El problema de la semana es el siguiente:
Calcular en función del número natural
el valor de las siguientes sumas:
![]()
Cuando las resolváis pondremos más sumas del estilo.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Llamemos
a la suma del seno y
a la del coseno. Por el teorema de Pitágoras,
. Por otro lado, la fórmula del coseno del ángulo doble nos da que:
que a priori parece trivial, pero me voy a pensar un momento no sea que me deje algún caso particular…
Empleando la fórmula de la suma geométrica:
Lo cual, salvo error por mi parte, se puede reducir a:
Para terminar, empleamos las ecuaciones iniciales para separar las dos sumas:
Hay un pequeño error en el cálculo de la parte real: la fórmula de suma parcial de una serie geométrica es
y en este caso,
y no 1 como tú has usado. Aparte de esta tontería de fallo, el planteamiento creo que es el acertado.
Veamos si me sale:
, podemos asegurar que (llamando
a la suma de los senos) que
.
Sabiendo que
Elaboremos un poco el interior de la parte real:
Por tanto,
.
Pero como
.
Muy buena Tito, esos son los resultados. Aunque no he seguido el desarrollo por los problemas de TeX, esas son las respuestas.
¿Intentamos ahora
?
aunque lo han resuelto muy bien, tal vez pueda servir de ayuda comentar que este ejercicio que se propone nos va a conducir a una prueba elemental (y rigurosa) del problema de Basilea https://gaussianos.com/el-problema-de-basilea/
Gracias a Tito por la corrección a mi desarrollo, aunque mi problema no estuvo en tomar mal el primer término (para eso resté 1 de la suma) sino en el desarrollo posterior. Ya he comprobado que da lo mismo 🙂
Tengo una pregunta: ¿ de dónde sale el resultado de esta suma ?
Muy buena Tito y Pasotaman!!! Siguiendo sus pasos llegué al mismo resultado! 😀 La verdad es que me parece increible que se pueda resolver problemas de este estilo… La matemática es genial!!
Balborian: ese resultado sale la suma geométrica:
ánimo… que con las otras cuatro sumas trigonométricas también sale una expresión sencilla en
.
Una pista: en el post sobre el producto de senos https://gaussianos.com/producto-de-senos/ fede comentó algo que puede ser útil…
Por eso

muchas gracias por el detalle, todo aclarado 🙂
Como comentaba fede en https://gaussianos.com/producto-de-senos/ , se podría usar que
dividir por
para hacer aparecer la cotangente y sustituir
…
Interesantes identidades las que propones, Domingo, porque llevan como dices a una demostración elemental de la fórmula para
…
Vamos a calcular el valor de las sumas Como decíamos arriba, vamos a tener en cuenta que Sustituyendo en los valores y dividiendo por vemos que nos dice que las raíces del polinomio de grado son precisamente los valores Finalmente, conociendo las relaciones de Cardano para las raíces de un polinomio y sus coeficientes, vemos que Les animo a que, aprovechando este mismo desarrollo, calculen las dos sumas que faltan: con tangentes y secantes (las sumas de los senos y cosenos también se pueden deducir a partir de esto que acabamos de hacer). Y otra cosa: con esto que acabamos… Lee más »
Bueno, teniendo en cuenta los valores de las dos sumas del comentario anterior vamos a ver un prueba elemental de que . Teniendo en cuenta que , si , vemos, invirtiendo la desigualdad y elevando al cuadrado que . Insertando , para , en esta última desigualdad y sumándolas todas llegamos, conociendo el valor de las sumas de las cotangentes y cosecantes cuadradas, a que Haciendo que tienda a infinito se obtiene el valor de la serie, pues ambos extremos tienden al mismo valor. Yo no sé a ustedes, pero creo que, globalmente, esta prueba es mucho más elemental que… Lee más »
Realmente muy interesante Domingo, la verdad es que ni cerca llegue… Y tengo una duda, ¿qué significa
?
un profe nos puso como ejercicio conseguir el valor usando series de Fourier y me pareció realmente sorprendente. Tanto es así que me dieron ganas de compartirlo asi que aca les dejo la demostración 😀 :
Y con respecto a
Sea
con período
tal que 
y expandimos períodicamente
Ahora calculamos los coeficientes
,
y
con
del desarrollo en serie de Fourier

con lo que
y evaluando
en 
Eze M, el símbolo $\prec$ lo estamos usando ya que el símbolo < nos da problemas.
La prueba basada en los desarrollos en serie de Fourier es elemental, pero tiene como trasfondo el tema de la convergencia puntual de la serie de Fourier a la función que la origina, y esto ya es algo superior.
Domingo H.A., Eze M: ¡Muy buenas pruebas, me han encantado!
Domingo H.A., ¿con convergencia puntual de la serie de Fourier te referis a que
?
Ahora que recuerdo despues de llegar a ese resultado que tanto me sorprendió, hice lo siguiente
y despejando
tambien haciendo exactamente lo mismo generalicé la relación
si bien creo que es correcto hacer eso, tengo mis dudas… 🙂
Eze M, al respecto de la convergencia puntual de la serie de Fourier quiero decir que, partiendo de una función dada (en algún espacio de funciones), habría que justificar que su serie de Fourier asociada converge puntualmente (para cada valor de x) y que lo hace a la propia función de partida. La derivabilidad de la función original basta para asegurarlo (y por eso la serie de Fourier de converge a ). No así la continuidad ni la integrabilidad. Kolmogorov a los 21 años probó que existen funciones (absolutamente) integrables cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos! Un… Lee más »
Por cierto, que quedan dos sumas por hacer. Partiendo de mi comentario del 22 de febrero, lo único que se necesita saber es qué relación existe entre la suma de los inversos de las raíces de un polinomio y los coeficientes del polinomio, y esto se puede obtener a partir de las relaciones de Cardano. Ánimo.
Tu desarrollo es correcto, Eze M, concretamente lo que has obtenido es la función eta de Dirichlet, que es el caso particular de los polilogaritmos cuando el argumento es -1. Tienes más información en:
http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
http://mathworld.wolfram.com/DirichletEtaFunction.html
Indico el valor de las dos sumas que faltan
Hola, ya que veo que os gusta esto de sumar series, os quiero proponer la siguiente:
sum(1/(2*n+1)^2, i = 1 .. N)
Hola Miguel, gracias por tu cuestión. Para responder a este asunto parece que no queda más remedio que usar la función trigamma. Si es válido usar la función trigamma http://en.wikipedia.org/wiki/Trigamma_function entonces
y
. Entonces se ve directo que la suma (parcial) que pides vale:
con lo cual la serie converge al valor conocido
Muchas gracias por vuestra ayuda,necesitaba esta suma para una aplicacion de filtrado de señales, y sin vosotros seguiria igual. Un saludo.
hola..No se como demostrar por induccion la sumatoria de n numeros consecutivos elevados al cuadrado, al cubo, a la 4 agradeceria su ayuda… gracias