Estamos peor de lo que pensaba

Ayer día 3 de diciembre en la web de la BBC se publicaba en español el artículo ¿El cero es un número par o impar? (gracias Mamen por pasarme el enlace). Aunque la pregunta es para hacérselo mirar, creo que es interesante detenerse a comentar la historia que ha llevado a este medio a publicar el artículo.

El paso de “Sandy” por Nueva York provocó, entre otras cosas, escasez de combustible, y por ello el alcalde de esta ciudad, Michael Bloomberg, se planteó racionarlo en función de la matrícula de cada vehículo. Así, se asignó a los vehículos con matrículas terminadas en número impar o en una letra (u otro carácter) los días impares para repostar, y a los que tenían matrículas terminadas en número par o en cero los días pares…

en número par o en cero. ¿Y qué es el cero para que tenga que citarse de forma específica en esa frase? Vamos, yo creía que estaba bastante claro que el cero es un número par, pero veo que no.


Por cierto, tenéis todos claro que el cero es un número par, ¿verdad? Por si acaso lo aclaramos con: un número par es un número real que cumple que puede escribirse de la forma 2k, con k un número entero. En este caso, 0=2 \cdot 0. O, lo que es lo mismo, un número que cumple que al dividirlo entre 2 da resto cero.


Y lo más grave no es que la BBC publique el artículo, ni siquiera que Bloomberg tenga que decir número par o cero. Lo más grave es que parece ser que tanto este artículo como esa especificación son necesarias para que la gente se aclare. Y no lo comprendo, la verdad, ya que hay muchas más formas de convencerse de que el cero es un número par. Por ejemplo:

  • En el conjunto de los enteros, el cero tiene a ambos lados números impares, como le ocurre a todos los pares.
  • En el conjunto de los enteros, nos encontramos número pares cada dos elementos hacia adelante y hacia atrás comenzando desde un número par. Así, si comenzamos desde el 6 entonces 8 es par, 10 es par, 12, es par…y 4 es par, y 2 también, y cero es par, y -2, etc.

Bien, dicho esto hasta estaría dispuesto a aceptar que alguien preguntado por este tema respondiera que no sabe si el cero tiene un tratamiento especial, que no es ni par ni impar, vamos. Pero bajo ningún concepto comprendería que alguien dijera que es un número impar, no puedo entender que haya gente que pueda pensar eso…pero la hay. Según el artículo, en 1977 hubo restricciones de circulación en París por cuestiones de contaminación, permitiendo circular a los conductores con matrículas pares o impares en días alternos. Y la cosa fue que la policía no sabía cuándo tenía que parar a los coches con matrícula terminada en cero. Según el artículo la solución fue dejar circular siempre a esos coches por no saber si el cero era par o impar. Para qué informarse, ¿verdad? Madre mía…

Si hasta en estos temas tan básicos y simples tenemos estas dudas es que estamos peor de lo que pensaba…


Podríamos hacer esta pregunta a gente cercana a nosotros (que no tengan conocimientos mínimamente avanzados de matemáticas, claro) y preguntarles si el cero es par, impar o ninguna de las dos cosas, para ver qué nos encontramos. Me temo que, por desgracia, nos llevaríamos una desagradable sorpresa. Si alguien hace esta prueba que deje un comentario y nos cuente la experiencia.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

58 Comentarios

  1. Doy clase en primer curso de ingeniería desde hace ya unos cuantos añitos y la mayor parte de los alumnos tienen el mismo problema: no saben si el cero es par o no. Al principio me parecía increíble, pero ahora ya lo he asumido y el primer día de clase les anuncio “Ah, y en esta asignatura el cero es un número par”. Algunos pillan el chiste, pero la mayor parte ni saben de qué les estoy hablando.

    Triste pero cierto.

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  2. Yo recuerdo que cuando era pequeño, una vez pregunté si el cero era par o impar. Me dijeron que no era ninguno de los dos, pero yo defendía que tenía que ser par, ya que estaba entre dos impares. Tristemente, hay un desconocimiento en temas tan básicos como el que declara este artículo.

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  3. Y no hablemos de la injusticia de repartir las letras y símbolos especiales en uno de los dos grupos (supongo que la cantidad de matrículas terminadas en par e impar es aproximadamente igual).

    Por si alguien duda, para mi el 0 no es natural, pero en los enteros es par.

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  4. 0=2*0, luego 0 es par, listo, existe un entero x, tal que 0=2x, dicho entero es nuevamente 0, 0 es entero, cual es el rollo?!

    Voy a leer la entrada a ver… me da curiosidad…

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  5. Yo no voy a hacer la prueba amigo Diamond, porque sé que encontraré mis desagradables sorpresas, y de paso gente que me diga, deja tus matemáticas, siempre andas con eso, quién usa el cero, ese es un número extraño, habrá quien me diga, quizá del área de humanidades, probablemente, que los chinos no lo usaban por un tiempo y se defendían sin él, que luego fue descubierto en la India, etc. Algunos quizá elucubrarán cosas raras como que por qué el 1 no es primo (por cierto se le consideraba así en 1742, según la carta de Goldbach), pero el uno no es divisible sólo entre dos números distintos como los primos (luego de 1742): él(distinto de 1) y 1; sino que sólo es divisible entre 1, y bueno, considerarlo primo traería inconsistencias. Ahora bien, por qué cité lo de primo 1, que no lo es? Porque un anormal que me dio clases de Teoría Combinatoria (y me disculpo por usar la palabra, pero no encuentro otra), nos dijo en clase (materia de carrera de Ing. en Computación): “Los matemáticos dicen que el cero es para, jejeje, bueno eso es por convención claro, ustedes saben que los matemáticos son locos jejje, ni que el 0 se pudiera agrupar de dos en dos jiji” creo amigo Diamond, que algo similar pensarían los policías y los de la BBC, y aquellos a quienes no les queremos preguntar, porque simplemente no consideran las agrupaciones vacías (siendo esta la forma intuitiva de dividir entre dos), acaso no está claro que si no hay nada que repartir(0), a cada uno le toca nada, y si son dos, nada para uno (0), nada para el otro(0).

    Otra reflexión amigo Diamond, una profesora muy buena que tuve, Lic. en Matemáticas, me dio clase de Teoría de Conjuntos, y ella tenía que decir, supongo que para evitar recibir desagradables comentarios: “un conjunto es, de forma intuitiva: o bien el conjunto vacío, o bien una colección de elementos”.

    Bueno, eso en la Teoría Ingenua de Conjuntos…

    Ha podido haber dicho que la cardinalidad de un conjunto es n y que n recorre {0,1,2,…} y ya! pero creo que presumió algo…

    Acaso la gente nunca imagina que puede tener gavetas vacías, gavetas con un elementos, con dos, con tres, etc.

    Ah, para finalizar, el individuo que nos dictó clases de Teoría Combinatoria nos dijo: “es que ustedes saben, los matemáticos tienen un área, Teoría de Números, y hasta se guindan de los pelos con esos problemas, jejeje, no es raro que digan que el cero es par”. Este individuo está trabajando en Londres en el área de Lenguajes Formales y Computación Gráfica. Yo no sé si el piensa que el cero no es ni par ni impar, que a lo mejor sería la duda de los policías, pero, jamás tuvo un mínimo de álgebra para recurrir a la definición de número par?

    Ahora bien, si un ciudadano que no use definiciones, no lo ve como agrupaciones no vacías de dos en dos, y mucho menos pensará en los pares negativos, pensará que no es par ni impar, pero no bastará con decirle, por favor divide dos entre cero si es divisible (resto cero), es para, si no impar, qué te dio la división (primaria básica…), y ya!

    Ahora supongamos lo peor, y sin ofensas: que la persona está en la mendicidad y no ha tenido acceso a ningún tipo de educación, pero está viva, ha tenido que sobrevivir… se le puede decir: reparte en formas iguales una cantidad a dos personas, si no sobra nada la cantidad la llamas para, si sobra, la llamas impar. Supón que no tienes nada, entonces, cuanto para cada uno, pues nada, cuanto sobro, nada, pues par, listo!

    Ahora bien, no entenderé jamás por qué la gente sigue con esta actitud ante el lenguaje matemático, y mucho menos como aquel individuo que me dio clases de Teoría Combinatoria dijo que el 0 era par por convención y su jejeje.

    Saludos y un abrazo, espero haber sido respetuoso en mis expresiones.

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  6. Por cierto, aquí en Venezuela aplican la definición tal cual, al menos cuando entregan documentos de identificación y afines (pasaportes, etc): Los lunes, miércoles y viernes, las personas que tienen cédulas terminadas en dígito 0,2,4,6,8; los martes y jueves, los otros casos.

    Eso creo recordar…

    ¡Ahí no hay pérdida ni discusión!

    Pensando en lo que dice Juanjo Escribano, podría ser injusto si hay cantidades de cedulados similares para las terminaciones de una tanda y de la otra, porque para la primera son tres días de atención; para la segunda, dos. Pero bueno, las oficinas funcionan de lunes a viernes, y se forman tremendas colas.

    P.D.: La cédula acá es el documento de identificación.

    Ah también usan ese método para entregar los tiques estudiantiles de metro (sistema de transporte subterráneo, andenes).

    Saludos.

    P.D.2: Por cierto si voy a hacer las preguntas sobre si el cero es par a ver que me responden, me dio curiosidad… pero no lo preguntaré tan directo, si se le pregnto a mi hermana buscará en google, si se lo pregunto a mi mamá dirá que no tiene tiempo para esas cosas, así que preguntaré así:

    1) El 1 es par o impar. Recibo la respuesta, que imagino será correcta, y

    2) El 2 es par o impar. Recibo la respuesta, que imagino será correcta, y

    3) Ahora alterno impar y par sucesivamente: 3,4,5,6, y finalmente

    4) El cero es par o impar?

    Luego les cuento el resultado… Preguntaré a tres personas, no más.

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  7. En conclusión, si se han mostrado tantos casos de dudas o errores, quien puso la norma sabía de eso y quiso dejar el tema muy claro, para que a nadie le quepan dudas. Hoy circularán los que terminen en otro número distinto del cero siempre que sea impar…

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  8. Por cierto, otro comentario, tuve un profesor de Algoritmos y Estructuras 1, que nos preguntó, cuánto es 0!?

    Y nos dijo no lo respondan por definición ni por convención.

    Que es n! nos dijo…

    Yo sabía que se podía responder, pero no lo respondí en clase, ni nadie lo hizo. En su guía estaba escrito: el factorial nos da las permutaciones de n elementos en grupos de a n

    Bien, 3 elementos en grupos de a 3: abc, así

    Dejando fija la a: abc; acb

    Dejando fija la b: bac; bca

    Dejando fija la c: cab; cba

    3!=6 Porque son todos y todos están bien.

    2!

    Pues con ab, tengo ab y ba, 2! = 2

    1!

    Con a tenemos a, y ya. 1!=1

    0!

    Con 0 elementos, que permutación podemos hacer: la permutación vacía, y ninguna más, cuántas permutaciones van ahí? una (1). Por qué la respuesta no sería ninguna, porque ya la permutación vacía cuenta, así como lo hace el conjunto vacío, en este caso para ser más estrictos, la secuencia vacía, porque importa orden. Estamos buscando secuencias, y la secuencia vacía cuenta…

    Que los chinos no usaban el cero porque representaba nada pero al tener que representar, necesitaban una representación, que si el cero es natural o no, he leído que eso es según definición, unos dicen que no, porque se empieza a contar desde 1, en computación cuentan desde 0. Pero, más importante áun, y reafiramando que es según la definición, creo recordar que Peano definía los naturales así:

    0 \in N
    Para todo n \in N suc(n) \in N

    Siendo suc(n) = n + 1, + la operación de adición como se define usualmente (Ojo! aquí creo que estoy pecando de informal, al definir la operación de adición así… tendría que revisar los axiomas de Peano)

    Ahí, según la axiomática de Peano.

    Para terminar diré que no conforme con ese razonamiento sobre 0!, no por definición, que escribió el profesor (quien por cierto escribió un libro sobrle combinatoria y lo llamó “Elementos de Teoría Combinatoria” :)) nuestro que es Ing. Electrónico, Lic. en Química, Lic. en Matemática y PHD en Computación, voy a buscar ahorita una fuente en la que confío mucho http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html (Bueno aquí dicen por definición, pero luego explican lo del conjunto vacío, creo que la clave está en que nada puede ser visto como que no hay o como contar la nada, yo digo que conjutno vacío no es nada nada, porque no es lo mismo no tener nada, que tener una gaveta vacía, así como con los chinos, no es lo mismo no tener nada, que ni si quiera tener una representación de la nada: el cero)

    Saludos.

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  9. Yo creo que hay que dejar a un lado nuestra mente matemática y una vez que consigamos esto yo creo que es normal que la gente no lo sepa.

    Los que no piensan en matemáticas no piensan si un número es 2k o 2k+1, de hecho la mayoría no piensan si un número es entero o natural porque no saben realmente qué conjuntos es cada uno.

    Y aún dentro de la gente que debería pensar en estas cosas nos encontramos múltiples personas que no son capaces de realizar estos razonamientos. Por ejemplo en trigonometría. A ver cuántos estudiantes de carreras de ciencias resuelven una ecuación trigonométrica poniendo más de un ángulo como solución… Pues pocos, ya os lo anticipo. Nadie piensa en formas generales de escritura del estilo 2k, ni en el lugar que ocupa un número en un conjunto (entre dos impares el cero), ni nada por el estilo.

    Tampoco es culpa de la gente no saberlo. Cómo os enseñaron los números pares? El 2, 4, 6, 8 y así sucesivamente… Y así nos lo aprendimos. Sabemos una lista, no su forma general ni sus propiedades.

    Y encima claro, si empezamos luego con que si el cero está o no en el conjunto de los naturales y cosas así, cuando intentan razonar y pensar se arman líos enormes porque empiezan a suponer casos…

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  10. Debo confesar, apreciados amigos, que yo no entendía matemática, hasta que descubrí el razonamiento y lenguaje formal, cuando a mí me decían 2,4,6,8, etc. me sonaba ambiguo. En esa época claro, yo no usaba palabras como ambiguo, pero sentía que me faltaba algo, que había cabos sueltos, que así no era suficiente la cosa. Me decían impares: 1,3,5,7, etc.

    Una vez caí en cuenta ah voy de dos en dos. Otro día caí en cuenta, ah en uno empiezo en dos, en otro empiezo en 1, pero siempre inconforme, sienmpre peguntándome, cuál es la regla cuál es el patrón, hasta que un día en cuarto año de secundaria, bachillerato, razoné, oh Dios mío (si existe Dios), qué día tan afortunado. Empecé a identificar el lenguaje formal, empecé a razonar el porqué si lo había, o lo evidente si así lo era, y tal como lo dijo Andrew el que demostró el Teorema de Fermat, mi vida se llenó de luz, ya mis exámenes no eran azarosos, ya yo podía tener una verdadera idea objetiva de cómo era mi desempeño en mis evaluaciones, ya había un orden dentro del caos, diría hoy yo.

    Y bueno desde ese entonces, con lo pokito que he entendido (ya que realmente no sé casi nada) de las Matemáticas, realmente amo a esta ciencia abstracta, exacta y racional, que me ha dado casi todo de lo poco que poseo: mi ingreso a la Universidad, mi título de Ing. en Computación, haciendo una tesis en Bases de Datos, con 90 páginas de demostraciones formales, y bueno, hoy por hoy, enseñando matemáticas básicas a estudiantes de unos 17 años, me propongo el reto sí, de aprender matemática de verdad.

    Así que a mí me pasó al revés: yo nunca aprendí 2,4,6,etc. eso a mi me fustigaba. La primera vez que me dijeron divide entre dos, hay resto, es impar, no hay resto es par, y creo que eso lo entiende cualkiera, tenga o no formación escolar. Y cuando vi Geometría Euclidiana, ya que empecé estudiando Matemática Pura (fue el momento académico más hermoso de mi vida), ya luego con la Geometría Proyectiva noté que no tenía tanto talento, pero pude aprobarla, y en Álgebra 1 (pues ver los 2k y los 2k +1, y las congruencias me alegró mucho). No lastimosamente, pero sí, me cambié a Ing. en Computación, con el objeto de tener un campo de trabajo más práctico. Ya graduado hace tres años, consigo este blog, y deseo tomarlo como un tamiz, para ver qué tan viable sea, a esta edad, hacer estudios de post-grado en Matemática Pura.

    Saludos.

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  11. Quizá no tenga mucho que ver, o sí… pero tal vez es que haya gente que lo encuentra raro igual que hay excepciones sobresalientes sobre cuestiones sencillas, como que 2 sea el único número primo impar, o que 1 no sea primo, y 0 tampoco.

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  12. Precisamente hace apenas una semana me quedé de piedra al leer en el libro de texto de Matemáticas de 1º de ESO (Ed. Santillana, proyecto “Los caminos del saber”), página 33:
    CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
    Divisible por 2, si la última cifra es 0 o par.
    Divisible por 3, si la suma de sus cifras…

    Si ni siquiera en los libros de texto (¿escritos por especialistas?) lo tenemos claro…

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  13. Lo peor de todo es que a mis alumnos otro profesor (que no era de Matemáticas) les dijo que cero no era par, ¡y prefieren creérlo a él antes que a mí! ¡Y eso que se lo expliqué!

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  14. Me ha encantado la entrada. Genial lo de los gendarmes parisinos, quiero
    una matricula 0 (mod 10)!!!

    Por curiosidad he buscado que piensa la gente de este tema:
    http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20061017102813AA1fgoF
    Y por mayoria abrumadora gana que el cero no es ni par ni impar!
    Anyaden otros, ni par ni impar: Neutro!!!
    Y mas alla, ni par ni impar: Unico y se puede demostrar matematicamente…
    Caramba, es para morirse de risa.
    Algun matematico hay en el foro pero es ignorado por el resto.
    Creo que en la vida diaria el hecho de que 0 sea par es totalmente irrelevante y por eso nos ensenyan en la escuela que los pares son 2,4,6…
    En una familia con 4 hijos los padres se los pueden repartir a partes iguales. En una de 0 hijos tambien pero por que iban a repartirselos?

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  15. Creo que el problema es que la gente no está segura de la definición de numero par.

    A mi me pasaba algo parecido con los primos y el uno. Creía que la definición de primo era “Cualquier número que sólo es divisible por el mismo y por la unidad”, así que el uno entraba en esa definición.

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  16. Bueno, por hacer un poco de abogado del diablo, decir que no siempre estuvo claro que el cero fuera un número natural. De hecho Peano, en un principio no lo utilizó en sus axiomas hasta que se introdujo la teoría de conjuntos.

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  17. (Antes de nada, aclarar que “sólo” soy ingeniero ;P )

    A mí desde chiquinino, entre muchas cosas sobre matemáticas me han enseñado dos que destacan: cuidado con el 0 que es mucho más de lo que parece y cuidado con el 1 que no es lo que parece.

    supongo que a casi todos nos han enseñado a desconfiar del 0 (pobrecito) y es por eso lo de “…las matrículas terminadas en nº par o 0..”.

    yo también tengo la duda de si el 0 es par o no, pero realmente es porque no sé que es un número par ¿es un número entero que se puede dividir entre 2 y no dejar resto? ¿o esta definición no es exacta?

    Es por eso que siempre se intenta aclarar que el cero pertenece al grupo de los pares en matrículas y carnés de identidad y esas cosas, y por supuesto es por eso por lo que siempre se dice que “el 0 es par con convención”

    Como sé que por aquí hay mucho profesor de matemáticas, os pido por favor que aclaréis que implica ser par en clase (más allá de las definiciones), y si el 0 cumple, no habrá que incluir continuamente su pertenencia de facto al grupo de los pares

    Un saludo.

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  18. ¿Cuál convención por Dios Santo? Convención entiendo que es por consistencia, para no llegar a contradicciones en una axiomática… Por amor a Dios que no hay que ser ingeniero, ni ser más que fronterizo en el cociente intelectual, y esto no lo digo en ofensa. Ya basta de una buena vez y por todas…

    Si a alguien le preguntan por un criterio: pesar más de 50kg, exactamente 79kg (no estoy al día con el boxeo, pero digamos, a partir de 50 y menor de 80kg, llamaremos a eso peso Walter, sin pérdedida de generalidad, tal vez el nombre no sea Walter, pero eso no es lo que importa aquí).

    Entonces, similarmente, llamemos par a un número entero que de resto 0 al dividirlo por dos (ni siquiera lo llamemos definición, para que no le suene muy matemático a los ingenieros, como yo por ejemplo), entonces a alguien que a lo mejor sin ofender, es analfabeto, le enseñamos que los enteros son …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… no le hablemos de conjunto para que no suene muy matemático, ni de negativos, para que no suene muy matemático. Digáosle, los enteros son los números que no se pican, completicos pues, desde el punto de partida hacia tras y hacia adelante: no me muevo (cero), ahora hacia atrás, un paso atrás, dos pasos atrás y así, sucesivamente, y, ahora hacia adelante: un paso adelante, dos pasos adelante desde el punto de partida y así sucesivamente, ok o hablémosle de deudas en vez de negativos, pero digámosle, si luego de una pelea un boxeador no gana nada, y reparte lo que ganó cuanto le da a cada uno, nada, ok, sobró algo, NO!, entonces, se necesita obligar a decir que no sobró algo, NO!, es lo que llamaríamos par; al igual que en mi supuesto no importa que el que pese 79 esté casi llegando al límite, se llamaría Walter, y con 80,0000000000000000000000000000000000000000001 ya no es Walter.

    Llegará el día en que la gente deje de lado la odiosa intuación y se convenza no por fuerza sino de modo natural que pensar límpidamente es también natural.

    Por favor, discúlpenme de antemano si he sido muy hostil en mi intervención, pero realmente esto es muy lamentable.

    Con respeto.
    Un Ingeniero que no sabe Matemática, pero que usa tan pulcramente como puede lo poco que universalmente sí se enteiende.
    Saludos.

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  19. Perdón, por el error que acabo de cometer. Ya pone que k tiene que ser entero. 😉

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  20. Después de leer tan sesudos comentarios, creo que la cuestión es mucho más sencilla:
    El CERO no es ni PAR ni IMPAR, tampoco es ROJO ni es NEGRO, está claro que no es mayor que 18 (PASA), pero tampoco es menor o igual que 18 (FALTA). Lo que si es cierto es que siempre se lo lleva la BANCA.

    PD: Y además la BANCA se lo lleva sin haber puesto nada.

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  21. Mi disquisición va sobre el título.

    Quizá el problema está en pensar (ja,ja)

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  22. Hola a todos:
    He de reconocer que me llamó mucho la atención el artículo y me puse manos a la obra haciendo una encuesta entre conocidos, unos con conocimientos de matemáticas avanzadas y otros que no. El resultado fue que por mayoría abrumadora, 84’6%, ha ganado la idea de que el cero es un número par en contra del 15’4% que apostó porque el cero no es ni par ni impar. Lo que me da pena es que la mayoría de los que no tienen conocimiento de matemáticas avanzadas no saben decir por qué el cero es par. Creo que el problema es que no se acuerdan del significado de par o impar y, casi todos alegan que no son buenos en mates… ¿Habrá que modificar la forma de enseñar las mates para que este tipo de cosas no ocurran? Un saludo

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  23. Creo que hay varios puntos a tener en cuenta:

    1. No es necesario que nadie aporte ningún razonamiento ni demostración de la paridad del 0. Creo que todos aquí lo tenemos claro.

    2. Me parece que Victor ha estado muy acertado en su razonamiento sobre el verdadero asunto (4-dic-12), y es ¿por qué demonios alguien puede dudar sobre esto? Razonamiento que comparto totalmente. Y creo que se debe a la forma de estudiar y aprender de la “mayoría” usando la memoria únicamente sin entender los significados. Tal vez los “raros” que visitamos estas páginas no sabemos de memoria cuales son los pares y cuales los impares, sino que aprendimos cual era el razonamiento para calcularlo. A mi jamás se me había ocurrido que el cero pudiera ser otra cosa distinta al par.

    3. Por mucho que se discuta o por mucho que se razone, y no importa cuanto me estruje el cerebro para resolver algún problema, siempre aparece algún genio como en este caso Charlie Brown para encontrar la salida más perfecta al problema!! Sin duda, que flexible que es la mente humana!

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  24. Ahorita me puse a pensar y alguien dijo en uno de los links que el cero no tiene pareja, o sea que la gente al parecer, sin usar la definición intuitivamente, entiende por par algo que se agrupa de dos en dos, o sea entienden como pares los números de la forma 2k, k =1,2,3,… ni sikiera los negativos. Podría ser eso lo que los haga pensar que No sea Par Ni Impar, a la luz de su intuación, que creen es lo que manda y no la definición, que es lo que sí es.

    Por otra parte, en el área de ciencias de la computación me ha tocado trabajar con lo que se conoce como casos borde o especiales…

    Ejemplos:

    Cuantificador Existencial: Todos los lectores de Gaussianos son Inteligentes.

    Supongamos que el predicado inteligente es booleano y que ser lector de Gaussianos tambien lo es: se es o no se es! (dos valores de verdad, y sólo dos)

    Bien, si decimos el Rey de Francia es calvo, es un predicado verdadero, porque no hay rey en Francia.

    Si decimos Todos los lectores ciegos de Gaussianos son inteligentes; ese sería un predicado cierto, porque asumimos que no hay lectores ciegos de Gaussianos, en el supuesto de que aún este blog no provee mecanismos para lectores ciegos. Este es un caso especial, donde se cuantifica sobre el conjunto vació, y por consistencia, no sé si en todas las axiomáticas lógicas, el predicado es verdadero.

    Bien, toda esta reflexión, es porque ya van 32 comentarios sobre un tema muy básico, y me acuerdo que cuando yo estudiaba matemáticas puras y veía geometría proyectiva con un compañero que luego de licenciarse en matemáticas se doctoró en Princeton, le pregunté un caso especial: “Si nos atenemos a la definición básica de probabilidad: casos favorables/casos posibles, qué probabilidad hay de sacar una bola roja en una caja vacía?”

    Pues el me respondió, no tengo tiempo para tonterías… y está en Princeton.

    Otro Lic. en Matemáticas de mi Universidad muy talentoso, con tesis de grado en Teoría de Números me dijo, así manejes la lógica muy bien, eso no necesariamente significa saber matemática (el necesariamente lo agrego yo, por rigor)

    Bien, entonces me animo a ver los problemas de la semana y los desafíos en ese intento por verdaderamente aprender matemática.

    Por cierto, para los amigos de acá, tomando en cuenta que España va a participar en el próximo Clásico Mundial de Beisbol 2013, junto a Venezuela. El average de bateo que no es más que un promedio, es de .000 cuando el bateador no ha consumido turnos legales, es decir: hits/turnos_legales; si turnos legales= 0, obviamente no ha dado hit y su promedio será, pues se usa cero. Y en una caja vacía “tendría sentido” decir que la probabilidad de sacar una bola roja es de 0, más allá de que la operación 0/0 sea una indeterminación, yo diría que no nos podemos apresurar a usar la fórmula de buenas a primeras sino darle un significado al evento, y usar la fórmula sólo cuando corresponda, de modo que 0 no vendría de hacer 0/0 = 0; sino de definir esa probabilidad consistentemente como 0. Aquí me quedo, porque hasta ahora sólo me ha tocado plantear una axiomática y es para un área de base de datos, y decir que sea consistente es temerario, pues fue un primer estudio, y es perfectible.

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  25. Una regla fácil un numero entero es par si y solo si su cifra menos significativa en sistema decimal es 0,2,4,6 u 8 , y hasta donde yo se la última cifra del cero es 0….

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  26. Yo estudio una Ingeniería Superior (estoy con el Proyecto Fin de Carrera), y puedo asegurar que más de la mitad de mis profesores de primero tampoco tienen claro que el cero sea un número par (entre otras tantas cosas que deberían saber para enseñarnos).

    (Espero que se entienda el chiste, no busco conflicto, simplemente equilibrar la balanza)

    Y para ahorrar el chiste fácil: Yo hubiera pillado el chiste 🙂

    Un saludo

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  27. El cero es un número muy especial, tanto así que en la antigüedad solo dos culturas lograron concebirlo, la maya y la india. Ahora bien, es el cero un número impar, pues queda muy claro que no lo es. El cero no comparte ninguna similitud con los guarismos impares. Como no es impar, las puertas le quedan abiertas por todo lo ancho a los números pares y de inmediato observamos ciertas similitudes con ellos, entre etas tenemos: es divisible por 2, queda en medio de 2 números impares, los números pares terminan en algún número par o cero, etc…pero, es realmente el cero un número par?

    si se debe elegir entre una de dos (par, impar) no cabe ninguna duda, es par. Pero quien dice que las cosas son tan extremas, quien dice que no puede existir una tercera opción. Si bien el cero se comporta como un número par, eso no lo convierte en un elemento de dicho conjunto o acaso alguien en su sano juicio se atrevería a decir que un chimpancés es humano solo porque comparte mas de un 95% de similitud con el genoma humano.

    Similar, pero no igual.

    Si bien el cero es divisible por 2, también es divisible por el resto de los números, cosa que no comparte con los pares.

    Si bien esta en medio de dos números impares, esta entre números de distintos signos. los pares están en medio de dos impares de igual signo.

    Si el cero es par, debe ser el primero de dicho conjunto y por lo tanto los demás elementos de dicho conjunto deben obtenerse sumándole cero al antecesor para que nos dé el número siguiente, pero no es el caso ya que 0 + 0 = 0, dicho peso recae sobre el número 2, 2 + 2 = 4, 4 + 2 = 6, etc. por lo que es el 2 y no el cero el primero de los números pares.

    Los matemáticos están divididos, si deben considerar a cero como un número par o simplemente admitir que existe un tercer conjunto cuyo único elemento es el cero. Claro, la mayoría de ellos lo aceptan como par. En mi opinión, prefiero ver al cero como lo que es, cero, un número super especial que aparenta ser par, pero que a la vez tiene su propia identidad, razón por la cual pienso que los enteros deben ser: pares, impares y el cero.

    Saludos desde Rep. Dominicana.

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  28. Muchas gracias a Kike Sirvent por el chiste, me ha alegrado el día después de una larga jornada. De 0 profesores más de 0/2 duda, o sea 0 dudan, y los menos de 0/2 que quedan no dudan 0 no dudan, en fin nadie duda y nadie tampoco no duda pero son cero, jejeje, predicado sobre el conjutno vacío, P y No P son verdad, y bueno, lo mas importante 0/2 = 0 y queda resto 0.

    Feliz noche! 0 par!

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  29. Por cierto el chiste de Kirk Sirvent no es trivial en una lógica difusa, piénsenlo y me dirán…

    Saludos.

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  30. 2 es par.
    si un numero es par al sumarle 2 obtenemos otro par
    si un numero es par al restarle 2 obtenemos otro par
    2 4 6 8 10
    10 es par, y termina en 0
    8 6 4 2 0

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  31. El cero es un entero mayor que uno divisible sólo por uno y él mismo? ¡NO! porque no es mayor que 1. Punto, fin de la discusión. Está claro?

    El uno es un número entero mayor que uno divisible sólo por uno y él mismo? ¡NO! El 1 no es mayor que 1, listo! Entendido?

    El uno tiene divisores distintos de 1 o él mismo? ¡NO! Luego, no es compuesto, fin de la discusión.

    El 0 tiene una representación única (TFA) en descomposición de factores primos, distinta de el por el mismo? ¡NO! No es única, 0 = 0*0*1*2*3*3^2, infinitas representaciones. Luego no es compuesto.

    https://gaussianos.com/estamos-peor-de-lo-que-pensaba/

    Pero, lo que es más importante aún, 0 entre 2, cociente 0 y resto 0, luego el cero es par, y no es impar. No hace falta convención, ya.

    Saludos.

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  32. Un amigo mio es aficionado a la modificación de definiciones. Por ejm… su definición de número par es la siguiente:

    Un número entero x es PAR si es de la forma x = 2n donde n es un entero tal que n \neq x.

    Obviamente esto excluye al cero. Argumentaba que es análoga a la definición que excluye al 1 como número primo. Mi impresión era que siempre buscaba provocar controversias. Y lo lograba a menudo.

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  33. Lo estuve leyendo, y en realidad cuando se habla de que todo número par es de la forma 2k con k un número entero, se tiene la restricción de que k≠0 y por lo tanto todo número terminado en cero es par y claro está según la restricción el cero no se incluye.

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  34. Ángel García, no, esa restricción no existe, en ningún sitio se dice que esa definición solamente sirve para k \ne 0.

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  35. Lo de Paris es bastante absurdo, las matriculas acabadas en 0 es que acaban en 10, 20, 30… y esos números si que están mas claro que nada de que son pares, de hecho podríamos decir que todo numero par acaba en una cifra par, en este caso si 10 es un número par entonces 0 también lo es.

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  36. Puedo llegar a aceptar (aunque me parezca trise) que alguien no sepa si el 0 es par o impar. Pero discutir la paridad de un número acabado en cero…
    No me imagino a nadie (adulto) preguntando: ¿El 3180 es par o impar?

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  37. Bueno, como es habitual la entrada suele derivar en discusiones distintas a lo que se cita originalmente.

    Resumo:

    1. El artículo habla sobre la paridad del cero, no de los números acabados en cero.

    2. También se habla del caso de las matrículas acabadas en par o cero (fijarse bien que no dice las matriculas pares, sino acabadas en par o cero). Eso es porque en determinados sitios las matriculas pueden ser alfanuméricas, por ejemplo, LOVE4EVER, y claro esa matrícula es par o impar. Por eso, la idea consiste en si “termina” en par o cero (o en una letra como dice el artículo)

    3. Tal y como dice koldo85, no creo que nadie pueda discutir sobre la paridad del 10 (al menos nadie que sepa leer y escribir).

    4. No es necesaria ninguna demostración, porque no se discutía si el cero es par o no, eso está claro. Pero ya que todos han metido una prueba, la mejor creo que es esta:

    – En informática se usa el llamado “bit de paridad” que puede ser 1 ó 0, en función de si la última variable usada (en binario) termina en 1 ó 0. Así, todo número en binario es par o impar, o cualquier operación matemática realizada es par o impar si ese bit de paridad (último dígito es 1 ó 0).

    5. Releyendo el artículo, veo que en París, se hablaba tanto de matrículas pares como matrículas terminadas en par. Supongo que eso puede haber sido un error de interpretación del artículo, de traducción o quien sabe qué. Porque no me entra en la cabeza que un gendarme no sepa si el 1980 es par o impar, por mucho que no tenga claro si el cero es par o no.

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  38. Y ya puestos os dejo un chiste de gendarmes y coches:

    Un gendarme para un coche y les dice:
    – Buenos días, les voy a poner una multa por ir montados 5 personas en un Audi A4.
    – Oiga! pero qué dice? Quiero hablar su superior!
    – Mi superior? Mi superior está poniendole un multazo a 4 listillos que iban en un Audi A3!

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  39. En mi caso cuando llegan los alumnos a los cursos que doy de matemáticas, siempre me encuentro con una respuesta insólita al preguntar ¿qué es el 0?.
    La respuesta que obtengo es NADA.
    La falla está en las maestras de primario, que no los ayudan a distinguir entre el 0 como número y el valor que representa.
    Jamás se me dió por preguntarles si era par o impar el 0, pero lo voy a hacer en el diagnóstico inicial de este año.

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  40. El cero es par porque los matemáticos lo han querido así, cuadrando éste y los demás números en una representación de la realidad aceptada como uso estándar.

    A partir de ahí, saliendo de las matemáticas, que alguien me diga el motivo por el que la nada, el vacío, nothing, tiene que ser un número par ¿por qué tiene que ser un número? Para usarlo también, claro…pero, la gente para contar manzanas no menciona al cero…ah, pero claro que si el cero acompaña al 1 para ser 10 y entonces ahí ya cambia la cosa, ahí asoma la patita.

    en fin, eso es lo que hay…me voy a hacer unos hoyitos a un campo par 5…

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  41. Andrew

    los pares son pares por que lo d ecidió alguien (desconozco si era matemático)

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  42. Andrew, leíste alguno de los post anteriores que hablan de la definición de números pares?

    Te comento algo. Cuando el hombre empieza a contar necesita de los números. Una de los conteos que realiza es para repartir cosas. Por ejemplo tiene que repartir 12 ovejas a dos hijos de modo que a cada uno le toque lo mismo. Entonces da 6 a uno y 6 al otro y ve que nada le sobra. Con el correr del tiempo y luego de un montón de repartos, alguien se da cuenta que cada vez que se reparte entre dos ciertas cantidades no hay sobrante (resto) entonces le da un nombre a esos números y los llama PARES. Entonces cada vez que tengamos un número que al repartirlo entre 2 da resto 0 será un número par.
    Cuando aparece el 0 en cuestión, introducido por los árabes desde la India, se ve que al repartirlo entre 2 sobra 0, pero esos son los números pares, entonces es un número PAR.
    Lo único que quizá se les antojo a los matemáticos es el nombre PAR, podrían haberlo llamado CACHIRULOS, y entonces los números cachirulos serían aquellos que al dividirlos por 2 dan resto 0. Y de esta manera el 0 sería un nombre cachirulo.

    En cuanto al nombre, ponele MANOLO y quedate tranquilo.

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  43. I) 2a-1 + 2b-1
    2a + 2b – 2
    2(a+b-1)

    II) 2a + 2b
    2(a+b)

    III) 2a + 2b-1
    2(a+b) – 1

    p = par
    i = impar

    I) i + i = p
    II) p + p = p
    III) p + i = i

    0 es par

    0 es impar
    0 + i = p v p + 0 = i
    0 + x = x
    0 + i = i
    p + 0 = p
    i = p v p = i

    0 es par

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  44. impar = 2k-1, k pertenece a los enteros

    0 = 2k-1 (si cero fuera impar)

    2k = 0 + 1

    k = 1/2 (k es racional)

    0 es par

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  45. El 0 puede ser un número par o no ser ni siquiera un número, según se mire:

    En la tradición Griega, donde la matemática es inseparable de la geometría, los números están relacionados con longitudes y un segmento de longitud cero es imposible (es un punto no un segmento). Por tanto el cero no sería un número. El cero es un contrasentido en este contexto, es como círculo cuadrado.

    En otras tradiciones culturales (como la árabe o las diversas y enfrentadas culturas de la América prehispana) la matemática está ligada a la contabilidad y en ese contexto el cero tiene todo el sentido.

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    • Tiene narices la cosa. Estamos peor que mal, más bien fatal. De verdad que es indignante.

      Porque que las autoridades políticas no sepan nada de nada de matemáticas, al fin y al cabo es normal. Se dedican a enrollar y manipular con la verborrea y eso no requiere de conocimientos matemáticos ni científicos.

      Pero que los matemáticos tampoco sepan concretar lo que es el cero. Eso da cuenta de la sociedad en la que vivimos, ya que cuantos más conocimientos, más cultura, da la casualidad que más fácil es que la gente tenga los conceptos poco concretos o difusos por completo.

      Porque digo yo.

      ¿De verdad que un gendarme francés o un policía de New York no saben que un número como éste:

      1940

      Es un número par?

      ¿De verdad os creéis todos los que habéis escrito, del primero al último, que alguien se puede plantear que no sabe si 10 es un número par porque no sabe si el “cero” que se escribe “al final” es par?

      Esta es una matrícula terminada en CERO:

      10

      ¿Y los gendarmes de Francia o los NYPD no saben si el 10 es par?

      Y si no saben si una matrícula que termina en “cero” es par……….. ¿Tampoco saben lo que son el día 10, el 20 y el 30 de cada mes del año?

      De hecho el Blogger que hace la entrada se pregunta como es posible que aquel alcalde de New York (Bloomberg o como sea) especifique que el cero es un número par.

      Esa no es la pregunta correcta.

      La pregunta correcta es cómo es posible que a los políticos y sus consejeros de tráfico, en Francia o en EEUU, se les ocurra la magna estupidez de que hay que especificar eso de que:

      “…. las matrículas TERMINADAS en par …..”

      Señores matemáticos, eso sobra en el planteamiento del problema. Pero curiosamente todos ustedes han metido la pata hasta el corvejón. Han hecho caso del derrotero que tomaron los de la BBC. Que son periodistas y, al igual que los políticos, se dedican a la verborrea.

      Ustedes, los matemáticos, han mordido el anzuelo tendido por la BBC de lleno y se han centrado en si el cero es un número par y si la sociedad occidental conoce ese “fenómeno” matemático.

      Señores matemáticos, los números naturales (como lo son las matrículas de los coches) que terminan en 0 en “nuestro” sistema decimal son múltiplos de 10…….. TODOS.

      Todos los números terminados en cero son múltiplos tanto de 5 como de 2 y al ser múltiplos de 2 son pares.

      No hace falta que el cero sea par para saber si 10 ó 550 ó 1940 son pares por su terminación.

      Las personas que hoy en día y a lo largo de la historia no han tenido educación, ni letras, ni conocimientos matemáticos, se han defendido siempre la mar de bien con sus monedas y con los juegos de azar de cada época. Saben sumar, restar, multiplicar incluso y por supuesto repartir entre 2 y otras cantidades cualquier pago o cualquier tanteo en los juegos. O sus ovejas.

      Para mis abuelos y bisabuelos no entrañaba ninguna dificultad dividir a la mitad mil duros o veinte duros ni tampoco 2500 pelas ó 1320. Lo bien que se les daba a los jodíos lo de los “duros”. Te decían 30 duros, 27 duros, 12 duros, con más facilidad de la que hoy en día maneja cualquiera para dividir por 2 los euros. siendo el 5 un múltiplo puñetero, no como el facilón 2.

      ¿Me van a venir con el cuento de que en nuestra sociedad la gente no sabe distinguir una matrícula par, de a lo sumo 4 cifras ó 5, de una impar?

      Como ya les he comentado, les han planteado un problema de “tipo” lógico (como ese que dice “¿de qué color es el caballo blanco de Santiago?”) y se han ido por los cerros de Úbeda a dar vueltas con el cero (han intentado averiguar el color del caballito con integrales y derivadas).

      Que si cardinalidad, que si enteros o reales, que si razones de equivalencia, que si……………….

      Las matrículas de los coches son números naturales, por favor de los por favores. Si lo prefieren en su idioma: Los números pares son un subconjunto de los números naturales.

      Por eso el cero no es par ni impar, porque no es una cantidad, no es un número natural, sino la ausencia de número natural y la paridad es una propiedad de las cantidades.

      Los españoles de mi época lo tenemos muy claro. Cuando éramos críos, muchas veces sorteábamos los turnos para cualquier juego o actividad. Era muy habitual sortear a “pares o nones”. Que yo sepa, de siempre, cuando al sacar los puños no hay dedos estirados se “repite” y nadie en su sano juicio consideró nunca que el cero es par.

      Espero que cuando en España alguna ciudad deba tomar medidas para restringir el tráfico, planteen lo que tienen que plantear:

      “Las matrículas pares los días pares y las impares los pares”

      Y ahora les dejo como a los gendarmes y los NYPD: intentando averiguar si los días 10, 20 y 30 de los meses son pares o no y si ese día pueden circular los coches con “TERMINACIÓN” par, los impares o sólo los que terminan en 0………

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      • Me gusta el planteamiento que propones:

        “Las matrículas pares los días pares y las impares los [im]pares”

        Pero se podría mejorar, quizá

        “Las matrículas pares los días pares de meses sin ‘r’ y las impares los impares de meses que contengan ‘r’ excepto el día 29 de año bisiesto a menos que acabe en cero excepto si le precede doble cero”

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  46. En realidad no me parece una duda del todo irracional. Varias veces he visto definido el concepto de número par únicamente para números naturales, es decir, no se define como par o impar los números no positivos, entre ellos el cero. Así, la duda de si el 0 puede definirse como par o no es admisible, no lo será nunca plantearse si el cero puede ser impar, evidentemente.

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