El 14 del pasado mes de octubre se cumplió un año del fallecimiento de Benoit Mandelbrot, uno de los precursores de la Geometría Fractal. En Gaussianos nos hicimos eco de esta triste noticia y le dedicamos un post unos días después, en el que, por cierto, comentábamos algo del famoso conjunto de Mandelbrot, también conocido como conjunto M. También se habló algo sobre este conjunto M en el post Pi y el conjunto de Mandelbrot, pero en realidad no hemos comentado con detenimiento su historia y su construcción. Eso mismo es lo que vamos a hacer hoy.

Gaston Julia y sus conjuntos

Gaston JuliaNo podemos decir que la suerte sea una característica presente en la vida de Gaston Julia (matemático francés nacido en Argelia), más bien todo lo contrario.

Tuvo que interrumpir sus estudios cuando contaba con 20 años por la Primera Guerra Mundial, en la que perdió la nariz. A pesar de las operaciones, tuvo que llevar una máscara, como puede verse en la foto de la derecha, hasta el día de su muerte.

Por otra parte, su fama en vida no alcanzó cotas demasiado altas, a pesar de sus interesantes y novedosos estudios. El hecho de no disponer del aparato con el que contaron sus contemporáneos, el ordenador, contribuyó decisivamente a ello.

De todas formas podemos considerar a Julia como uno de los padres de la Geometría Fractal. Él fue el primero en realizar estudios de funciones complejas que generaban conjuntos extraños, que terminaron por denominarse conjuntos de Julia.

(Doodle que Google le dedicó a Gaston Julia en su cumpleaños. Foto tomada de aquí.)

¿Cómo se generan estos conjuntos? Veamos. Julia estudió el método iterativo

z_{n+1}=z_n^2+c

siendo los z_k números complejos y c una cierta constante también compleja. Lo que hacemos es fijar dicha c y después tomar todos los números complejos y pasarlos por el método. Es decir, tomamos un número complejo z_0, lo elevamos al cuadrado y sumamos c al resultado. El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a sumar c, y así sucesivamente. La sucesión de resultados se denomina órbita de z_0, y el valor al que tiende se denomina atractor. Por ejemplo, para c=-1, la órbita de z_0=2 es:

\begin{matrix} z_0=2 \\ z_1=2^2-1=3 \\ z_2=3^2-1=8 \\ z_3=8^2-1=63 \\ \ldots \end{matrix}

Esto es, {2,3,8,63, \ldots}. Si analizamos esta sucesión de número complejos, vemos que le aleja hacia infinito.

Bien, pues deberíamos repetir este proceso para todos los puntos del plano, trabajo completamente imposible sin la ayuda de software informático. Esta es una de las razones por las que se tardó en avanzar en estos estudios.

De todas formas sí se dieron ciertos pasos importantes. En 1906, Fatou demostró que al aplicar este método iterativo a todos los puntos del plano complejo obtenemos que la mayoría de ellos generan órbitas que se van hacia infinito, pero que quedan puntos para los cuales no ocurre esto. De hecho se puede afinar algo más: si para un z_0 se cumple que un elemento de su órbita tiene módulo mayor que 2 y que |c|, entonces la órbita de ese z_0 tiende a infinito. Los puntos cuya órbita no se va a infinito forman un conjunto cuyo interior se denomina conjunto de Fatou y cuyo borde, la frontera entre los puntos cuya órbita escapa y los puntos para los que esto no ocurre, se denomina conjunto de Julia asociado a la constante c inicial.

La variedad que podemos encontrar entre los conjuntos de Julia es enorme. Van desde la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, para c=0, hasta conjuntos realmente extraños. Aquí tenéis algunos ejemplos:

Algunos conjuntos de Julia

Como podéis ver, algunos de estos conjuntos son de una única pieza (conexos), mientras que otros están separados en varios trozos (disconexos), que podrían ser hasta infinitos. Y aquí entra Mandelbrot.

Hemos comentado antes que para un valor de c concreto deberíamos introducir en el método z_{n+1}=z_n^2+c todos los números complejos z_0 para confirmar si el conjunto de Julia asociado es conexo o disconexo. Pero sobre 1919, Julia y Fatou probaron de manera independiente que para saber si el conjunto de Julia asociado a un cierto número complejo c era conexo o no simplemente hacía falta estudiar la órbita del 0. Más concretamente, si la órbita del 0 escapaba a infinito, entonces el conjunto de Julia asociado a c era disconexo, y si la órbita del 0 no tendía a infinito, entonces este conjunto de Julia era conexo. Este hallazgo fue muy importante, ya que permitía conocer qué tipo de conjunto de Julia teníamos entre manos sin necesidad de estudiar las órbitas de todos los números complejos, hecho que simplificaba enormemente los cálculos.

Bien, pues Mandelbrot utilizó los dos hechos siguientes

  • La órbita del 0 es la que determina si el conjunto de Julia asociado a un número complejo c es conexo o no.
  • Sabemos cuándo una órbita tiende a infinito.

para encontrar los valores de c para los que el conjunto de Julia era conexo, y encontró que la disposición de estos números complejos en el plano tenía una estructura realmente interesante. De aquí salió el conocido conjunto de Mandelbrot o conjunto M:

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c para los que el conjunto de Julia asociado es conexo.

Teniendo en cuenta los dos hechos comentados anteriormente, se puede definir este conjunto de la siguiente forma, quizás más descriptiva:

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c para los cuales el método iterativo

\begin{matrix} z_0=0 \\ z_{n+1}=z_n^2+c \end{matrix}

no tiende a infinito, es decir, no es divergente.

La conocidísima representación de este conjunto M en el plano complejo es la siguiente:

(Tomada de aquí)

Como puede verse, el conjunto de Mandelbrot es algo así como una cardioide junto con infinitos discos tangentes. Entre ellos hay uno mayor que el resto, el que aparece en la izquierda.

Pero en realidad ésta no es la forma más habitual en la que se muestra el conjunto de Mandelbrot. Suele ser más bien de esta forma:

En la primera imagen aparece el conjunto de Mandelbrot representado en negro, y el resto del plano en blanco. En la segunda imagen también aparece en conjunto de Mandelbrot en negro, pero el resto aparece en otros colores, según lo rápido que la órbita del 0 se escapa a infinito. Como se puede demostrar que

si aparece un número complejo con módulo mayor que 2 en la órbita del 0, entonces dicha órbita tiende a infinito

entonces se representa de distintos colores según sea el momento en el que aparece el primer número complejo con módulo mayor que 2 en la órbita del 0.

Una propiedad curiosa de este conjunto M es que es conexo, es decir, de una sola pieza, aunque parezca que en cierta zonas el conjunto se fragmenta. Este hecho fue demostrado por Adrien Douady y John H. Hubbard sobre 1984-1985. Además, su complemento también es conexo.

Otra propiedad interesante es la autosimilitud que presenta el conjunto de Mandelbrot. Si ampliamos la imagen cerca del borde del conjunto encontraremos en muchas zonas al propio conjunto de Mandelbrot otra vez, además de figuras muy curiosas, interesantes y llenas de belleza:

Este hecho nos llevaría a pensar que el conjunto de Mandelbrot es un fractal, y en cierto sentido lo es…pero parece que no cumple exactamente con la definición de fractal (aunque en realidad esta definición no está demasiado clara). Según la página Fractal de la Wikipedia en español:

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

Benoit Mandelbrot

Como decíamos, en cierto sentido el conjunto de Mandelbrot cumple esa definición, pero no completamente, ya que su estructura básica no se repite a diferentes escalas. Según Maria Isabel Binimelis, en su libro:

El conjunto M parece ser un fractal en el sentido que hasta ahora hemos manejado, es decir, con estructuras que se repiten en todas las escalas de observación. La realidad, sin embargo, es diferente. En cada ampliación las estructuras que se repiten son cada vez más filamentosas, lo que nos permite saber en qué escala estamos. Existen serias dudas sobre la autosimilitud del conjunto de Mandelbrot. Así como dadas dos ampliaciones cualesquiera de un conjunto de Julia no podemos identificar bajo qué escala del plano se han obtenido, no ocurre lo mismo con el conjunto M. Por este motivo, al conjunto de Mandelbrot se lo considera casi autosimilar.

Es decir, que no está claro que el conjunto M sea un fractal, en el sentido más estricto del término. Aunque bueno, como habéis visto en las imágenes anteriores, no le falta autosimilitud.

Y para terminar os quiero dejar un vídeo que grabé en Imaginary en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid. En él aparezco jugando con una de las opciones de la pizarra interactiva Cinderella, con la que se puede ver la representación de la órbita generada por cada complejo c con el método iterativo z^2+c, tomando al propio c como punto inicial:

Como podéis ver, las formas que se generan poseen una gran belleza y un gran atractivo visual. Podéis comprobarlo vosotros mismos en este enlace. Recomiendo llevar al punto c hasta zonas cercanas a la frontera del conjunto de Mandelbrot. Trasteando con esta Cinderella online grabé este vídeo:

Me dejo en el tintero muchas de las propiedades que se conocen sobre el conjunto de Mandelbrot, seguro. Si sabéis alguna que creáis que debe ser señalada no dudéis en hablar de ella en los comentarios. Pero no quiero dejar pasar la oportunidad que tengo al escribir este post para volver a recomendaros este vídeo, que ya enlacé aquí, en el que se hace zoom de forma continua en una zona cercana a la frontera del conjunto de Mandelbrot. Sencillamente espectacular:

Fuentes:

  • Libro Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal, de María Isabel Binimelis.
  • Conjunto de Mandelbrot en la Wikipedia en español.
  • Conjunto de Julia en la Wikipedia en español.
  • Gaston Julia en la Wikipedia en español.
  • Las imágenes en color del conjunto de Mandelbrot las he generado con el programa Ultra Fractal 5.04.
  • La foto de Gaston Julia la he tomado de aquí.

Este artículo es mi primera colaboración con la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Ciencia Conjunta.

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