôcher en 1892 con una demostración que, en cierto modo, también estaba incompleta.

Bien, pues lo que hizo Kalman en su artículo premiado, An Elementary Proof of Marden’s Theorem, es desarrollar una demostración de este teorema de Marden uniendo las ideas de las demostraciones de Bôcher y del propio Marden. Aunque podéis verla completa en su artículo, a continuación comento algunas cosas sobre ella.

Las claves de la demostración que nos propone Kalman son tres lemas previos a la propia demostración del teorema, cuyas demostraciones vamos a obviar en este post (os remito al artículo de Kalman si estáis interesados en verlas). El primero de ellos es quizás el más engorroso de explicar aquí, por lo que no lo vamos a citar aquí (tranquilos, no hay que aplicarlo directamente en la demostración del teorema).

El lema 2 dice lo siguiente

Lema 2:

Sea un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Si Q es el punto medio de uno de los lados de T, entonces existe una única elipse, cuyos focos son las raíces de , que pasa por Q, y de hecho esa elipse es tangente a ese lado de T en el propio punto Q.

Bueno, vamos bien. De hecho podría parecer que esto es el propio teorema de Marden, pero faltan cosas. Por ejemplo, ¿quién me asegura que esa elipse sea tangente también a los otros dos lados? Pues el lema 3:

Lema 3:

Sea un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Consideramos la elipse con los focos en las raíces de y que es tangente a un lado de T en su punto medio. Entonces esa elipse es tangente a los otros dos lados de T.

Ya está, ¿verdad? Con esto concluiríamos la demostración del teorema…Pues no, nos falta algo, concretamente demostrar que esa elipse es tangente a los otros dos lados exactamente en sus puntos medios. Vamos a concluir:

Demostración del teorema de Marden:

Tenemos nuestro polinomios y sus raíces formando T, como antes. Con las raíces de como focos dibujamos la elipse E que pasa por el punto medio de uno de los lados de T. El Lema 2 nos dice que E es tangente a ese lado del triángulo en su punto medio, y el Lema 3 dice que entonces E también es tangente a los otros dos lados. Lo que queremos es demostrar que exactamente es tangente a esos dos lados en sus puntos medios.

Si no fuera así, repetimos la construcción sobre otro de los lados del triángulo T, obteniendo así la elipse E’. Tenemos entonces dos elipses, E y E’, que tienen los mismos focos y que son tangentes a las mismas rectas (a las que contienen a los tres lados de T), por lo que E y E’ deben ser, efectivamente, la misma elipse. Pero eso significa que esta elipse es tangente a dos de los lados del triángulo en sus puntos medios. Para ver que también lo es en el punto medio del lado que falta, construimos la elipse que tiene los mismos focos que la anterior y que es tangente al otro lado en su punto medio. Al repetir el proceso anterior vemos que esta elipse debe ser de hecho la propia E. Por tanto, esta elipse es tangente a los tres lados en sus puntos medios, terminando así la demostración.

Para terminar, comentar que esta elipse se conoce con el nombre de inelipse de Steiner, y que las sorpresas no se quedan en la primera derivada. Si calculamos la segunda derivada, la única raíz de la misma está situada exactamente en el punto medio del segmento que une las dos raíces de , siendo esta raíz por tanto el baricentro del propio triángulo. Impresionante.

Ah, y como no podía ser de otra manera este resultado se presta a ciertas generalizaciones: una de ellas tomando polinomios de mayor grado pero que sigan conservando exactamente tres raíces distintas y no colineales y otra con polígonos de un número mayor de lados. En la entrada de la Wikipedia inglesa dedicada al teorema de Marden podéis encontrar algo más de información al respecto.

Otro de esos resultados sorprendentes, inesperados, en los que parece que, milagrosamente, todo cuadra a la perfección. Otro de esos resultados por los que dedicarle algo de tiempo a las Matemáticas merece muy mucho la pena.