Segundo problema de la semana. Vamos con él:
Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación:
siendo
un número primo.
Suerte.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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¿Se puede hacer por fuerza bruta con un programa de ordenador?
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Despejando se tiene que:
Y que
Dado que
es primo, y que tanto 
como 
deben ser enteros, se tiene que 
tiene que ser múltiplo de 
, y que 
tiene que ser múltiplo de 
.
Es decir, que
El problema se puede reescribir ahora así:
Despejando se tiene que
o
También tenemos las de la forma:
x=(1+p)p
y=1+p
y las de la forma:
x=(1-p)p
y=p-1
con p primo cualquiera
despejo x, queda: x=py/(y-p) lo podemos hacer porque si y=p, px+pp=px -> pp=0 -> p=0 no nos vale Seguimos, para que eso sea entero, tiene que ocurrir una de 3: a) que y-p=1, ya tenemos una solución, y=p+1 x=p(p+1) b) que y-p «cancele» la p de arriba, es decir que y-p sea multiplo de p (porque p es primo). Entonces y-p = rp -> y = p(r+1) = ps x=pps/(ps-p) = ps/(s-1) y aquí tenemos 2 opciones i) s=2 -> x=y=2p otra solución ii) s=p+1 -> y=p(p+1) x=p+1 solución simétrica a la primera c) que (y-p) sea algún divisor de… Lee más »
cierto, me falta que y-p=-1, de donde sale
y=p-1
x=p(1-p)
gracias mandanga!!
Las 4 soluciones de Sive y de Mandanga son correctas. Aunque el razonamiento de Sive no es fetén y por eso no le salen todas las soluciones. No es indispensable que x e y sean iguales, y Pérez muestra las otras posibilidades.
El desarrollo de Pérez prueba que estas 4 soluciones son las únicas posibles. Falta añadir el caso trivial x=y=0, y las soluciones negativas a su desarrollo, pero a parte de eso, caso cerrado.
Bueno, aunque tengamos caso cerrado añado mi solución.
«p(x+y)» obviamente es múltiplo de p, por lo que «xy» también debe serlo. Para ello «x» y/ó «y» deben ser múltiplos de «p».
Tomando «x=np» siendo «n» un número entero:
p(np+y)=npy
[y ahora con «n» distinto de 1]
y=pn/(n-1)
Procedimiento… asi lo creo yo.
y por otro lado…
que por ende x y p, y, p e y, no pueden ser de igual valor absoluto.(magnitud, mismo numero).
A ver una de las soluciones que hemos encontrado ha sido:
p=2
x=3
y=6
Y creo que no hay más.
Un Abrazo! 🙂
Moein, sí, hay más. Echa un ojo a los comentarios.
Me salen 6 soluciones:
Son simétricas, pues la hipérbola del enunciado, que pasa siempre por el (0,0) es simétrica respecto a la recta y=x
Si trasladamos los ejes al punto (p,p) la ecuación se transforma en x’ * y’ = p^2. Las soluciones enteras son los factores de p^2, estos son ±1, ±p y ±p^2. Sumando p, para deshacer el cambio de ejes, obtenemos las seis soluciones para la ecuación dada, que son las que escribo en el otro comentario. (Siento escribir dos comentarios para lo mismo, pero no fui capaz de ampliar el comentario anterior).