Introducción
El número , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:
- Un número real
es algebraico si existe un polinomio
con coeficientes enteros tal que
, es decir,
es una raíz de
.
- Un número real
es trascendente si no es algebraico, es decir, si
no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
El número
es trascendente
La demostración que vamos a desarrollar se debe a Hermite. En concreto probaremos lo siguiente:
Teorema:
El número es trascendente sobre
Demostración:
Supongamos que existe un polinomio con
tal que
es una de sus raíces, es decir,
. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
(si
dividimos entre
a ambos lados y nos quedaría
como término independiente, y así sucesivamente). Definimos ahora la siguiente función:
donde por ahora es un número primo arbitrario.
Definimos ahora otra función:
Definidas así, para se tiene que si
:
Y para tenemos:
por lo que:
Multiplicando ahora esta igualdad por y sumando en
conseguimos lo siguiente:
(Ese que queda multiplicando a
se debe a que al sumar en
nos queda
, que sabemos que es cero por haber supuesto que
es una raíz del polinomio inicial.)
Tengamos ahora en cuenta que es un número entero que es divisible por
excepto en el caso en el que
y
. La razón es la siguiente:
Los únicos valores de
que no son cero provienen de términos donde el factor
ha sido derivado
veces. En estos casos obtendremos en el numerador
, que cancela al
del denominador, con lo que el valor también es un número entero. Como además queda
en el numerador se tiene que ese valor es divisible por
.
Pero en la excepción que hemos comentado el valor de no es divisible por
. Se puede ver fácilmente que
Eligiendo ahora un primo (recordemos que era arbitrario) mayor que
tenemos que dicho producto no puede tener a
como factor primo.
Ahora, el lado derecho de esta igualdad es un número entero distinto de cero. Pero haciendo tender a infinito tenemos que el lado izquierdo tiende a cero utilizando la acotación para
mostrada anteriormente. Esto es una contradicción que nos lleva al resultado que queríamos demostrar:
No existe polinomio alguno con coeficientes enteros tal que el número
sea una de sus raíces.
Fuente:
- El próximo jueves os la muestro.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Introducción El número , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las …
[…] Cómo demostrar que el número e es trascendente | Gaussianos gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-trascendente – view page – cached El número , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente…. Read moreEl número , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente: Read less […]
Diamond, ¿cómo estás?
Quería preguntarte por qué en el matching problem la función de probabilidad del juego es
1/k! * SUM(j=0,n-k) -1~j / j!
Gracias!
Qué buena! recuerdo que vi esta prueba (casi idéntica) en el Cálculus de Spivak nada más empezar primero y me quede flipando 🙂
[…] la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por […]
Una pregunta: ¿la regla de número trascendente valdría también para coeficientes no enteros, no? Mientras el coeficiente no sea el propio e o el número en cuestión, vamos.
Gracias
Aqui les dejo una demostracion alemana: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf
Truco, puedes usar como coeficientes cualquier número algebraico.
Si te sales de ellos podrías hacer cosas como
.
En cuanto a ala demostración hay un paso que no acabo de entender y me encantaría que tuviesen la amabilidad de hacer-me ver la luz.
’
, y realmente no entiendo el porqué. Entiendo que exista el
pero no entiendo porqué desaparece el termino
, ya que a mí me sigue apareciendo por ahí sumandose al final, molestando.
en uno de los pasos del principio, se dice que
Agradezco muy seriamente su tiempo.
Auburus
Auburus, ten en cuenta que $Latex f(x)$ es un polinomio de grado
, por lo que si lo derivas
veces (último término de
) el resultado de esa derivada es cero. Por ello en esa resta sólo queda vivo el primer término de
, es decir,
.
es verdad, que estupido soy. (Sufro un ataque de verguenza estando yo solo en la habitación xD).
Vale mil gracias por todo, y disculpen las molestias
De nada. Y nada de estúpido, nadie es perfecto y a todo el mundo se le escapa alguna cosa así alguna vez :).
[…] видеть 1 миллион десятичных и. На и известно, что он трансцендентный (попробованный Шарль Ермите), потом иррационально […]
[…] uns anpassen werden, indem wir 1 Million von Dezimal-von sehen und. Auf und es ist bekannt, dass er transzendent ist (erprobt von Charles Hermite), dann irrational (scheinende Tatsache vorher von Euler bewiesen […]
[…] nous conformer bien que nous voyions 1 million de décimaux de et. Sur et il est connu qu’il est transcendant (prouvé par Charles Hermite), tout de suite irraisonnable (le fait qui paraît a été […]
[…] are going to be content in spite of seeing 1 million of decimal of and. On and it is known that it is transcendent (proved by Charles Hermite), then irrationally (fact that seems was demonstrated previously by […]
[…] видеть 1 миллион десятичных и. На и известно, что он трансцендентный (попробованный Шарль Ермите), потом иррационально […]
la acotación por la que acotas el modulo de f(x) no me aparece, cual es la acotacion?
Paco, ya aparece, había un error en la fórmula que provocaba que no se mostrara. Gracias por avisar :).
Hola:
¿Cómo se sabe que lo de la derecha es distinto de 0?
Gracias