Este artículo es una colaboración enviada por Raúl Simón para la Edición 13.2: «Johann Faulhaber» del Carnaval de Matemáticas. Debía haberse publicado hace unos días, dentro de las fechas de la edición, pero no fue así por un error mío. Por eso la publico ahora aquí, ya que Raúl no dispone de medio para su publicación. Evidentemente, se considerará como aportación a esta edición aunque se haya acabado publicando fuera de plazo.

Cualquier número entero puede escribirse como suma de (algunas o todas) las potencias de un cierto entero b, llamado “base” del sistema de numeración. Entre ellas se puede incluir el 1 = b^0. Cuando falta alguna potencia, se pone en su lugar la cifra 0.

Veamos algunos casos particulares. El sistema más sencillo es el binario (cuyo principio, según Mitra [1], ya era conocido de los antiguos egipcios). En él sólo existen las cifras 1 y 0, y el 2 (la base) se escribe 10; cualquier otro entero será una sucesión ordenada de unos y ceros. Como nosotros estamos acostumbrados al sistema decimal, para escribir un número grande en binario, debemos saber cuál es la mayor potencia de 2 menor que este número, o igual a él. Esto nos da la cantidad de cifras que necesitaremos. Sea q esta cantidad; el mayor número que se puede escribir con q cifras es el formado por q unos:

n = \displaystyle{\sum_{i=0}^q 2^i=1+2+2^2+\ldots +2^q=2^{q+1}-1} (1)

Cambiando algunos de estos unos por ceros se pueden obtener todos los enteros menores que n. En la Ref.[1] se da un ejemplo quizá demasiado bien escogido:

\displaystyle{\sum_{i=0}^7 2^i=1+2+4+8+16+32+64+128=255=256-1=2^{7+1}-1} (2)

El artículo hace notar que con algunos o todos los términos de la suma anterior se pueden obtener todos los enteros entre 1 y 255. Este último número, en sistema binario, sería 11111111; los enteros menores se obtendrían cambiando algunos de estos unos por ceros.

Todo lo anterior es bastante elemental y conocido (salvo quizá la parte histórica, aludida en Ref.[1]). Lo interesante viene cuando cambiamos de base.

La base que sigue a 2 en sencillez es 3; en ella sólo hay las cifras 1, 2, 0, y el 3 se escribe 10. Curiosamente, hay un ejemplo del uso (aparentemente inconsciente) de la base 3 en el siguiente problema que aparece en la Ref.[2].

El problema de los pesos de Bachet de Méziriac

Un mercader tenía una pesa de 40 libras, que se rompió en 4 pedazos a consecuencia de una caída. Al pesar los pedazos, se encontró que el peso de cada pedazo era un número entero de libras, y que los cuatro pedazos podían usarse para obtener cualquier peso entero entre 1 libra y 40 libras. ¿Cuáles eran los pesos de los 4 pedazos? [2]

Dörrie agrega:

Este problema proviene del matemático francés Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581- 1638), quien lo resolvió en su famoso libro «Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres», publicado en 1624. [2]

A continuación, lo resuelve de una manera elemental, obteniendo la siguiente respuesta:

Conclusión:: los cuatro pedazos pesan 1, 3, 9, 27 libras. [2]

Hasta aquí, Dörrie (y quizá también Bachet). Aparte el resultado mismo, no hay mayor utilización de las potencias de 3. Sin embargo, salta a la vista que los números obtenidos son las 4 primeras potencias de 3 (incluido el 1 = 3^0). Ello significa que el número 40, en el sistema ternario, se escribe 1111. Escrito en forma moderna:

\displaystyle{\sum_{i=0}^3 3^i=1+3+9+27=\cfrac{3^{3+1}-1}{3-1}=\cfrac{80}{2}=40} (3)

Sin pensar en sistemas de numeración, cabría preguntarse: ¿no sería posible descomponer el número del primer ejemplo (255) en potencias de 3, y el del segundo (40) en potencias de 2? Sí, pero las potencias que aparecen en cada caso no son todas las menores que el número dado. De hecho:

255=3^1+3^2+3^5 (4a)

40=2^3+2^5 (4b)

En sistema ternario, 255 se escribe 100110, y 40, en binario, se escribe 101000.

Vemos que los dos ejemplos dados están muy bien elegidos: 255=256-1=2^8-1, y 40=\frac{3^4-1}{3-1}. Cualquier número menor que uno de éstos se puede escribir como suma de algunas potencias de la base respectiva, con un exponente menor que el que figura en las expresiones anteriores.

Podemos entonces generalizar lo encontrado, diciendo que, en base b, se cumple:

\displaystyle{\sum_{i=0}^q b^i=\cfrac{b^{q+1}-1}{b-1}=n} (5)

En el sistema de base b, el entero n se escribe como una sucesión de q unos; cualquier entero menor se obtiene cambiando algunos unos por ceros.

En los ejercicios anteriores, se nos daba el número n, y nuestra tarea (autoimpuesta) consistía en hallar la base b tal que, en esa base, n se escribiera 111…1, una sucesión de unos. Despejando n de la Ec.(5) (tomando primero la primera expresión y luego la segunda), obtenemos

b^q+b^{q-1}+\ldots +b^2+b-(n-1)=0 (6a)

b^{q+1}-nb+(n-1)=0 (6b)

La Ec.(6a) se parece a la llamada ecuación ciclotómica [3], pero difiere de ella por el término independiente. La Ec.(6b) parece más sencilla, pero no tiene por qué serlo. En general, no hay razón para esperar que ninguna de las Ecs.(6a-b) tenga solución entera positiva, ni siquiera real. Ello significa que nuestro problema, en general, no tiene solución.


Referencias:

  • [1] Mitra, A.: Pi in the Sky 19, (2015), p. 3.
  • [2] Dörrie, H.: “100 Great Problems of Elementary Mathematics, their History and Solution”, Dover, New York, 1965, pp. 7-9.
  • [3] Ibid., p. 179, ver circle partition equation.

Esta entrada participa en la Edición 13.2 del Carnaval de Matemáticas, que esta ocasión organiza Gaussianos.

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