Un producto muy primo

Estamos en verano, así que seguro que muchos lectores tendrán más tiempo del habitual. Y estoy convencido de que estarán dispuestos a invertir en resolver el problema que propongo a continuación.

Aquí tenéis el enunciado:

Calcula el valor del siguiente producto infinito:

\displaystyle{\prod_{p\,\, \mathrm{prime}} \cfrac{p^2+1}{p^2-1}}

Si alguien encuentra la solución pronto, estaría bien que no desvelara el procedimiento seguido demasiado pronto. Así dejaremos tiempo para que el resto pueda intentarlo. Que se os dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comments

  1. Hola.

    ¿Es posible que haya algún error tipográfico en la expresión? Porque es un producto de infinitos términos, cada uno de ellos >1 …

    Saludos

    Post a Reply
    • Hola, Manuel.

      Que esos términos sean mayor que 1, aunque sea para un producto, no implica necesariamente divergencia; basta tomar la sucesión (1+1/n)^n (que es un producto de n términos mayores que 1) que converge al número e de Euler para ver que esa implicación no es, como digo, necesariamente verdadera.

      Post a Reply
    • Manuel, tomando logaritmos tu duda es equivalente a si una suma de infinitos términos todos mayores que cero puede converger … Claro que puede si tienden a cero, a 1 en el caso del producto, aunque no necesariamente.

      En este caso el producto si que converge, concretamente a 5/2.

      Post a Reply
  2. También obtuve 5/2, claro que lo mío fue a fuerza bruta usando Excel y 1000 primos. Lo cual me lleva a una conjetura, no a la demostración. Peor es nada.

    Post a Reply
  3. Intenté con logaritmos, pero no me lleva a ningún lado.

    Post a Reply
    • La solución es muy técnica, con bastante teoría detrás.

      Post a Reply
  4. Como sugerencia, se puede resolver fácilmente descomponiendo «ese producto de Euler»…

    Post a Reply
  5. Multiplicando y dividiendo la expresión por p^2, tenemos dos productos de Euler, que podemos convertir en valores de la función Zeta:
    II((p^2+1)/(p^2-1))=II((p^2+1)/p^2)*(p^2/(p^2-1))=(Z(2)/Z(4))*Z(2)=(Pi^4/36)/(pi^4/90)=5/2

    Post a Reply
  6. No soy matemático, pero algo de formación tengo. Desde el principio lo intente haciendo uso de los productos de Euler, la función zeta… Pero no me quito un pi al cuadrado de ninguna de las maneras; Es decir, obtengo (pi^2)*5/2

    Post a Reply

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Submit a Comment

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.