Os traigo hoy el primer problema de la semana de este veraniego mes de agosto problema de la semana en Gaussianos. El enunciado es el siguiente:
Sea M el conjunto de todos los enteros positivos que (en base 10) no contienen la cifra 9. Demostrar que si tomamos n elementos
arbitrarios y distintos de M, entonces
A por él.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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No es por sonar repelente, pero creo que sería mejor poner «que no estén en M» a «distintos de M».
Creo que hay algo que no ha quedado claro. Los
, ¿han de ser distintos entre sí? Porque si no tienen por qué ser distintos está claro que es falso.
Martxelo
Si lo entiendo bien, lo que quiere decir es que tomamos n elementos de M arbitrarios y distintos entre sí.
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«Arbitrarios y distintos» significa eso mismo: arbitrarios y distintos. Por tanto sí, los
son distintos entre sí. Lo de «de 
» significa que los elementos pertenecen a 
.
Sea S el sumatorio anterior. Veremos que la serie de término general acota a S y toma de valor 80 (el valor se deduce a partir de la fórmula de la suma de una serie geométrica). Dicha acotación se produce porque: 1 es el valor del primer término con denominador de una cifra. Hay 8 términos de dos cifras. 1/10 es el valor del primer término con denominador de dos cifras. Hay 8*9 términos de dos cifras. 1/100 es el valor del primer término con denominador de tres cifras. Hay 8*9*9 términos de tres cifras. … De ahí se deduce… Lee más »
Por alusiones, creo que debo responder 🙂
Este problema esencialmente ya fue planteado en gaussianos en diciembre de 2007
https://gaussianos.com/dos-problemas-sobre-la-serie-armonica/
y resuelto en el comentario
https://gaussianos.com/dos-problemas-sobre-la-serie-armonica/#comment-5751
Saludos.
Es muy fácil porque la aproximación es muy mala. ¡Qué menos que demostrarlo para 30 ó 25!
Muy bonito problema o mejor dicho, muy bonita propiedad de (las inversas de) los enteros desprovistos de la cifra 9. Me parece que se podría cambiar el 9 por otra cifra y me pregunto si es 80 la mejor cota, es decir si la suma correspondiente a todos los elementos de M es igual a 80 (es claro que es menor o igual). Pienso sobre todo en la demostración de Euler sobre la infinitud de primos, según la cual la suma de las inversas de los primos tiende a infinito; es pensando en esto que me parece que 80 es… Lee más »
Respondiendo al reto de Golvano de mejorar la cota: Llamamos a la suma de los inversos de los números de que tienen a lo sumo cifras. Llamamos a la suma de los inversos de los números de que tienen exactamente cifras. Llamamos a la suma de los inversos de los números de que tienen exactamente cifras y terminan por la cifra . Para , 1) . 2) para (comparando sumando a sumando, dadas las primeras cifras, tiene mayor inverso el que termina con la cifra ). 3) . 3) (por inducción.) 4) independientemente de (al estar acotada por progresión geométrica… Lee más »
Sí, eso es lo que había hecho yo. Con m=2 ya daba 24 o algo así.
Mmm, sólo por curiosidad, qué valor toma exactamente la suma desde 1 hasta infinito? Es racional?
Hola, E.M.G.
Aquí tienes una pista del valor, pero no dicen explícitamente que sea irracional.
http://mathworld.wolfram.com/KempnerSeries.html
http://oeis.org/A082838
Oh, gracias! Es una pena que no conozcamos su valor exacto (como
o 
) y esos valores tan chulos que dan los sumatorios, verdad?
Parece que sólo se puede obtener por aproximación.
Intuitivamente, parece que tiene que ser irracional ¿no?
Seguro que hay formas mucho mejores de hacerlo, pero el método de arriba se puede modificar ligeramente para obtener una cota inferior, con lo que aumentando m se podría ir obteniendo un intervalo cada vez más pequeño.
Yo he encontrado que el valor es menor a 10e
No se ven las fórmulas.
Ya está solucionado. Muchas gracias por avisar :).