Todos del mismo signo

Publicado por ^DiAmOnD^ | 15 mayo, 2012 | Juegos | 25 |

Vamos con el problema semanal. El enunciado es el siguiente:

Probar que si $a_1, \ldots ,a_n$ , con $n \ge 2$ , son $n$ números reales tales que

$(n-1)(a_1^2+a_2^2+ \ldots + a_n^2)=(a_1+a_2+ \ldots + a_n)^2$

entonces o todos los $a_i$ son no negativos o todos son no positivos.

Que se os dé bien.

0 0 votes

Article Rating

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉

Comparte:

Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Name*

Email*

Website

25 Comments

más antiguo

más reciente más votado

Inline Feedbacks

View all comments

Tito Eliatron

15/05/2012 10:15

Un momento… Para $n=2$ la Hipótesis es que $a_1^2+a_2^2=(a_1+a_2)^2$ es decir, $a_1a_2=0$ lo que implica que al menos uno de los números es 0 y el otro da igual.

Por lo tanto, hay que concretar y decir que todos los números son del mismo signo ó CERO.

Responde

gaussianos

Admin

15/05/2012 11:32

Cierto Tito Eliatron, lo especifico ahora mismo. Gracias 🙂

Responde

Bitacoras.com

15/05/2012 12:20

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema semanal. El enunciado es el siguiente: Probar que si , con , son números reales tales que entonces o todos los son no negativos o todos son no positivos. Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quier……

Responde

bibliotranstornado

15/05/2012 14:42

Por inducción se demuestra fácilmente (y yo soy un zoquete, así que es muy sencillo). Como ha comentado Tito Eliatron en el caso n=2 se cumple. Si suponemos que se cumple para n-1, desarrollamos el caso n en función de n-1 y llegamos al resultado que una suma de cuadrados es igual a la suma de los primeros n-1 elementos multiplicado por el enésimo elemento. Como la suma de los primeros n-1 elementos son todos del mismo signo (por la suposición de la inducción), es necesario que el enésimo elemento sea del mismo signo para que tengamos un resultado positivo… Lee más »

Responde

15/05/2012 20:36

Alguno podria poner como lo ha hecho, para los que no lo vemos tan facil… .

Responde

15/05/2012 21:09

para el caso n =2 tenemos que $a_1 a_2 = 0$ .

para el caso n , $n (a_1 ^2 + a_2 ^2 \ldots + a_n ^2) = (a_1 ^2 + a_2 ^2 \ldots + a_n ^2) + ( a_1 + a_2 \ldots + a_n )^2$

para n+1 , $n (a_1 ^2 + a_2 ^2 \ldots + a_{n+1} ^2) = ( a_1 + a_2 \ldots + a_{n+1} )^2$

hasta ahi llego, como debo proceder ?

Responde

16/05/2012 18:44

Para $n=3$ también es fácil de probar, pues la hipótesis implica que $(a_1+a_2-a_3)^2=4a_1a_2$ . Así pues, $a_1a_2\geq0$ . De modo similar, $a_2a_3\geq0$ y $a_1a_3\geq0$ .

Responde

16/05/2012 22:22

Aunque no he conseguido probar el enunciado por la vía algebraica (ni siquiera para ), me gustaría comentar una interpretación geométrica del mismo en términos de formas cuadráticas. Aunque las ideas están algo deslavazadas, creo que se podrían formalizar. La igualdad del ejercicio se puede escribir como , donde y es la matriz cuadrada de dimensión , simétrica, con entradas en la diagonal y fuera de ella. Esta matriz tiene autovalores (simple) con autovector asociado , y con autovalores , ,…,. Esto nos dice que la hipersuperficie de formada por los puntos tales que es un «hipercono» de vértice el… Lee más »

Responde

Antonio

17/05/2012 00:28

M, yo también he intentado con geometría aunque aun no estoy muy satisfecho del todo. Comento a lo que he llegado:

Notemos por $a=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ y $u=(1,1,\dots,1)\in\mathbb{R}^n$ . Podemos suponer que $a\neq 0$ .

La hipótesis la podemos expresar de la siguiente forma:

$(n-1)\|a\|^2=\langle a, u\rangle^2$ (donde $\langle \ , \ \rangle$ denota producto escalar)

Ahora bien,

$\langle a,u\rangle^2=\|a\|^2\|u\|^2\cos^2\alpha=\|a\|^2n\cos\alpha$

y sustituyendo en la expresión anterior, podemos escribir

$n\|a\|^2-\|a\|^2=n\|a\|^2\cos\alpha\Longleftrightarrow n\|a\|^2\sin^2\alpha=\|a\|^2\Longleftrightarrow\sin^2\alpha=\cfrac{1}{n}$

teniendo en cuenta que $n\geq 2$ , se tiene que

$\sin^2\alpha\leq\cfrac{1}{2}$ , es decir, $-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq\sin\alpha\leq\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ luego $\alpha\in\left[-\cfrac{\pi}{4},\cfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\cfrac{3\pi}{4},\cfrac{5\pi}{4}\right]$

y por tanto, geométricamente, $a$ pertenece o bien la hiperplano no negativo, o bien al hiperplano no positivo.

Responde

Antonio

17/05/2012 10:36

Me dí cuenta que al final de mi comentario me expresé mal con lo de hiperplano no negativo o no positivo. Lo que estaba pensando en el »hipercuadrante positivo» y su opuesto. Por ejemplo, en el plano sería el primer y tercer cuadrante …

Responde

bibliotranstornado

17/05/2012 11:26

Vamos con la demostración por inducción, tenemos un valor en el que se cumple, que ha demostrado nuestro querido Tito Eliatron. Sólo nos falta demostrarlo para n+1 suponiendo que se cumple para n. En el caso de n tenemos la ecuación del problema: que suponemos que es cierta y que todos los elementos son del mismo signo. Tenemos que demostrar el caso n+1, que tiene la fórmula: Agrupamos los elementos de la parte derecha de esta fórmula en dos grupos y desarrollamos: Por lo que nos queda: Sustituimos el primer elemento de la parte derecha de la fórmula por el… Lee más »

Responde

Antonio

17/05/2012 11:37

Hola bibliotranstornado. Lo que no me queda claro es que estás suponiendo la hipótesis (la fórmula) tanto para $n+1$ como para $n$ y esto creo que no es correcto. Solo la tienes que suponer para $n+1$ y si eres capaz de llegar a una fórmula de $n$ sumandos entonces podrías aplicar la hipótesis de inducción. Pero no suponer directamente la fórmula para $n$ , porque lo que supones cierto es el resultado para $n$ no la fórmula.

Responde

bibliotranstornado

17/05/2012 12:16

Hola Antonio el método de inducción matemática es muy potente, básicamente dice que si una propiedad se cumple para un número natural (generalmente 1, pero puede ser otro, en nuestro caso 2) y conseguimos demostrar que si se cumpliera para un valor arbitrario (n) entonces también se cumpliría para el siguiente valor (n+1) entonces la propiedad se cumple para todos los números mayores que el de partida.

Hay una explicación muy buena en la wikipedia.

Responde

Antonio

17/05/2012 12:28

Creo que no entendiste lo que quise decir.

Llamemos $P(n)$ a la propiedad quieres probar para $n$ . En el paso de inducción, hay que suponer cierto $P(n)$ y probar que es cierto $P(n+1)$ . Es decir, lo que hay que suponer cierto es: que siempre que tengas $a_1, a_2,\dots,a_n$ y verifiquen $(n-1)(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)=(a_1+a_2+\cdots a_n)^2$ entonces todos $a_i$ son del mismo signo o cero.

Es decir, lo que hay que suponer cierto es el » entonces», pero en lugar de suponer eso, lo que estas suponiendo es que se verifica
$(n-1)(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)=(a_1+a_2+\cdots a_n)^2$

Responde

bibliotranstornado

17/05/2012 12:49

No Anonio, la hipótesis inductiva es que para n se cumple la fórmula y además todos los elementos son del mismo signo y lo que hay que demostrar es que para n+1, cumpliéndose la ecuación, el elemento $a_{n+1}$ es del mismo signo que los anteriores.

Responde

bibliotranstornado

17/05/2012 12:50

$a_{n+1}$

Responde

Antonio

17/05/2012 12:52

No sé…. creo que no entiendes bien el proceso de inducción. O yo estoy demasiado espeso hoy. No se que opinan los demás.

Responde

17/05/2012 13:09

Antonio, creo que con tu comentario de 17 de May de 2012 | 00:28 ya falta poco. El conjunto (donde es la matriz de la forma cuadrática definida en mi comentario de 16 de May de 2012 | 22:22) cumple que , y además verifica . Dado un punto denoto en negritas por a un vector en la dirección . Entonces, has demostrado que el ángulo (positivo) que forma cualquier dirección , siendo , con la dirección , siendo , es constante e igual a . Llamemos a los vectores canónicos en . Entonces, todos los puntos de la forma… Lee más »

Responde

17/05/2012 17:41

Bueno, formalizando los comentarios anteriores, a continuación se indica una demostración para el enunciado. Consideramos la norma y producto escalar euclídeo estándar. Uso el símbolo para indicar «menor estricto que». Sean y los vectores canónicos de . Tomemos , donde verifican la propiedad del enunciado. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que (dado que no puede ser cero según la propiedad del enunciado, y si fuera negativo, basta cambiar signos). Observar que la propiedad del enunciado se traduce en . Supongamos entonces, por reducción al absurdo, que existen componentes y , para ciertos índices . Definimos entonces los vectores ,… Lee más »

Responde

17/05/2012 20:03

En mi pobre opinion Antonio lo ha dejado ya bien , enhorabuena.

Responde

Leon Thompson

18/05/2012 06:21

El uso de la inducción por bibliotrastornado fue errada totalmente, porque uso lo que quería demostrar como herramienta para demostrarlo.

Responde

Damiancete

18/05/2012 17:36

Pues yo tengo que decir que mi primera impresión también fue que la prueba de bibliotrastornado estaba mal, pero después de releer el enunciado estoy totalmente de acuerdo con él. Como él bien dice, la fórmula entra dentro de la hipótesis.

Responde

Alberto

19/05/2012 04:57

Disculpen, la pregunta no tiene nada que ver, pero soy un novato al cual le fascinan las matemáticas tengo solo 16 años, quisiera saber a que nivel se enseña a resolver problemas de ese índole o a que nivel de estudios se prepara para estos problemas.

Responde

Leon Thompson

21/05/2012 05:43

No se demuestra nada. Primero no se demostró que la formula era válida para n+1, simplemente se supuso verdadera y con eso se demostró que tenían que ser del mismo signo, pero este paso debe ser hecho luego de demostrar la igualdad para n+1. Es deficiente el uso de la inducción. De hecho, esta formula parece ser valida cuando uno, y sólo uno, de los valores es diferente de cero, los demás deben de ser cero. Por eso el enunciado es correcto: o todos los ai son no negativos o todos son no positivos.

Responde

Leon Thompson

21/05/2012 05:50

No se demuestra nada. Primero no se demostró que la formula era válida para n+1, simplemente se supuso verdadera y con eso se demostró que tenían que ser del mismo signo, pero este paso debe ser hecho luego de demostrar la igualdad para n+1. Es deficiente el uso de la inducción. De hecho, esta formula parece ser valida cuando todos los valores son cero. Por eso el enunciado es correcto: o todos los ai son no negativos o todos son no positivos.

Responde

bibliotranstornado

22/05/2012 09:38

Para Alberto,

A mí me enseñaron cómo hacer demostraciones matemáticas en COU y primero de carrera. Ya por mi cuenta había disfrutado con la demostración de la irracionalidad de raíz de 2 en Cosmos, de Carl Sagan (aquí tienes otra) o la demostración del Teorema de Peano.

Ahora tienes internet y hay muchos resultados, el problema será encontrar resultados para «beginners», pero seguro que los encuentras.

Ánimo

Responde

Buscar

La Tostadora

Suscríbete por mail

Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.

Últimas entradas

Últimos comentarios

Gaussianos en Facebook

Yo construí el poliedro de Császár

Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.

Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.