Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.

La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:

Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

ax^2+bx+c=0

donde se supone a\ne 0 para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.

Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado más unas ciertas constantes, digamos (m+n)^2+p=0. Como sabemos que (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 tenemos que:

  1. El término del binomio que nos proporcionará ax^2 (supongamos que es m) debe ser \sqrt{a}x. Por tanto m=\sqrt{a}x.
  2. El término bx debe salir del doble producto 2mn. Como m=\sqrt{a}x tenemos que bx=2(\sqrt{a}x)n. Despejando obtenemos que n=\frac{b}{2\sqrt{a}}.
  3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que n^2=\frac{b^2}{4a}, constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además c debe seguir estando. Por tanto p=-\frac{b^2}{4a}+c.

Vamos, que la cosa queda como sigue:

ax^2+bx+c=\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2-\cfrac{b^2}{4a}+c=0

Pasamos las constantes al otro lado:

\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a}-c

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el $Latex \pm$):

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a}-c}

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a}}

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos 4a de la raíz:

\sqrt{a}x=\cfrac{-b}{2\sqrt{a}} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}

Dividimos ambos miembros por \sqrt{a} (lo que comúnmente se diría como pasamos \sqrt{a} al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:

x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

que es lo que todos conocemos.

Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas). Espero que os haya parecido interesante.

Actualización: En los comentarios Pelícano nos comenta otra forma aún más simple. Ahí va:

Partimos de ax^2+bx+c=0. Restamos c a ambos lados. Queda:

ax^2+bx=-c

Multiplicamos a ambos lados por 4a. Queda:

4a^2x^2+4abx=-4ac

Sumamos b^2 a ambos lados:

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac

La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

(2ax+b)^2=b^2-4ac

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}

Restamos b a ambos lados:

2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}

Y para concluir dividimos por 2a a ambos lados obteniendo lo que queríamos:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
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