Ya que nuestro artículo de ayer lunes está relacionado con congruencias aquí os traigo como problema para esta semana uno también relacionado con ellas. Ahí va el enunciado:
Determina todos los enteros positivos
que satisfacen que para cualesquiera enteros positivos
primos relativos con
se cumple lo siguiente:
si y sólo si
.
Suerte.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Consideremos el grupo multiplicativo de las unidades módulo
, dado por
Entonces, la condición requerida implica que
para todo 
, es decir, para un valor de 
que cumpla la condición tiene que ocurrir que todo elemento de 
tenga orden 
como máximo, pero 
es un grupo cíclico de orden 
donde 
es la función de Euler. De aquí deducimos que 
y no es difícil demostrar que los únicos valores para los que esto se cumple son 
, 
, 
y 
. Ahora bien, estos valores verifican la condición ya que 
tiene sólo uno o dos elementos y, por tanto, son los únicos.
Cuidado,
en general no es cíclico. Por ejemplo 
(que tiene orden 8 ) es isomorfo a 
. Dicho de otra forma, el grupo de Galois de una extensión ciclotómica no tiene por qué ser cíclico.
sino que es necesario descartar todos los casos en los que 
.
Para el caso del problema, en principio no basta con los casos en los que
Uff, el bicho con las gafillas deberia ser un 8 (el orden del grupo de unidades de los enteros módulo 15) y la última fórmula que no se ve debería poner
. ¿Puedes corregirlo, DiAmOnD?
He estado haciendo algunas cuentas, y para
la condicion tambien se verifica: los grupo multiplicativo de unidades tienen ordenes 4 y 8 respectivamente pero son isomorfo a 
y 
, me temo que va a hacer falta usar algo mas serio que la funcion de Euler…
U(n) es cíclico cuando n=p,2,4,p^a, 2*p^a, con p primo impar
es decir, tiene una raíz primitiva si n es de esa forma. Así 1,-1 cumplen con la propiedad para n={p,2,4,p^a, 2*p^a}
Creo que lo tengo. Supongamos que se descompone en factores primos como , entonces el anillo de enteros modulo se descompone como y por tanto para los grupos de unidades tenemos . Si tenemos un factor primo mayor o igual a 5, entonces en el elemento 2 es una unidad que no tiene orden 2 (porque su cuadrado es 4 que no es congruente con 1 modulo para ningun k mayor que 5), por lo que el grupo de unidades tiene elementos de orden distinto de 2, y por tanto los naturales que buscamos se tienen que escribir de la… Lee más »
Estoy de acuerdo con la solución de vengoroso. Observemos que la solución dada es en esencia el teorema chino de los restos.
Tienes razón, vengoroso, mi solución estaba mal. No obstante, esto me ha recordado un problema curioso, aunque muy fácil: ¿para qué valores de
se cumple que 
es una potencia de 
? Creo que las soluciones coinciden justo con los números de lados que un polígono regular ha de tener para que sea constructible con regla y compás.
Manzano, eso último que comentas es cierto y se puede ver usando la multiplicatividad de la
. Si 
(con p primo y 
) entonces 
. Y si 
entonces debe ser que 
y 
potencia de 2. Pero resulta, además, que si 
es primo, entonces 
, obteniendo un primo de Fermat.
https://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/