Como hemos comentado en algún otro momento (como cuando hablamos sobre integración por partes), el tema de la integración es, en muchas ocasiones, un arte. Y hasta llegar a dominar este arte mucha gente sufre, suda sangre y necesita invertir una gran cantidad de tiempo (cada vez más). ¿Tiene algún sentido entonces complicar aún más la vida al personal? Parece que algunos piensan que sí…
Voy a hablaros de un par de cuestiones que mis chicos se han encontrado en clase este año, relacionadas con integrales, que a mí me parecen sinsentidos. Y en las dos los protagonistas son profesores universitarios.
Cálculo de las constantes en integración de funciones racionales
En integración de funciones de una variable se considera función racional a un cociente de polinomios, por lo que el objetivo en este caso es calcular la integral
donde tanto 
Sin entrar en muchos detalles sobre su resolución, la cuestión es que cuando el grado del polinomio de arriba es menor que el grado del polinomio de abajo debemos factorizar el de abajo y expresar el cociente de polinomios como suma de fracciones simples en cuyos numeradores aparecen constantes que hay que determinar. Nos situamos, ¿verdad?
Bien, hay dos métodos para calcular esas constantes, para los cuales primero hay que expresar esa suma de fracciones simples como una única fracción cuyo denominador será el inicial,
- Igualamos los coeficientes pertenecientes al mismo monomio de los dos polinomios. Con esto obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las constantes que queremos calcular. Resolvemos el sistema y ya tenemos dichas constantes.
- Sustituimos
por tantos valores distintos como constantes haya que calcular. Con cada valor sustituido obtenemos una ecuación. Resolviendo el sistema formado por todas ellas obtenemos también nuestras constantes.
Los dos son válidos, ya que se basan en las propiedades de la igualdad de polinomios:
- Si dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes del mismo monomio de cada polinomio son iguales.
- Si dos polinomios son iguales, entonces los valores que dejan al sustituir la variable por cualquier número real son iguales.
Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve, que no nos va a dar las soluciones correctas en todos los casos. Así, sin más, sin dar ninguna explicación o al menos un ejemplo en el que eso ocurra.
La cuestión es que este segundo método suele dejar ecuaciones más sencillas que el primero, por lo que el cálculo de las constantes es mucho más rápido y, por tanto, más sencillo. ¿Por qué decirles que no sirve siempre? Lo único que se me ocurre es que él prefiera que resuelvan estos ejercicios igualando los coeficientes de ambos polinomios, pero ¿es necesario decirles algo que no es cierto? Yo creo que no.
Colocación de los diferenciales en una integral doble
En la segunda cuestión nos adentramos ya en la integración múltiple, en concreto en este caso en integración doble. Otra vez sin entrar demasiado en detalles, la integral doble de la función 
El procedimiento para resolver esta integral consiste en calcular los límites de integración de 
La cuestión es que después de calcular los límites de integración los colocaríamos en las integrales (aquí es donde hay que tener algo de cuidado) y después colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración. Con esto ya tenemos la integral totalmente planteada, y la podemos resolver calculando la integral interior y después la integral exterior del resultado de la interior.
¿Qué significa eso de «…colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración«? Muy sencillo. Si observáis la forma en la que se resuelve la integral (primero la de dentro y después la de fuera), se entiende que lo más lógico es que el diferencial que se escribe al final (el externo, el de fuera) sea el de la variable cuyos límites de integración están colocados en la primera integral que se escribe (la externa, la de fuera), y que el diferencial de dentro vaya con la integral de dentro, ¿verdad? Os pongo un ejemplo:
Si
, entonces la integral doble de una función
(Por comodidad se han tomado números reales para todos los límites de integración. En general, como hemos comentado, habría que tener algo más de cuidado al colocarlos.)
¿Os habéis fijado en la colocación de los límites de integración y los diferenciales? En cada uno de los planteamientos la integral de fuera corresponde con el diferencial de fuera, y la integral de dentro con el diferencial de dentro (las de fuera están con una tipografía y las de dentro con otra):
Y hemos dicho que esa es la mejor forma de colocarlos para evitar errores y para que la gente no se líe, ya que así nos queda completamente planteada la integral de dentro, que es la primera que hay que hacer, y tenemos todo colocado para hacer después la integral de fuera:
![\displaystyle{\mathbf{ \int_a^b } \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; \mathbf{ dx }}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B+%5Cint_a%5Eb+%7D+%5Cleft+%5B+%5Cint_c%5Ed+f%28x%2Cy%29+%5C%3B+dy+%5Cright+%5D+%5C%3B+%5Cmathbf%7B+dx+%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{ \int_a^b } \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; \mathbf{ dx }}")
¿No os parece la manera más razonable de colocar las cosas? Bien, pues parece que a algunos profesores de por aquí no les parece la manera más coherente. Hay un profesor que obliga a colocar los diferenciales al contrario en el planteamiento inicial. ¿La razón? No la sé, simplemente que hay que colocarlo así y punto. Vamos, que el planteamiento inicial de la integral anterior quedaría así:
¿Entonces hay que integrar primero respecto de
![\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy = \int_a^b \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; dx}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cint_a%5Eb+%5Cint_c%5Ed+f%28x%2Cy%29+%5C%3B+dx+%5C%3B+dy+%3D+%5Cint_a%5Eb+%5Cleft+%5B+%5Cint_c%5Ed+f%28x%2Cy%29+%5C%3B+dy+%5Cright+%5D+%5C%3B+dx%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy = \int_a^b \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; dx}")
Y digo yo: si en el siguiente paso vamos a colocar las cosas bien, ¿qué sentido tiene obligar a que se coloquen al revés en el planteamiento inicial? Lo único que se consigue con esto es que los chavales se confundan, y creo que no es ése el objetivo que se persigue, ¿verdad?
Ah, este tema es aún más grave, ya que este profesor que coloca los diferenciales al revés de como debería ha obligado al profesor del primer curso (él da en un curso superior) a colocar los diferenciales también al revés, cuando éste último los colocaba bien hasta el año pasado. Lo que decía al principio, un sinsentido.
Con todo esto no pretendo criticar a los profesores en conjunto, ni siquiera a estos dos profesores. Lo que pretendo es hacer ver que debemos intentar poner todo lo posible por nuestra parte para que la comprensión de los contenidos sea completa. Quizás así tampoco lo consigamos con todo el mundo, pero seguro que complicando las cosas de manera innecesaria tampoco lo haremos. Posiblemente lo mejor que se puede hacer es acordar unas Reglas de higiene matemática razonables, que ayuden en vez de molestar, y que sean coherentes con los principios matemáticos y con la manera en la que se realizan los propios cálculos.
Me interesa especialmente vuestra opinión sobre todo esto. Os agradeceré mucho que lo hagáis en los comentarios.
Por cierto, estos profesores no son los que protagonizaron el affaire de la condición suficiente de diferenciabilidad, pero dan clase en el mismo sitio, donde también dio clase la profesora de la que os hablé aquí. Y os aseguro que hay muchas más cosas que contar, pero por ahora voy a dejarlo aquí. De todas formas creo que va tocando un poquito de reflexión.
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Realmente es una pena que los profesores de matemáticas hagan «imposiciones» de nomenclatura o método sin demostrar nada…¿No va eso en contra de lo que son las matemáticas?
Creo que así los chavales se desaniman, se vienen abajo y encima se les complica la existencia. El año que viene llega otro profesor que les «obligue» a escribir las cosas de otra forma y ya tienen el pisto montado….
Espero que este tipo de sinsentidos estén en extinción o servidor va a pasarlo mal estudiando matemáticas :P.
Información Bitacoras.com…
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Con el primero de los casos me he encontrado alguna vez, y puedo verle una explicación al intento del profesor de convencer a los alumnos por el 1er método. Supongamos que tenemos (x+1)/((x^2+1)(x^2+2)). Si por algún casual el alumno intenta ponerlo como A/(x^2+1)+B/(x^2+2) (y no como Ax+C y Bx+d) acostumbrado a las más simples, puede proceder con el método de sustituir la x después y pensar que está haciéndolo bien, cuando claramente no es así. Y como hay prisa no se comprueba. Con el otro método, en principio, te das cuenta de la mala suposición y no fallas. Claro está… Lee más »
Yo siempre he preferido la forma que me enseñaron en ecuaciones diferenciales. Después del signo de integral, el diferencial:
Así no hay confusiones. Luego separas (si es posible por Fubini) e integras.
Quería comentar porque algunos docentes toman la decisión de que el primer método no es válido. Creo que el el tema es que a la izquierda de la igualdad que nos queda, tenemos un polinomio y a la derecha una suma de términos factoreados. Por ejemplo: 1 = A(x-2)(x-3) + B(x-3)(x-1) + C(x-2)(x-1) y para abreviar se toma x = 2, x = 3, x = 1 y de esa manera se pueden calcular A, B y C, pero al tomar esos valores estamos haciendo cero los denominadores de la cual provino la igualdad y creo que ahí es donde… Lee más »
Enzo, aun asi pienso que el método es correcto.Al menos no se me ocurre un caso para el que no valga..Las ecuaciones resultantes son más sencillas.
Estoy más que de acuerdo con sheriff. Veamos Lo peor que puede hacer uno es tomar por su valor nominal lo que dice un alumno, por niversitario que sea. El estilo indirecto del relato es muy engañoso. Vamos, que me gustaría saber (sobre todo en el primer caso) las palabras textuales del profesor. El estilo indirecto no lleva a esto: «Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve,» A lo mejor lo que ha dicho literalmente es «el método no OS sirve» o alguna variante.… Lee más »
El segundo caso me parece, en efecto, bien relatado y una pura manía del profesor.
Pero es irrelevante. Tu pretensión es tan estética como la del profesor: parece que los dos estáis de acuerdo en qué variables hay que poner primero cuando se introducen los paréntesis que separan (anidan) las dos integrales.
Si no hacemos el estudio más sencillo para los chavales, tardarán al menos dos milenios y pico en volver a descubrirlo todo paso por paso, error por error… estamos para facilitar, no para dar por saco o parecer muy inteligentes (por ser incomprensibles).
Aunque con frecuencia sean estos últimos mucho más valorados que los son tan buenos que los alumnos exclaman: «Ah, pero es solamente eso?»
Muchas gracias por la mención, ya que estamos…
Saludos
Javi
Hombre, yo la verdad es que escucho algunas cosas que no me las creo del todo. Conozco a la gente que me cuenta sus «historias» y algunas son más que eso; cada uno cuenta lo que le interesa y exageran muchísimo las cosas. ¿Mi experiencia? No tengo queja ninguna. Lejos de imponernos una notación (que en algunos casos no hay más remedio) la mayoría de las veces los profesores nos preguntan si la notación que usamos es la suya, y si no es así el profesor cambia la suya por la nuestra. Es verdad que hay ciertas asignaturas que, al… Lee más »
Yo explico los dos y ellos usan el que prefieran (que suele ser el más sencillo), pero es cierto que algunos profesores tienen unas manías impresionantes. Yo creo que sólo le tengo tirria a la regla de tres y sólo en 1º y 2º de eso, por aquello de que entiendan la proporcionalidad. El post me ha recordado las barbaridad que he visto explicadas en algunas clases particulares, jajaja. Pero lo más gracioso fue cuando el profesor cogió mis apuntes (hechos por mí enteros) colgados en el blog del grupo del curso anterior (en pdf), recortó la cabecera con el… Lee más »
En el de las integrales múltiples sólo le veo la explicación de la manida notación de la composición de funciones, que también se las trae en el orden de ponerlas en algunos profesores. O también el orden de poner las parciales en varias variables.
Diamond, es bueno tu artículo, a mi me interesan mucho estos temas (la enseñanza de las matemáticas). Algo importante a mi parecer de este post, es que quien enseña (si está interesado en el aprendizaje del alumno) trate de hacer que las cosas sean más fáciles para el alumno, y que esté abierto a que hay más de un camino para resolver un problema, el hecho de que él personalmente prefiera un método sobre otro no significa que deba imponerlo a sus alumnos. Sin embargo me he encontrado con cosas realmente sin sentido acerca de cómo enseñan algunos profesores, parece… Lee más »
Cada uno puede hacer lo que quiera, siempre que sea tolerante con la notación de los demás. Sin embargo, esto no quita que haya notaciones más intuitivas que otras. Como dijo el gran matemático Alfred North Whitehead:
‘Gracias al simbolismo avanzamos en el razonamiento casi mecánicamente, sólo con la mirada; sin él tendríamos que utilizar centros más especializados del cerebro. Una buena notación nos libera de trabajo innecesario y nos permite concentrarnos en los aspectos más difíciles de los problemas.’
Exacto, la notación debe ser la mejor posible, debe tener como objetivo mejorar la comprensión de los contenidos en vez de provocar errores y problemas. Maestrillo, cierto es que a veces los chavales cuenta «su historia», que luego ves que no corresponde con la realidad. De todas formas te puedo garantizar que después de unos años ya he desarrollado un sexto sentido que me indica cuándo me están contando algo que puede ser cierto y algo que es una mala interpretación del asunto. Sobre el tema del cálculo de las constantes, la disquisición salió porque después de enseñarles únicamente el… Lee más »
No es por polemizar, pero el primer caso necesita de las palabras textuales del profesor y, luego, del contexto. «No siempre es válido» no es lo mismo que «no siempre vale», que es parecido pero no igual a «no siempre sirve», a su vez parecido aunque no igual a «no siempre funciona» o «no siempre va bien». La primera es una aseveración matemática fuerte, los otras expresiones tienen un componente práctico progresivamente más importante. Por el parecido pueden darse sin más por iguales sin que, como vemos, lo sean. Y aún siendo la realidad primer caso, está el contexto, si… Lee más »
Maestrillo, yo entendí lo que me comentaron los chicos como que el profesor quería decir que «no sirve en todos los casos». Vamos, que hay casos en los que el método no sirve, y eso es falso. Aunque sí tienes razón en que deberíamos haber estado allí para escuchar qué decía. Por ejemplo, a mí tampoco me valdría preguntarle ahora para confirmar que dijo eso, porque ya me ha ocurrido que una profesora ha dicho una cosa en clase que era mentira (confirmada a través de los apuntes y testimonios de multitud de alumnos) y luego intentó retractarse delante de… Lee más »
Entiendo el «no siempre es válido» como que hay casos en que hay que tener especial cuidado. Por ejemplo, si el denominador tiene una raiz múltiple, hay que poner el factor correspondiente multiples veces (o poner un numerador de grado superior). Pero en esos casos, si por simplificar cogemos las raices como valores, nos faltarán ecuaciones. Es decir, no es que no sea válido, si no que hay que pensar un poco al utilizarlo. La cuestión, para mi, es que quisiera decir lo que quisiera decir, incluso aunque fuera cierto y hubiera casos donde no funcionara, les estaría haciendo un… Lee más »
Pues está bien esto de ir recordando posts anteriores con alguna relación, gracias a éste he llegado a las condiciones «necesarias y suficientes» de la diferenciabilidad, incluso tuve que aprenderme de memoria cuándo poder afirmar una cosa y cuándo poder negarla.
Con tan simple concepto lo habría/mos aprendido casi al instante.
A muchos chavales ya les empiezan a «confundir» de pequeñinos. Os explico: en un instituto público de Asturias una profesora de la asignatura de Física y Química de 1º de Bachillerato les dijo a unos alumnos que para resolver un problema de dos móviles, separados una distancia, que van en la misma dirección pero en sentido contrario, uno al encuentro del otro, no se podía aplicar la técnica de colocar el origen de un sistema de referencia en uno de ellos, calcular las ecuaciones de la posición de ambos respecto a dicho SR en función del tiempo, t, e igualar… Lee más »
Más que estos errores que se localizan y corrigen con facilidad, me preocupan los otros… los que no se detectan, y se propagan como una peste. Hay errores así en todas las áreas del conocimiento, y las matemáticas no son una excepción. En física por ejemplo, son muchos los físicos que creen que el desplazamiento al rojo observable en la luz de las galaxias lejanas, se debe al efecto doppler (o una versión relativista del mismo), cuando en realidad se debe a que el universo se ha expandido desde que la luz salió de la fuente, y también se ha… Lee más »
Sive, depende de los axiomas que tomes. Lo habitual no es tomar que
por definición. Es una consecuencia inmediata de las propiedades de cuerpo:
Ratoncillo ¿Y cómo sabes que el producto cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma sin conocer previamente el valor de ? Lo único que has demostrado es que en una estructura de anillo, la operación que llamamos producto de un elemento cualquiera del conjunto, por el elemento neutro de la operación que llamamos suma, da como resultado necesariamente el elemento neutro de la operación que llamamos suma. Pero para que esto sea válido para el producto y la suma convencionales, es necesario demostrar antes que, efectivamente, tienen estructura de anillo con, pongamos, los números reales. Y eso no… Lee más »
Sive, estaría de acuerdo contigo si en lugar de decir que no se puede demostrar que
dijeses que no se puede demostrar la propiedad distributiva en un anillo, ya que ésta última se toma por definición. Pero es claro que 
es una consecuencia de la definición de anillo, formal o no, pero al fin y al cabo una consecuencia no una definición. Otra cosa, es que definas que en un conjunto se cumple 
, pero lo que decía que esto no es lo más habitual.
Ratoncillo lo que digo es que no se puede demostrar la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma, al menos cuando uno de los operandos es cero, sin usar el resultado . Por tanto, no se puede, sin incurrir en razonamiento circular, usar la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma para probar que . Haz la prueba, intenta probar que sin apoyarte en . ¿Y que pintan en todo esto las estruturas algebraicas que se estudian en álgebra abstracta? Pues que probablemente debido al modo en que se explican en clase, en particular, cuando llega… Lee más »
Yo creo que es importante que en cualquier área del conocimiento se deje claro qué es una preferencia personal y qué es un procedimiento incorrecto. Transmite una mala imagen de ese área que se argumente como «no me gusta» respecto de un procedimiento para que éste no lo pueda aplicar el alumno. Me he encontrado en muchos casos profesores que permiten que se utilicen procedimientos para resolver un problema que no han enseñado, e incluso en ocasiones, que le son desconocidos al profesor, siempre que el alumno lo entienda. Sin embargo, tampoco es raro encontrar profesores que tachan de incorrectos… Lee más »
Yo creo que es importante que en cualquier área del conocimiento se deje claro qué es una preferencia personal y qué es un procedimiento incorrecto. Transmite una mala imagen de ese área que se argumente como «no me gusta» respecto de un procedimiento para que éste no lo pueda aplicar el alumno. Me he encontrado en muchos casos profesores que permiten que se utilicen procedimientos para resolver un problema que no han enseñado, e incluso en ocasiones, que le son desconocidos al profesor, siempre que el alumno lo entienda. Sin embargo, tampoco es raro encontrar profesores que tachan de incorrectos… Lee más »
Sobre las integrales iteradas, yo pongo los paréntesis y listo. No cuesta nada, los alumnos no confunden la notación con la dxdy de la integral doble, y explica mejor qué hay que hacer. Y es que a veces nos da por montar unos follones para ahorrar notación que no veas… Sobre el tema de coeficientes indeterminados, parece el típico ejemplo de teléfono roto. A mí me han pasado cosas similares. Por ejemplo, para probar que una función de 2 variables no es continua en el origen muchas veces hay que encontrar 2 trayectorias hacia el origen a lo largo de… Lee más »
Pablo, sí, yo pongo corchetes, como viene en este post, creo que es lo mejor.
Sobre lo de los coeficientes, sí, quizás sea por eso, pero es que me lo ha comentado más de uno…No sé.
Sobre lo de los límites dobles, sí, es cierto. Yo suelo recalcar mucho eso para que no se interprete mal, pero siempre hay alguien que quiere simplificar demasiado las cosas tiene el error que comentas. Pero bueno, habrá que seguir intentándolo :).
Otra cuestión interesante que no sé si habrás tratado en alguna otra entrada es qué tipo de contenidos tiene sentido dar en una Ingeniería y cuáles no. Por ejemplo, yo hace años que no me meto en lo de los límites dobles. Con la reducción de créditos que muchas asignaturas sufren hay que dejarse contenidos por el camino. Y yo, la verdad, veo más importante enfatizar multiplicadores de Lagrange o aplicaciones adicionales de la integral múltiple que algo más académico y menos aplicable como la continuidad o diferenciabilidad en el origen de una función «ad hoc». En fin, es una… Lee más »
Pablo, pues creo que tienes razón. Por aquí, en Ciudad Real, prácticamente ha desaparecido el estudio del límite doble de una función en el origen. Antes se daba en Ingeniería Industrial, en Ingeniería Química, en Lic en Químicas, en Empresas, etc., y este año ya no se ha dado en ninguna de ellas. Lo mismo ocurre con la diferenciabilidad, que casi ha desaparecido también (se mantiene, creo, en Ingeniería Industrial). Como te decía, yo también creo que es más importante enfatizar en multiplicadores de Lagrange (de cara a la optimización, que por aquí aparece en muchas titulaciones) y en integración… Lee más »
O existe un convenio para todos, o debemos indicar de forma explicita lo que queremos expresar.
A mí me enseñaron de forma estricta así:
aunque, yo lo escribía de cualquier manera. Total, yo sabía cual era cual 🙂
Creo que uno de los problemas de estos post es que a menudo nos preocupamos por que es correcto, y se desechan todas las ideas de tipo práctico, cuando en todos los estudios hay 2 variantes, el tiempo, (que no es infinito), y la necesidad de cierta «objetividad» a la hora de asignar una nota a la asignatura, (que se solventa tiendo una prueba escrita), que obligan ha hacer cosas absurdas a menudo. Recuerdo cuando mi profesor de primaria me explico que multiplicar por cero era sumar cero veces la cantidad y por esto siempre daba cero de resultado. A… Lee más »
Hace un par de semanas mi profesor de matemáticas de la universidad nos dijo lo mismo, que si aplicamos la segunda forma que comentas esta podría llevarnos a error (luego nos dijo que aplicaramos el que más fácil nos pareciera pq duda mucho que nos pasara). No nos dio ni un maldito ejemplo…
RESPUESTA: Supongamos que estamos en la situación,P(x)/Q(x)=A(x)/Q(x), de aquí P(x)=A(x). Donde A(x) es un polinomio que incluye las constantes que queremos calcular. Supongamos que máx {gradoP(X),grado A(x)}=n, entonces P(x), A(x) son vectores del espacio vectorial R[x]n, polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes en R, donde sabemos que el sistema de las potencias de x : {1,x,x2, x3,…,xn} es una base de R[x]n, y por lo tanto todo vector de R[x]n se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de esta base; luego si P(x)=A(x) los coeficientes de P(x) y A(x) deben ser iguales… Lee más »
El segundo método siempre vale (yo nunca lo había usado). La justificación de que vale siempre debería de ir por el tema de que n puntos determinan de modo unívoco (existe solución y es única) al problema de interpolación polinómica. Por tanto, creo que el último comentario está equivocado en su comentario sobre el segundo método. La clave de la demostración de la existencia y unicidad de solución del problema de interpolación sale (si no recuerdo mal) argumentando que el determinante de la matriz de coeficientes es de Vandermonde; y entonces, como los n valores en los que sustituyes son… Lee más »
Sive | 19 de mayo de 2012
No entedi tu explicacion del corrimiento al rojo de una estrella. Quiero decir, si no tienes en cuenta el efecto doppler, por que la luz que emite una estrella, cumulo o galaxia va a estar desplaza simplente por moverse?