Como hemos comentado en algún otro momento (como cuando hablamos sobre integración por partes), el tema de la integración es, en muchas ocasiones, un arte. Y hasta llegar a dominar este arte mucha gente sufre, suda sangre y necesita invertir una gran cantidad de tiempo (cada vez más). ¿Tiene algún sentido entonces complicar aún más la vida al personal? Parece que algunos piensan que sí…

Voy a hablaros de un par de cuestiones que mis chicos se han encontrado en clase este año, relacionadas con integrales, que a mí me parecen sinsentidos. Y en las dos los protagonistas son profesores universitarios.

Cálculo de las constantes en integración de funciones racionales

En integración de funciones de una variable se considera función racional a un cociente de polinomios, por lo que el objetivo en este caso es calcular la integral

\displaystyle{\int \cfrac{P(x)}{Q(x)} \; dx}

donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.

Sin entrar en muchos detalles sobre su resolución, la cuestión es que cuando el grado del polinomio de arriba es menor que el grado del polinomio de abajo debemos factorizar el de abajo y expresar el cociente de polinomios como suma de fracciones simples en cuyos numeradores aparecen constantes que hay que determinar. Nos situamos, ¿verdad?

Bien, hay dos métodos para calcular esas constantes, para los cuales primero hay que expresar esa suma de fracciones simples como una única fracción cuyo denominador será el inicial, Q(x). Después igualamos numeradores, el inicial, P(x), y el que nos queda en dicha fracción, con lo que obtenemos una igualdad de polinomios. Los dos métodos son los siguientes:

  1. Igualamos los coeficientes pertenecientes al mismo monomio de los dos polinomios. Con esto obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las constantes que queremos calcular. Resolvemos el sistema y ya tenemos dichas constantes.
  2. Sustituimos x por tantos valores distintos como constantes haya que calcular. Con cada valor sustituido obtenemos una ecuación. Resolviendo el sistema formado por todas ellas obtenemos también nuestras constantes.

Los dos son válidos, ya que se basan en las propiedades de la igualdad de polinomios:

  1. Si dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes del mismo monomio de cada polinomio son iguales.
  2. Si dos polinomios son iguales, entonces los valores que dejan al sustituir la variable por cualquier número real son iguales.

Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve, que no nos va a dar las soluciones correctas en todos los casos. Así, sin más, sin dar ninguna explicación o al menos un ejemplo en el que eso ocurra.

La cuestión es que este segundo método suele dejar ecuaciones más sencillas que el primero, por lo que el cálculo de las constantes es mucho más rápido y, por tanto, más sencillo. ¿Por qué decirles que no sirve siempre? Lo único que se me ocurre es que él prefiera que resuelvan estos ejercicios igualando los coeficientes de ambos polinomios, pero ¿es necesario decirles algo que no es cierto? Yo creo que no.

Colocación de los diferenciales en una integral doble

En la segunda cuestión nos adentramos ya en la integración múltiple, en concreto en este caso en integración doble. Otra vez sin entrar demasiado en detalles, la integral doble de la función f(x,y) sobre la región bidimensional \Omega se escribiría de esta forma:

\displaystyle{\int \int_{\Omega} f(x,y) \; dx \; dy}

El procedimiento para resolver esta integral consiste en calcular los límites de integración de x y de y y después integrar primero respecto de una variable y después respecto de la otra. ¿En el orden que queramos? En general no, dependerá de los límites de integración. Pero no nos vamos a meter en eso.

La cuestión es que después de calcular los límites de integración los colocaríamos en las integrales (aquí es donde hay que tener algo de cuidado) y después colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración. Con esto ya tenemos la integral totalmente planteada, y la podemos resolver calculando la integral interior y después la integral exterior del resultado de la interior.

¿Qué significa eso de «…colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración«? Muy sencillo. Si observáis la forma en la que se resuelve la integral (primero la de dentro y después la de fuera), se entiende que lo más lógico es que el diferencial que se escribe al final (el externo, el de fuera) sea el de la variable cuyos límites de integración están colocados en la primera integral que se escribe (la externa, la de fuera), y que el diferencial de dentro vaya con la integral de dentro, ¿verdad? Os pongo un ejemplo:

Si \Omega = \{ (x,y) \; / \; a \le x \le b, c \le y \le d \}, entonces la integral doble de una función f(x,y) sobre \Omega se puede plantear de estas dos maneras:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dy \; dx} \qquad \qquad \displaystyle{\int_c^d \int_a^b f(x,y) \; dx \; dy}

(Por comodidad se han tomado números reales para todos los límites de integración. En general, como hemos comentado, habría que tener algo más de cuidado al colocarlos.)

¿Os habéis fijado en la colocación de los límites de integración y los diferenciales? En cada uno de los planteamientos la integral de fuera corresponde con el diferencial de fuera, y la integral de dentro con el diferencial de dentro (las de fuera están con una tipografía y las de dentro con otra):

\displaystyle{ \mathbf{ \int_a^b } \int_c^d f(x,y) \; dy \; \mathbf{ dx }}

Y hemos dicho que esa es la mejor forma de colocarlos para evitar errores y para que la gente no se líe, ya que así nos queda completamente planteada la integral de dentro, que es la primera que hay que hacer, y tenemos todo colocado para hacer después la integral de fuera:

\displaystyle{\mathbf{ \int_a^b } \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; \mathbf{ dx }}

¿No os parece la manera más razonable de colocar las cosas? Bien, pues parece que a algunos profesores de por aquí no les parece la manera más coherente. Hay un profesor que obliga a colocar los diferenciales al contrario en el planteamiento inicial. ¿La razón? No la sé, simplemente que hay que colocarlo así y punto. Vamos, que el planteamiento inicial de la integral anterior quedaría así:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy}

¿Entonces hay que integrar primero respecto de x? No, el orden de integración sigue siendo el marcado por el orden en el que hemos colocado los límites de integración, por lo que en el siguiente paso hay que cambiar los diferenciales de sitio y seguir el ejercicio como hemos comentado antes. Esto es, la cosa se escribiría tal que así, según este profesor:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy = \int_a^b \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; dx}

Y digo yo: si en el siguiente paso vamos a colocar las cosas bien, ¿qué sentido tiene obligar a que se coloquen al revés en el planteamiento inicial? Lo único que se consigue con esto es que los chavales se confundan, y creo que no es ése el objetivo que se persigue, ¿verdad?

Ah, este tema es aún más grave, ya que este profesor que coloca los diferenciales al revés de como debería ha obligado al profesor del primer curso (él da en un curso superior) a colocar los diferenciales también al revés, cuando éste último los colocaba bien hasta el año pasado. Lo que decía al principio, un sinsentido.

Con todo esto no pretendo criticar a los profesores en conjunto, ni siquiera a estos dos profesores. Lo que pretendo es hacer ver que debemos intentar poner todo lo posible por nuestra parte para que la comprensión de los contenidos sea completa. Quizás así tampoco lo consigamos con todo el mundo, pero seguro que complicando las cosas de manera innecesaria tampoco lo haremos. Posiblemente lo mejor que se puede hacer es acordar unas Reglas de higiene matemática razonables, que ayuden en vez de molestar, y que sean coherentes con los principios matemáticos y con la manera en la que se realizan los propios cálculos.

Me interesa especialmente vuestra opinión sobre todo esto. Os agradeceré mucho que lo hagáis en los comentarios.

Por cierto, estos profesores no son los que protagonizaron el affaire de la condición suficiente de diferenciabilidad, pero dan clase en el mismo sitio, donde también dio clase la profesora de la que os hablé aquí. Y os aseguro que hay muchas más cosas que contar, pero por ahora voy a dejarlo aquí. De todas formas creo que va tocando un poquito de reflexión.

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